Problème E661 – Note de Jean Drabbe
Notons consécutivement de 1 à 2 • n les points rencontrés lors d'un parcours de la circonférence.
La distance (angulaire exprimée en 1/ 2 • n – ièmes de tour) de deux points r et s , notée d(r,s) est l'amplitude de la plus petite rotation qui envoie r sur s .
Ainsi, lorsque n = 9 , d(3,17) = 4 .
Le problème revient à trouver n paires de points deux à deux disjointes P[1] , ... , P[n] telles que
pour tout r (1 ≤ r ≤ n) , les éléments de P[r] sont distants de r .
Proposition 1 - Le problème n'admet pas de solution lorsque n ≡ 2 ou 3 mod 4.
Vérification - Il est clair que lorsque r est pair, les éléments de P[r]
doivent être de même parité et que lorsque r est impair, ils doivent être de parités différentes.
Lorsque n = 4 • k + 2 , la formation de tous les P[r] avec r impair
nécessiterait globalement 2 • k + 1 éléments pairs et 2 • k +1 éléments impairs.
Mais alors, on disposerait exactement de 2 • k+ 1 éléments pairs et de 2 • k + 1 éléments impairs pour former tous les P[r] avec r pair, ce qui contredit la condition de parité énoncée en début de vérification.
L'impossibilité de la situation n = 4 • k + 3 peut également être établie par un argument de parité.
Proposition 2 - Le problème admet une solution lorsque n ≡ 0 ou 1 mod 4.
Vérification - L'emploi des suites de Skolem (voir [1]) permet une solution.
Voici un exemple dont la généralisation est immédiate.
Soit n = 5 .
Notons S la suite de Skolem :
4 , 5 , 1 , 1 , 4 , 3 , 5 , 2 , 3 , 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(les positions des éléments sont indiquées en couleur bleue).
En reliant les points numérotés par les positions de deux mêmes composantes de S , on obtient les cordes
3 4 (1 figure aux positions 3 et 4) 8 10 (2 figure aux positions 8 et 10) 6 9 (3 figure aux positions 6 et 9) 1 5 (4 figure aux positions 1 et 5) 2 7 (5 figure aux positions 2 et 7) qui forment une solution lorsque n = 5.
L'existence de suites de Skolem lorsque n ≡ 0 mod 4 peut être établie par le premier tableau de la rubrique Demo 2 de [1] .
Lorsque n ≡ 1 mod 4 , on peut utiliser le tableau suivant (ce cas n'est pas traité correctement dans [1]).
Cas n = 4k + 1
Distance 1er 2nd Intervalle --- 1 8k+1 8k+2
2r+1 6k-r-1 6k+r 0<r<k 2k+2r-1 k-r 3k+r-1 0<r<k 4k-1 k 5k-1
4k+1 4k-1 8k
--- 2r 2k-r 2k+r 0<r<k 2k 6k-1 8k-1
2k+2r 5k-r-1 7k+r-1 0<r<k 4k 2k 6k
---
Remarque à propos de l'introduction de [1] - Une hypothèse de cardinalité a été omise dans l'énoncé du théorème de Löwenheim-Skolem. Il est très facile de vérifier que pour tout cardinal transfini non dénombrable m , il existe une théorie dont tous les modèles sont nécessairement de cardinal supérieur ou égal à m .
Skolem éprouvait une réticence à l'emploi de structures infinies non
dénombrables (très souvent, leur existence dépend de l'axiome du choix).
Certes, ce mathématicien savait que ce que nous appelons paradoxe de Skolem n'est contradictoire qu'en apparence (le mot dénombrable a deux
significations différentes dans l'énoncé !).
Wilfred Hodges ([2], p.87) écrit à ce propos : « He hoped that his result would scare people away from set-theoretical foundations. If anything it had the opposite effect ».
[1] DAVALAN, J.-P. , Suites de Skolem
http://jeux-et-mathematiques.davalan.org/mots/comb/skolem/skolem2.html
[2] HODGES, W., Model Theory, Encyclopedia of Mathematics and its applications 42 , Cambridge University Press (1993).
