Vendredi 7 décembre 2007.
Mathématiques. 1S1.
CALCULATRICE INTERDITE. NOM : 1.fest une fonction définie dans Df et a un réel de Df.
a. Donner la définition du nombre dérivé de f en a.
b. Donner l’interprétation géométrique du nombre dérivé de f en a.
c. Donner l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse a.
2. Compléter les tableaux suivants :
u et v étant deux fonctions définies et dérivables :
3. Pour chacune des fonctions suivantes : Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité, Calculer la fonction dérivée f’(x)
Etudier le signe de f’(x) et donner le tableau de variation de la fonction f.
a. f(x) = 3x + 4 2x + 6
b. f(x) = 1 x² + 2x c. f(x) = (x² − 4x)3 d. f(x) = x² - x - 1
x - 2
e. f(x) = 2 x3 - 1 f. f(x) = 3x - 6
4. f est la fonction définie par f(x) = x² − 4x + 7. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 3.
f(x) = Df = Df’ = f’(x) =
k avec k ∈ IR x
kx avec k ∈ IR x² x3 xn 1 x
x sin(x) cos(x)
f = f’ =
u + v ku avec k ∈ IR
u × v un avec n ∈ IN
1 u u v
IE du 7/12/2007. Corrigé.
3. Pour chacune des fonctions suivantes : Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité, Calculer la fonction dérivée f’(x)
Etudier le signe de f’(x) et donner le tableau de variation de la fonction f.
a. f(x) = 3x + 4 2x + 6
→ f(x) existe si 2x + 6 ≠ 0 c’est à dire x ≠ −3 donc Df = IR\{−3}
→ f est une fonction rationnelle donc dérivable dans Df.
→ f’(x) = (3x + 4)'(2x + 6) - (3x + 4)(2x + 6)'
(2x + 6)² = 3(2x + 6) - (3x + 4)2
(2x + 6)² = 10 (2x + 6)²
→ dans Df, 10 > 0 et (2x + 6)² > 0 donc f’(x) > 0
→ f est croissante sur ]−∞ ; −3[ et sur ]−3 ; +∞[
b. f(x) = 1 x² + 2x
→ f(x) existe si x² + 2x ≠ 0. Or x² + 2x = 0 ⇔ x (x + 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = −2 donc Df = IR\{0 ; −2}
→ f est une fonction rationnelle donc dérivable dans Df.
→ f’(x) = -(x² + 2)'
(x² + 2x)² = -(2x + 2)
(x² + 2x)² = -2(x + 1) (x² + 2x)²
→ dans Df, (x² + 2x)² > 0 donc f’(x) est du signe de −(x + 1) qui s’annule en −1.
c. f(x) = (x² − 4x)3
→ f est une fonction polynôme donc définie et dérivable dans IR.
→ f’(x) = 3(x² − 4x)²(x² − 4x)’ = 3(x² − 4x)²(2x − 4) = 6(x² − 4x)²(x − 2)
→ dans IR, (x² − 4x)² ≥ 0 : (x² − 4x)² = 0 ⇔ x² − 4x = 0 ⇔ x (x − 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 4.
f’(x) est du signe de x − 2 qui s’annule pour x = 2
d. f(x) = x² - x - 1 x - 2
→ f(x) existe si x − 2 ≠ 0 c’est à dire x ≠ 2 donc Df = IR\{2}
→ f est une fonction rationnelle donc dérivable dans Df.
→ f’(x) = (x² - x - 1)'(x - 2) - (x² - x - 1)(x - 2)'
(x - 2)² = (2x - 1)(x - 2) - (x² - x - 1)
(x - 2)² = x² - 4x + 3
(x - 2)² = (x - 1)(x - 3) (x - 2)² x² − 4x + 3 a pour racine évidente 1, l’autre racine est alors 3/1 = 1
ce qui justifie que x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
→ dans Df, (x − 2)² > 0,
donc f’(x) est du signe de (x − 1)(x − 3) qui s’annule en 1 et 3.
On applique la règle du signe du trinôme avec un coefficient de x² positif …
e. f(x) = 2 x3 - 1
→ f(x) existe si x3 − 1 ≠ 0. Or x3 − 1 = 0 ⇔x3 = 1 ⇔ x = 1 donc Df = IR \{1}
→ f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son domaine.
→ f’(x) = - 2(x3 - 1)'
(x3 - 1)² = - 2(3x²)
(x3 - 1)² = - 6x² (x3 - 1)²
→ dans Df, (x3 − 1)² > 0 et x² ≥ 0 : x² = 0 quand x = 0. Donc f’(x) ≤ 0.
f. f(x) = 3x - 6
→ f(x) existe si 3x − 6 ≥ 0 c’est à dire x ≥ 2 donc Df = [2 ; +∞[
→ la fonction racine n’est pas dérivable en 0 donc f est dérivable sur ]2 ; +∞[
→ f’(x) = 3 u’(3x − 6) avec u(x) = x et donc u’(x) = 1
2 x donc f’(x) = 3 2 3x - 6
→ dans ]2 ; +∞[ f’(x) > 0 donc f est strictement croissante sur ce intervalle.
4. f est la fonction définie par f(x) = x² − 4x + 7.
La tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 3 a pour équation y = f’(3)(x − 3) + f(3) or f(3) = 4 et f’(3) = 2 car f’(x) = 2x − 4 donc cette tangente a pour équation y = 2x − 2
x −∞ −3 +∞
f ’(x) + +
f (x)
x −2 −1 0 f ’(x) + + 0 − −
f (x)
−1x −∞ 0 2 4 +∞
f ’(x) − 0 − 0 + 0 + f (x)
x −∞ 1 2 3 +∞
f ’(x) + 0 − − 0 +
f (x) 1
5
x −∞ 0 1 +∞
f ’(x) − 0 − −
f (x)
