Ch 6 Barycentres 1
èreS 3
Introduction (oral):
Motivation : Sachant que la balance suivante est en équilibre, quel est le poids de M ?
Le même exemple avec m = 1 kg et M = 3kg peut faire marcher l’intuition.
Barycentre = notion de physique au départ = point d’équilibre = « là où il faut mettre le doigt pour que ça ne tombe pas. » Leur montrer avec deux puis trois points.
Barycentre tel qu’ils le connaissent = isobarycentre = le même poids en chaque point. Cf : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point qui est l’isobarycentre du triangle.
Isobarycentre de deux points = milieu
Généralisation en maths = autoriser des « poids » négatifs, rebaptisés « coefficients ».
Barycentre avec une seule coordonnée (points sur un axe gradué) = moyenne pondérée.
Tout ce qui suit est valable à la fois dans le plan et dans l’espace.
I. Barycentre de deux points pondérés
A. Existence et unicité
Exercice 1 Activité de découverte:
Soient A et B deux points du plan ou de l’espace.
Montrer qu’il existe un unique point G tel que 4 \s\up12(¾®+ 3 \s\up12(¾®=\s\up12(®
Placer le point G sur un dessin.
Pour tout point M (du plan ou de l’espace suivant le contexte), exprimer 4 \s\up9(r +3 \s\up9(r en fonction de M et G.
Mêmes questions avec 4 \s\up12(¾® 3 \s\up12(¾®=\s\up12(®
Mêmes questions avec \s\up9(r + \s\up9(r, et étant deux réels tels que + ¹ 0.
Que se passe-t-il si + = 0 ?
Le point A étant un point du plan ou de l’espace et étant un réel quelconque, on peut les associer pour former le couple (A, ) appelé point pondéré ou point affecté du coefficient . Le réel est appelé poids ou coefficient du point A.
● Def : Soient et deux réels tels que + ¹ 0. On appelle barycentre de deux points pondérés (A,
) et (B, ) le point G défini par \s\up9(r + \s\up9(r = \s\up9(o. Ce point existe et est unique ( à condition que + ¹ 0 !).
On dit aussi que G est le barycentre de A et B affectés respectivement des coefficients et. Démonstration : faite dans l’exercice 1.
Exercice 2 Savoir interpréter un point comme le barycentre de deux points.
Soit G le point du segment [AB] tel que \s\up9(r = \s\up9(r. Monter que G est le barycentre des points A et B munis de coefficients à préciser.
Interprétation physique avec deux coefficients positifs : Balance
Interprétation physique avec un coefficient positif et un coefficient négatif : La force correspondant au coefficient négatif tire l’objet vers le haut (le contraire de la gravité). Balance
B. Propriétés
1. Propriété de réduction
Cette propriété s’appelle ainsi car elle permet de réduire une combinaison linéaire1 à un seul vecteur.
● Propriété de réduction: Soient et deux réels tels que + ¹ 0. Si G est le barycentre de (A, ) et (B, ) alors pour tout point M (du plan ou de l’espace suivant le contexte), \s\up9(r + \s\up9(r = ( +
) \s\up9(r.
Démonstration : faite dans l’exercice 1.
● Corollaire: Avec M = A, on en déduit \s\up9(r = \s\up9(r ce qui permet de placer le point G sur un dessin (très utile!). De même, avec M = B, on a \s\up12(¾®= \s\up12(¾® .
Pratique: Chaque fois que l’on voit une combinaison linéaire de la forme \s\up9(r +
\s\up9(r avec + ¹ 0, il faut penser que l’on peut, si on le souhaite, utiliser le barycentre G de (A, ) et (B, ) pour remplacer \s\up9(r + \s\up9(r par ( + ) \s\up9(r, qui présente le gros avantage de ne comporter qu’un vecteur.
Exercice 3 Soient A et B deux points de l’espace. Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que || \s\up9(r + \s\up9(r|| = 27.
Exercice 4 Soient A et B deux points de l’espace et soit u un vecteur donné. Déterminer l’ensemble des points de l’espace tels que \s\up9(r 3 \s\up9(r soit colinéaire à u .
2. Position du barycentre de deux points
Théorème: Si A et B sont deux points distincts, tout barycentre G de (A, ) et (B, ) (avec + ¹ 0) appartient à la droite (AB).
Si et sont de même signe, alors G Î [AB].
Si et sont de signes opposés, alors G est sur la droite (AB), à l’extérieur de [AB], du côté du point le plus lourd en valeur absolue.
Résultat admis
Exercice 5 Soient A et B deux points de l’espace. Soit M le point défini par \s\up9(r + \s\up9(r
= 0
1) Prévoir au moyen du théorème précédent la position du point M.
2) Vérifier vos prévisions en plaçant précisément le point M sur un dessin 3. Homogénéité
Théorème : On ne change pas le barycentre de points pondérés lorsqu’on multiplie ou qu’on divise tous les coefficients par le même réel non nul.
Démonstration : Soit k un réel non nul ; la relation \s\up9(r + \s\up9(r = \s\up9(o avec + ¹ 0 est bien équivalente à la relation k \s\up9(r + k \s\up9(r = \s\up9(o et comme + ¹ 0 alors k k¹ 0 donc G est le barycentre de (A, k) et (B, k).
Exercice 6
1) Exemple : Le barycentre de (A, 350) et (B, 140) est le barycentre (A, 5) et (B, 2).
2) Le barycentre de (A, ) et (B, ) est le barycentre (A, . . . ) et (B, . . . .).
● Def : Lorsque les coefficients sont tous égaux, on parle d’isobarycentre ou de centre de gravité. A cause de la propriété d’homogénéité, on n’a pas besoin de préciser les coefficients.
L’isobarycentre des points A et B est donc le barycentre de (A, ) et (B, ). Par la propriété d’homogénéité, c’est aussi le barycentre de (A, ) et (B, ) quel que soit ¹0.
1 Une combinaison linéaire est une somme de vecteurs affectés de coefficients, comme par exemple uv ou uvw.
2
L’isobarycentre de A et B est bien sûr le . . . de [AB] !
Application de la propriété d’homogénéité : En divisant chacun des coefficients par la somme des coefficients on peut toujours se ramener à des coefficients dont la somme vaut 1.
4. Description d’une droite en termes de barycentres
● Propriété : M, A et B sont alignés
M est un barycentre de A et B (c’est à dire qu’il existe des réels et avec + ¹ 0 tels que M soit le barycentre de (A, ) et (B, ) . Autrement dit, la droite (AB) est l’ensemble des barycentres de A et B.
Démonstration : Pratique:
Pour monter que trois points sont alignés, il suffit de montrer que l’un est le barycentre des deux autres (pour des coefficients à déterminer.)
Si on sait que trois points sont alignés, alors on sait qu’on peut écrire un des points comme le barycentre des deux autres (pour certains coefficients et . On est surs que ces coefficients existent même si on ne connaît pas nécessairement leur valeur.)
Description d’une droite en termes de barycentres :
La droite (AB) étant l’ensemble des barycentres de A et B, on peut donc décrire la droite (AB) comme l’ensemble des barycentres de (A, t) et (B, 1-t) lorsque t décrit R.
Le segment [AB] est l’ensemble des barycentres de (A, t) et (B, 1-t) lorsque t décrit l’intervalle [0, 1].
C. Coordonnées du barycentre dans un repère
Théorème : Un repère étant choisi, les coordonnées du barycentre G de (A, ) et (B, ) sont
A B
G
x
x x ,
A B
G
y
y y et , si on est dans l’espace
A B
G
z z z
Ce sont les moyennes pondérées des coordonnées des points pondérés.
Démonstration : C’est la propriété de réduction avec M = . . . Exemple: A(1 ; 3) et B(4 ; 1). Calculer les coordonnées de G barycentre de (A, 2) et (B, 1) : G .
Exercice 7 A et B sont deux points du plan et G est le barycentre de (A; 3) et (B; 7). Sachant que les points A et B ont pour coordonnés respectives A(1 ; 2) et B(1 ; 3) dans un repère du plan, calculer les coordonnées de G dans ce repère.
Remarque : Si = = 1, c'est-à-dire dans le cas de l’isobarycentre, on retrouve bien les coordonnées du milieu d’un segment.
II. Barycentre de trois points pondérés
A. Existence et unicité
● Def : Soient et trois réels tels que + ¹ 0. On appelle barycentre des points pondérés (A, ), (B, ) et (C, ) le point G défini par \s\up9(r + \s\up9(r + \s\up9(r =
\s\up9(o. Ce point existe et est unique à condition que + ¹ 0.
Démonstration de l’existence et unicité d’un tel point: Semblable à celle pour deux points pondérés.
Exercice 8 Soit ABC un triangle et E tel que \s\up12(¾® = \s\up12(¾®. Montrer que E est le barycentre de A, B et C affectés de coefficients à déterminer.
B. Propriétés du barycentre 1. Propriété de réduction
Cette propriété s’appelle ainsi car elle permet de réduire une combinaison linéaire2 à un seul vecteur.
● Propriété: Soient et trois réels tels que + ¹ 0.
Si G est le barycentre de (A, ), (B, ) et (C, ) alors pour tout point M (du plan ou de l’espace suivant le contexte), \s\up9(r + \s\up9(r + \s\up9(r = ( + + ) \s\up9(r
Démonstration : Semblable à celle pour deux points pondérés.
● Corollaire: Avec M = A, on en déduit \s\up9(r = \s\up9(r \s\up9(r ce qui permet de placer le point G sur un dessin.
On peut aussi retrouver cette formule en introduisant le point A par la relation de Chasles dans les vecteurs \s\up9(r et \s\up9(r de la définition.
Pratique: Chaque fois que l’on voit une combinaison linéaire de la forme \s\up9(r +
\s\up9(r + \s\up9(r avec + ¹ 0, il faut penser que l’on peut, si on le souhaite, utiliser le barycentre G de (A, ), (B, ) et (C, ) pour remplacer \s\up9(r + \s\up9(r +
\s\up9(r par = ( + + ) \s\up9(r, qui présente le gros avantage de ne comporter qu’un vecteur.
Exercice 9 Soient A, B et C trois points de l’espace. Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que || \s\up9(r + \s\up9(r + 4 \s\up9(r|| = || 2 \s\up9(r \s\up9(r ||.
Exercice 10 Soient A, B et C trois points de l’espace. Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que || \s\up9(r + \s\up9(r + 4 \s\up9(r|| = || 2 \s\up9(r \s\up9(r ||
2. Position du barycentre de trois points
Théorème: Si A, B et C sont trois points non alignés, tout barycentre G de (
A, ), (B, ) et (C,) (avec + ¹ 0) appartient au plan (ABC).
Remarque : si A, B et C sont trois points alignés, G appartient à la droite définie par ces trois points.
Démonstration :
\s\up9(r = \s\up9(r \s\up9(r Les vecteurs \s\up9(r, \s\up9(r et \s\up9(rsont donc coplanaires avec A pour origine commune, donc GÎ(ABC).
3. Homogénéité
Théorème : On ne change pas le barycentre de points pondérés lorsqu’on multiplie ou qu’on divise tous les coefficients par le même réel non nul.
Démonstration : Semblable à celle pour deux points pondérés.
● Def : Lorsque les coefficients sont tous égaux, on parle d’isobarycentre ou de centre de gravité. A cause de la propriété d’homogénéité, on n’a pas besoin de préciser les coefficients.
L’isobarycentre trois points non alignés est le centre de gravité du triangle défini par ces trois points, c'est-à-dire l’intersection des médianes (voir exercice ci-dessous).
2 Une combinaison linéaire est une somme de vecteurs affectés de coefficients, comme par exemple uv ou uvw.
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4. Théorème d’associativité du barycentre ou du barycentre partiel Théorème : On ne change pas le barycentre de trois points pondérés (ou plus) lorsqu’on remplace des points dont la somme des coefficients est non nulle par leur barycentre affecté de la somme des coefficients de ces poids.
Autrement dit, dans le cas de trois points, si + ¹ 0 et si + ¹ 0, Le barycentre de (A, ), (B, ) et (C, )
est aussi celui de (G1, + et (C, )
où G1 est le barycentre de (A, ) et (B, ) (ce barycentre partiel G1 existe car + ¹ 0)
Pratique: L’associativité du barycentre est souvent utile pour montrer que des droites ont concourantes.
Exercice 11 Soient A, B et C trois points non alignés. En utilisant la propriété d’associativité du barycentre, redémontrez le résultat bien connu selon lequel les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point qui est l’ isobarycentre des points A, B et C c’est à dire le barycentre de (A, ), (B, ) et (C, ). Montrez aussi que, sur la partie de chaque médiane située à l’intérieur du triangle, l’isobarycentre est situé aux deux tiers à partir du sommet.
Exercice 12 On considère un tétraèdre ABCD. Soient I le milieu de [AB], J le milieu de [AC], K le milieu de [AD], L le milieu de [BC], M le milieu de [BD], N le milieu de [CD]. Soient A’ l’isobarycentre du triangle BCD, B’ l’isobarycentre du triangle ACD, C’ l’isobarycentre du triangle ABD et D’
l’isobarycentre du triangle ABC. Montrez que les droites (IN), (JM), (KL), (AA’), (BB’), (CC’) et (DD’) sont concourantes.
C. Coordonnées du barycentre dans un repère
Théorème : Un repère étant choisi, les coordonnées du barycentre G de (A, ), (B, ) et (C, ) (avec +
¹ 0) sont
A B C
G
x x
x x ,
A B C
G
x y
y y et , si on est dans l’espace,
A B C
G
z z z z
Démonstration : C’est la propriété de réduction avec M = . . .
Exercice 13 A et B sont deux points de l’espace et G est le barycentre de (A,
1 3
6
) et (B,
2 3 2
3
). Sachant que les points A et B ont pour coordonnés respectives A(2 ; 0 ; 3) et B(2 ; -1 ; 1) dans un repère de l’espace, calculer les coordonnées de G dans ce repère.
III. Généralisation : Barycentre de n points pondérés
A. Existence et unicité
● Def : Soient
…
nn réels tels que
+…+
n¹ 0.
On appelle barycentre des n points pondérés (A
1,
), (A
2,
) …(A
n,
n) le point G défini par
\s\up9(r
+
\s\up9(r
+ ….+
\s\up9(r
n= \s\up9(o. Ce point existe et est unique à condition que
+…+
n¹ 0.
B. Propriétés du barycentre
Les propriétés établies pour deux ou trois points pondérés sont encore vraies pour n points pondérés :
- propriété d’associativité
- propriété de calcul de coordonnées dans un repère
Théorème : Les symétries, les rotations et les translations conservent le barycentre c’est dire que si f est une symétrie, une rotation ou une translation, et si G est le barycentre de (A
1,
), (A
2,
) …(A
n,
n) alors son image f(G) est le barycentre des (f(A
1),
), (f(A
2),
) …( f(A
n),
n
).
On résume parfois cette propriété en disant que l’image du barycentre est le barycentre des images (avec les mêmes coefficients).
Exercice 14 TD centre d’inertie d’une plaque homogène.
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