D.S. de mathématiques n 5 1
èreS 3
Jeudi 17 décembre 2009, Calculatrices autorisées, 55 minutes.
Ce sujet est à rendre avec la copie.
Pour un corrigé en couleur, voir http://lhelmeg.keepandshare.com/
Note Exercice 1 , / Exercice 2 , / Exercice 3 , /
Note , / 20
Exercice 1 Lieux géométriques
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm. Soit I le milieu de [BC].
Placer le point F tel que \s\up12(¾®= \s\up12(¾® et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l'on déterminera.
Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan vérifiant :
|| \s\up12(¾®+ \s\up12(¾®|| = || \s\up12(¾® + 2 \s\up12(¾®||
Déterminer et représenter l'ensemble des points N du plan vérifiant :
|| \s\up12(¾®+ \s\up12(¾®|| = || 2\s\up12(¾® 2\s\up12(¾®
||
Exercice 2 Droites concourantes ABCD est un quadrilatère.
G est le centre de gravité du triangle ABC.
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC].
L est le barycentre de (A, 1) et (D, 3) et K le barycentre de (C, 1) et (D, 3).
Placer G, I, J, K et L sur la figure ci- contre.
B
C NOM:PRENOM :
Communication : - 0 + Technique : - 0 + Raisonnement : - 0 +
On considère la plaque pentagonale homogène ABCDE représentée sur la figure ci-contre.
Cette plaque a été obtenue en retirant la plaque triangulaire DEF à la plaque carrée ABCF.
Sachant que D et E sont les milieux respectifs des cotés [CF] et [AF], construire sur la figure ci-contre le centre d’inertie de la plaque pentagonale homogène ABCDE.
Justifier votre construction.
D.S. de mathématiques n 5 Barycentres CORRIGÉ
1
èreS 3
Jeudi 17 décembre 2009, Calculatrices autorisées, 55 minutes.
Exercice 4 Lieux géométriques
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm.
Soit I le milieu de [BC].
Placer le point F tel que
\s\up12(¾®= \s\up12(¾® et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l'on déterminera.
\s\up12(¾®= \s\up12(¾®
\s\up12(¾®= \s\up12(¾®
\s\up12(¾®
2\s\up12(¾® \s\up12(¾® =
\s\up12(®.
On en déduit que
F est le barycentre de (A ; 1) et (B ; 2) .
A
B
C
I
F
Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan vérifiant :
|| \s\up12(¾®+ \s\up12(¾®|| = || \s\up12(¾® + 2 \s\up12(¾®||
(I)
Par la propriété de réduction, I étant le barycentre de (B ; 1) et (C, 1), pour tout M, \s\up12(¾®+ \s\up12(¾® = ( + ) \s\up12(¾®=\s\up12(¾®.
De même, F étant le barycentre de (A ; 1) et (B ; 2), pour tout M,
\s\up12(¾® + 2 \s\up12(¾® = (21)\s\up12(¾®= \s\up12(¾®.
(I) devient ||\s\up12(¾®|| = ||\s\up12(¾®||, c'est-à-dire MI = MF.
L’ensemble cherché est donc la médiatrice de [IF].
Déterminer et représenter l'ensemble des points N du plan vérifiant :
|| \s\up12(¾®+ \s\up12(¾®|| = || 2\s\up12(¾® 2\s\up12(¾®
||. (II)
Comme précédemment, par la propriété de réduction on a \s\up12(¾®+ \s\up12(¾® = 2\s\up12(¾®.
Exercice 5 Droites concourantes
ABCD est un quadrilatère.
G est le centre de gravité du triangle ABC.
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC].
L est le barycentre de (A, 1) et (D, 3) et K le barycentre de (C, 1) et (D, 3).
Placer G, I, J, K et L sur la figure ci- contre.
\s\up12(¾®= \s\up12(¾® = \s\up12(¾®.
De même,\s\up12(¾® = \s\up12(¾®.
Démontrer que les droites (IK), (JL) et (DG) sont concourantes.
A
B
C
D I G
J
L
K
Soit H le barycentre de (A ; 1), (B ; 1) (C ; 1) et (D ; 3).
Par la propriété d’associativité du barycentre,
H qui est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1) et (C ; 1) et (D ; 3)
est aussi le barycentre de (I ; 2) et (K ; ). On en déduit que H
(IK). Par la propriété d’associativité du barycentre,
H qui est le barycentre de (A ; 1), (D ; 3) et (B ; 1) et (C ; 1)
est aussi le barycentre de (L ; 4) et (J ;2). On en déduit que H
(JL). Par la propriété d’associativité du barycentre,
H qui est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1) (C ; 1) et (D ; 3)
est aussi le barycentre de (G ; ) et (D ; 3). On en déduit que H
(DG).En fait, les coefficients étant égaux, ceci nous indique que G est le milieu de [HD], ce qui est cohérent avec le dessin.
Finalement, puisque H appartient à chacune des droites (IK), (JL) et (DG), ces droites sont concourantes (en H).
Exercice 6
On considère la plaque pentagonale homogène ABCDE représentée sur la figure ci-contre.
Cette plaque a été obtenue en retirant la plaque triangulaire DEF à la plaque carrée ABCF.
Sachant que D et E sont les milieux respectifs des cotés [CF] et [AF], construire sur la figure ci-contre le centre d’inertie de la plaque pentagonale homogène ABCDE.
Justifier votre construction.
Soit G le centre d’inertie de la plaque pentagonale homogène ABCDE (G est donc le point que nous cherchons à placer).
Soit O le centre d’inertie de la plaque carrée homogène ABCF ; O est donc à l’intersection des diagonales du carré.
Soit H le centre d’inertie de la plaque triangulaire homogène ABCF ; H est donc le point d’intersection des médianes du triangle DEF.
Comme la plaque carrée est formée des plaques pentagonale ABCDE et triangulaires DEF, de masses respectives 1 et 7 (ce que l’on voit en décomposant le carré en triangles semblables à DEF), par la propriété d’associativité du barycentre, O est le barycentre de (G ; 7) et (H ; 1). Ceci s’écrit 7 \s\up12(¾® + \s\up12(¾®= \s\up12(® c'est-à-dire
\s\up12(¾® = \s\up12(¾®. Comme O et H sont connus, cette relation permet de placer le point G.
Remarques : Conformément à nos attentes,
(1) I est situé sur (BF), représentée en pointillés sur le dessin, qui est axe de symétrie de la plaque pentagonale homogène ABCDE.
(2) I est situé entre O et B, plus près de O que de B.
Mots-clés : DS, Barycentre, plaque homogène, droites concourantes, Remarque : Les points O et H sont connus et G est le point
que nous
cherchons à
