D.S. de mathématiques n°°°°5 1
èreS 3
Jeudi 17 décembre 2009, Calculatrices autorisées, 55 minutes.
Ce sujet est à rendre avec la copie.
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Note Exercice 1 , / Exercice 2 , / Exercice 3 , /
Note , / 20
Exercice 1. Lieux géométriques
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm. Soit I le milieu de [BC].
1) Placer le point F tel que
→BF = −→BA et montrer que F est le barycentre des points A et
B pondérés par des réels que l'on déterminera.
2) Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan vérifiant :
|| 1 2
→
MB+ 1 2
→MC|| = || − →MA + 2
→
MB||
3) Déterminer et représenter l'ensemble des points N du plan vérifiant :
||
→
NB +
→
NC || = || 2 →ΝΒ − 2 →ΝΑ ||
Exercice 2. Droites concourantes
ABCD est un quadrilatère.
G est le centre de gravité du triangle ABC.
B NOM:
PRENOM :
Communication : - 0 + Technique : - 0 + Raisonnement : - 0 +
Exercice 3.
On considère la plaque pentagonale homogène ABCDE représentée sur la figure ci-contre.
Cette plaque a été obtenue en retirant la plaque triangulaire DEF à la plaque carrée ABCF.
Sachant que D et E sont les milieux respectifs des cotés [CF] et [AF], construire sur la figure ci-contre le centre d’inertie de la plaque pentagonale homogène ABCDE.
Justifier votre construction.
D.S. de mathématiques n°°°°5 Barycentres CORRIGÉ
1
èreS 3
Jeudi 17 décembre 2009, Calculatrices autorisées, 55 minutes.
Exercice 4. Lieux géométriques
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm.
Soit I le milieu de [BC].
3) Placer le point F tel que
→
→
→
→BF = −−−−→→→→BA et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l'on déterminera.
• →
BF = −→
BA ⇔ →
BF = −→
BF − →
FA
⇔ 2 →
FB − →
FA =
→ 0 . On en déduit que
F est le barycentre de (A ; −1) et (B ; 2).
A
B
C
I
F
4) Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan vérifiant :
|| 1 2
→→
→→
MB+ 1 2
→→
→→
MC|| = || − − − − →→→→MA + 2
→→
→→
MB|| (I)
• Par la propriété de réduction, I étant le barycentre de (B ; 1) et (C, 1), pour tout M,
1
2
→
MB + 1 2
→
MC = ( 1 2 + 1
2)
→
MI =
→
MI .
• De même, F étant le barycentre de (A ; −1) et (B ; 2), pour tout M,
− →
MA + 2
→MB = (2−1)→
MF =
→
MF .
→ →
L’ensemble cherché est donc le cercle de centre I et de rayon 5555.
Exercice 5. Droites concourantes
ABCD est un quadrilatère.
G est le centre de gravité du triangle ABC.
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC].
L est le barycentre de (A, 1) et (D, 3) et K le barycentre de (C, 1) et (D, 3).
1) Placer G, I, J, K et L sur la figure ci-contre.
→
AL = 3 3+1
→
AD = 3 4
→
AD .
De même,
→
CK = 3 4
→
CD .
2) Démontrer que les droites (IK), (JL) et (DG) sont concourantes.
A
B
C
D G
I
J
L
K
Soit H le barycentre de (A ; 1), (B ; 1) (C ; 1) et (D ; 3).
• Par la propriété d’associativité du barycentre,
H qui est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1) et (C ; 1) et (D ; 3)
est aussi le barycentre de (I ; 2) et (K ; 4). On en déduit que H ∈ (IK).
• Par la propriété d’associativité du barycentre,
H qui est le barycentre de (A ; 1), (D ; 3) et (B ; 1) et (C ; 1)
est aussi le barycentre de (L ; 4) et (J ;2). On en déduit que H ∈ (JL).
• Par la propriété d’associativité du barycentre,
H qui est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1) (C ; 1) et (D ; 3)
est aussi le barycentre de (G ; 3) et (D ; 3). On en déduit que H ∈ (DG).
En fait, les coefficients étant égaux, ceci nous indique que G est le milieu de [HD], ce qui est cohérent avec le dessin.
Finalement, puisque H appartient à chacune des droites (IK), (JL) et (DG), ces droites sont concourantes (en H).
Exercice 6.
On considère la plaque pentagonale homogène ABCDE représentée sur la figure ci-contre.
Cette plaque a été obtenue en retirant la plaque triangulaire DEF à la plaque carrée ABCF.
Sachant que D et E sont les milieux respectifs des cotés [CF] et [AF], construire sur la figure ci-contre le centre d’inertie de la plaque pentagonale homogène ABCDE.
Justifier votre construction.
◊ Soit G le centre d’inertie de la plaque pentagonale homogène ABCDE (G est donc le point que nous cherchons à placer).
◊ Soit O le centre d’inertie de la plaque carrée homogène ABCF ; O est donc à l’intersection des diagonales du carré.
◊ Soit H le centre d’inertie de la plaque triangulaire homogène ABCF ; H est donc le point d’intersection des médianes du triangle DEF.
• Comme la plaque carrée est formée des plaques pentagonale ABCDE et triangulaires DEF, de masses respectives 1 et 7 (ce que l’on voit en décomposant le carré en triangles semblables à DEF), par la propriété d’associativité du barycentre, O est le barycentre de (G ; 7) et (H ; 1). Ceci s’écrit 7
→
OG +
→
OH =
→
0 c'est-à-dire
→OG = − 1 7
→
OH . Comme O et H sont connus, cette relation permet de placer le point G.
Remarques : Conformément à nos attentes,
Remarque : Les points O et H sont connus et G est le point que nous cherchons à placer.
![Sur la figure ci-contre, les segments [MU] et [IO] se coupent en N.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)