DS Dérivées, 1ereS

(1)

D.S. de mathématiques n°°°°6 Dérivées

1

^ère

S 3

Jeudi 21 janvier 2010, Calculatrices interdites, 2h.

Ce sujet est à rendre avec la copie.

Pour un corrigé en couleur, voir http://lhelmeg.keepandshare.com/

Note

Exercice 1 , / 6 Exercice 2 , / 4 Exercice 3 , / 4 Exercice 4 , / 2 Exercice 5 , / 4

Note , / 20

Exercice 1. Calculs et simplifications de dérivées

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité.

On donnera l’écriture de f’(x) qui facilite l’étude de son signe (On attend une expression de f pour laquelle trouver le signe demande au plus de savoir faire un tableau de signe et/ou d’étudier le signe d’un trinôme du second degré).

1) f(x)= 5x³−8x+ 5. 2)g(x)=(5x²−2x) x.

3) h⁽x⁾=

(

³x+²

)

¹³. 4)

7 5

1 ) 4

( −

= + x x x

k .

Exercice 2. Double tangente

Soit f la fonction définie par f(x)=−x⁴+2x²+x et soit Cf sa courbe représentative.

1) Déterminer l’équation de la tangente T à Cf au point A(-1 ; 0).

2) Montrer que T est aussi tangente à Cf en un autre point que l’on précisera.

Exercice 3. Optimisation

Un paysan souhaite créer un enclos rectangulaire le long d’une rivière en utilisant la rivière comme barrière naturelle.

NOM:

PRENOM :

Communication : - 0 + Technique : - 0 + Raisonnement : - 0 +

enclos

6 6 6 6

4 4 4 4 4 4 4 4

1 2

2 2

1 2

CALCULATRICES INTERDITES

(2)

Sur la figure ci-contre sont tracées les courbes C₁, C₂et C₃. Ces courbes représentent dans un repère orthonormal, une fonction f, sa dérivée f ’ et sa dérivée seconde f’’

(c'est-à-dire la dérivée de la dérivée de f.).

Associer à chaque courbe la fonction qu’elle représente (sans justification).

Réponse :

C₁ représente . . . C₂ représente . . . C₃ représente . . .

Exercice 5. Fonctions et trigonométrie

Soit f la fonction définie par f(x)=x+sinx et soit Cf sa courbe représentative.

1) Déterminer le sens de variation de f sur son domaine de définition.

2) Déterminer l’abscisse de tous les points de Cf pour lesquels Cf admet une tangente parallèle à la droite d’équation y x

2

=1 .

CC CC₁

C C C C₂ C

CC C₃

4 4 4 4 3 3 3 3

2 2

CALCULATRICES INTERDITES

(3)

D.S. de mathématiques n°°°°6 CORRIGÉ Dérivées

1

^ère

S 3

Pour un corrigé en couleur, voir http://lhelmeg.keepandshare.com/

Exercice 6. Calculs et simplifications de dérivées

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité. On donnera l’écriture de f’(x) qui facilite l’étude de son signe (On attend une expression de f pour laquelle trouver le signe demande au plus de savoir faire un tableau de signe et/ou d’étudier le signe d’un trinôme du second degré).

3) f(x)= 5x³−8x+ 5. f est un polynôme donc W _f’= R . f'(x)=3 5x² −8.

4)g(x)=(5x²−2x) x. 5x² −2x est un polynôme donc il est dérivable sur R. La fonction racine est dérivable sur ]0 ; +∞ [. Par le théorème sur le produit de deux fonctions dérivables, W _f’= ]0 ; +∞^[.

• .

2 6 25 2

) 2 5 ( 2 ) 2 10 ( 2 ) 1 2 5 ( ) 2 10 ( ) ( '

2 2

2

x x x x

x x x x x x x x x x

g = − + − = − + − = − .

2 6 ) 25

( '

2

x x x x

g = −

5) h⁽x⁾=

(

³x+²

)

¹³. h est un polynôme donc W _f’= R. h^'⁽x⁾=¹³

(

³x+²

)

¹²×³=³⁹

(

³x+²

)

¹². h^'⁽x⁾=³⁹

(

³x+²

)

¹²

6)

7 5

1 ) 4

( −

= + x x x

k .

•••• 4x+1 est un polynôme donc il est dérivable sur R. La fonction xa 5x−7 est dérivable sur ] 5

7 ; +∞^{[ et ne}

s’annule pas sur cet intervalle. Par le théorème sur le quotient de deux fonctions dérivables, W _f’= ] 5

7 ; +∞^[.

•

(

⁵ ⁷

)

² ⁵ ⁷ ⁸

(

⁽⁵⁵ ⁷⁷⁾

)

⁽⁴² ⁵¹⁾ ⁷⁵ ²⁽⁵ ²⁰⁷⁾ ⁶¹⁵ ⁷

) 5 1 4 ( 7 5 4 ) (

' ₂ ₂

−

= −

−

×

−

× +

−

= −

−

× − +

−

= x x

x x

x

x x

x

x x

k .

7 5 ) 7 5 ( 2

61 ) 20

(

' − −

= −

x x

k et est du signe de 20x − 61.

Exercice 7. Double tangente

4 4 4 4

CALCULATRICES INTERDITES, 2 heures

6

(4)

0 ) 1 )(

1 ( 4 0 ) 1 ( 4 0 4 4 1 1 4 4 1 ) (

' x = ⇔− x³ + x+ = ⇔− x³+ x= ⇔− x x² − = ⇔− x x− x+ =

f . La courbe a

donc une tangent parallèle à T aux points d’abscisse 0, 1 et −1 (voir figure).

Maintenant, le fait d’avoir le même coefficient directeur signifie seulement que les tangentes en ces trois points sont parallèles. Pour savoir si une des deux est confondue avec T, on calcule les équations de ces tangentes.

• Equation de la tangente en x = 0 :

f (0) = 0 et f ’(0) = 1 doncl'équation de la tangente en x = 0 est y = x. Cette tangente est donc différente de T (représentée en pointillés ci-contre, elle a pour pente 1 donc elle est parallèle à T, T étant la droite qui est représentée en trait plein)

• Equation de la tangente en x = 1 :

f (1) = − 1 + 2 + 1 = 2 et f ’(1) = 1 donc l'équation de la tangente en x = 1 est y = (x−1) + 2 = x + 1. Cette tangente est donc T.

T est tangente à C_f aux points A(−1; 0) et B(1; 2).

Illustration :

T (la droite représentée en trait plein) est tangente à C_f_aux points A(−1; 0)^{et B(}1; 2)^.

Exercice 8. Optimisation

Un paysan souhaite créer un enclos rectangulaire le long d’une rivière en utilisant la rivière comme barrière naturelle.

Sachant qu’il dispose de 48 m de grillage pour clôturer les trois côtés restants, quelles sont les dimensions de l’enclos de surface maximale qu’il pourra créer ?

Soit x la largeur de l’enclos et y sa longueur.

• On veut maximiser l’aire a = xy.

• Le périmètre à grillager fait 48 m = 2x + y .On en déduit y = 48 − 2x d’où a(x) = x(48 − 2x) = 48 x − 2x².

• a’(x) = 48 − 4x donc a’(x)  0 ⇔ 48 − 4x  0

⇔ 48  4x ⇔ x  48/4 = 12 d’où le tableau de variation ci-contre.

• a est donc maximale pour x = 12. Comme y = 48 − 2x, ceci correspond à y = 24.

x 0 12 24

Signe de

f’(x)

+

^O

−

Variations de f(x)

L’enclos de surface maximale que ce paysan pourra créer fera 12 mètres sur 24.

Exercice 9. Fonctions et trigonométrie

Soit f la fonction définie par f(x)=x+sinx et soit CCCC_f sa courbe représentative.

1) Déterminer le sens de variation de f sur son domaine de définition.

• f est la somme de deux fonctions définies et dérivables sur R donc D_f = D_{f ’}= R.

• f'(x)=1+cosx. Or pour tout x, −1≤cosx≤1 donc f'(x)=1+cosx≥0. On en déduit que f est croissante sur R.

4 4 4 4

4 4 4 4 3 3 3 3

enclos rivière

x y

( f ’ 0 d’où « croissante » par opposition à « strictement croissante » qui serait notre conclusion avec f ’> 0)

(5)

2) Déterminer l’abscisse de tous les points de CCCCf pour lesquels CCCCf admet une tangente parallèle à la droite d’équation y x

2

= 1 .

C_f admet une tangente parallèle à la droite d’équation y x 2

= 1 au point d’abscisse x

signifie que les deux droites ont le même coefficient directeur, c'est-à-dire

2 ) 1 ( ' x =

f ,

( f' x( ) étant le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x et 2

1 étant le

coefficient directeur de la droite d’équation y x 2

=1 ^.)

π π π π

k x

x x

x

f 2

3 ou 2

3 2 2 2

cos 1 2 cos 1 2 1

) 1 (

' = ⇔ + = ⇔ =− ⇔ = + =− + ^.

(Résolution au moyen du cercle trigonométrique).

C_f admet une tangente parallèle à la droite d’équation y x

2

= 1 aux points

d’abscisses 2

3

2π π

k

x= + et

π π k

x 2

3

2 +

−

= .

Illustration ci-contre : A a pour abscisse

3 2π

et B a pour abscisse

3 2π

− .

Toutes les figures de ce document ont été réalisées avec Geogébra

Exercice 10. Qui est la dérivée de qui ? Sur la figure ci-contre sont tracées les courbes

C₁, C₂et C₃. Ces courbes représentent dans un repère orthonormal, une fonction f, sa dérivée f ’ et sa dérivée seconde f’’ (c'est-à-dire la dérivée de la dérivée de f.).

Associer à chaque courbe la fonction qu’elle représente (sans justification).

2 2 2 2

Ceci avait pour function de vous rappeler de ne pas oublier le “modulo ²π^”.

C C C C₂ C

C C C₃