Série n°7 d

(1)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Série n°7 d’exercices « étude et suite fonction ln » 2éme Bac SM

Exercice 1 09 pts

I) Pour toutnIN^ , on pose : ¹ ₂

01

n n

I x dx

 x



 ^et ⁰ 0¹ ²

1

I 1 dx

 x



 a-Etudier la monotonie de la suite

 

In

b-Montrer pour tout nIN^, on a : 1

0 Iⁿ 1

 n



c- Déduire que

 

In converge vers une limite que l’on précisera.

II) Soitf et ₀ f les fonctions définies sur ₂ IRpar : 0

 

2

1 f x 1

 x

 et 2

 

²2

1 f x x

 x

 .

Soient ₀ et ₂leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}



^.

On pose pour tout ; x _  4 4_

   ;

 

₀^tan ₂

1

x dt

F x  t





1) a- Montrer que F est dérivable sur ; 4 4

 

 

 et calculer ^F^

 

^x ^{pour tout} ^;

x_{ }_  4 4_

 

 

b- Montrer que pour tout ;

x   4 4, on a : ^{F x = x}

 

c- Déduire que : ¹ ₂

0

1

1 dx 4

x







d- Vérifier que pour tout réel x on a :

2

2 2

1 1

x

x   x

 

e- Déduire la valeur de l’intégrale :

1 2 01 2

x dx

x



f- Calculer alors l’aire de la partie du plan limitée par les courbes ₀ et ₂.

2) A l’aide d’une intégration par parties, calculer le volume



du solide de révolution engendré par la rotation de l’arc OA



M x y



;



/y f2

 

x et 0 x 1



et de₂ autour de l’axe des abscisses.

Exercice 2 (8 points)

Le plan P est muni d' un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}



( unité graphique3cm).

Soit f la fonction définie sur



^0;^



^{,par :}

^{ } ^ ^

 

ln 1 0

0 1 x

f x si x

f

x

  



 



On note

 

^C sa courbe représentative dans le planP . 1) Montrer que f est continue à droite en 0.

2) a) Montrer que pour tout réel^t^



^0;^



^;¹ ¹ ¹ ²

t 1 t t

  t   

 .

b) En déduire que pour tout réel ^x^



^0;^



^; ² ^{ln 1}

 

² ³

2 2 3

x x x

x  x  x 

3 ) a) Montrer que pour tout réelx0 ;

 

2

1 ln 1 1

2 2 3

x x x

x

      

(2)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 b) En déduire que f est dérivable à droite en 0 et

 

⁰ ¹

d 2

f    4) a) Montrer que pour tout réel t0 ;

 

²

1 1

1 t 1 t

 

 .

b) En déduire que pour tout réel x0 ; ^{ln 1}

 

1

x x

x 



5) a) Vérifier que pour tout réel x0 ;

 

12 ln 1

 

1

x x

f  x      b) Dresser le tableau de variation de f .

c) Tracer la courbe (on précisera la demi tangente au point d’abscisse 0 ) Exercice 3 (5 points)

Soit la suite

 

In définie pour tout entier naturel non nul n par :In 



₁^e

 

^lnx ⁿdx

1) a ) Montrer que pour tout ^x^

 

^1;^e et pour tout entier non nul n on a :

   

^ln^x ⁿ^ ^ln^x ⁿ^¹^⁰^.

b) En déduire que la suite

 

In est décroissante.

2) a) Calculer I . ₁

b) Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier non nul n ,on a : I_n_1 e



n1



I_n .

c) En déduire I₂ ; I et ₃ I . ₄

3) a) Montrer que pour tout entier non nul n, on a : 0

n 1 I e

 n

 b) Etudier alors la convergence de

 

In .

4) Déterminer la valeur de nIn



InIn_1



et déduire lim _n

n nI

 . Exercice 4 ( 9 points )

Soit f la fonction définie sur l'intervalle



^0;^



^{par :}

 

2

lnx

f x x

  x .

On note

 

^C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé



O i j ^{; ;}



(unité graphique2cm ).

1) Soit u la fonction définie sur l'intervalle



^0;^



^par:^{u x}

 

^x² ^{1 2 ln}^x. a) Étudier les variations de u sur



^0;^



^.

b) Calculer ^u

 

¹ et déduire le signe de ^{u x}

 

^pour^x^



^0;^



^.

2) a) Montrer que pour tout réel^x^



^0;^



^{, on a :}

   

x2

f x u x b) Déterminer^lim

 

x f x

 .

c) Dresser le tableau de variation de f.

3) a) Démontrer que la droite  d'équation : yx est une asymptote oblique à la courbe

 

^C

au voisinage de.

b) Déterminer la position relative de la courbe

 

^C et de la droite. c) Tracer la courbe

 

^C et la droite.

4) On note un réel de l’intervalle



^1;^



et on désigne par ^A

 

^ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe

 

^C , la droiteet les droites d'équations x1 et x .

(3)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 a) À l’aide d'une intégration par parties, démontrer que :^A

 

^ ^{  }¹ _¹ ^ln_^ ^.

b) Déterminer_^lim_^A

 

^ ^.

Exercice 5( 3.5 points)

Pour tout entier naturel non nul n on pose : In 



₁^ex

 

^lnx ⁿdx^. 1) A l’aide d’une intégration par parties, calculerI . ₁

2) Monter que pour tout entier n2 on a :

2

2 2 1

n n

e n

I   I _ . 3) Calculer I et ₂ I . ₃