L.S.Marsa Elriadh
Série 7
M : Zribi
4
èmeSc
Exercices
2010‐2011
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Exercice 1:
Soient (un) et (vn) deux suites réelles définies par : u0 = 1 et, pour tout n∈N, un + 1 =
2 1un.
v0 = 1 et, pour tout n∈N, vn + 1 = vn + 1 2
1
+ n
a) (un) est une suite géométrique.
b) (vn) est une suite arithmétique.
c) Pour tout n∈N*, u0 + u1 + … + un = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
−⎛
n
2 1 1
2 .
d) Pour tout n∈N, vn + 1 = 1 + 1 2
1
+
+
n
n . e) lim =2
+∞
→ n
n v .
Exercice 2 :
On considère les deux suites U et V définies pour tout entier naturel non nul par : Un = 1 +
∑
== n i
i 1i!
1 = 1 +
! 1
1 +
! 2
1+ . . . +
! 1
n et Vn = Un +
! 1 nxn
1°) a) Vérifier que U1 = 2 et V1 = 3.
b) Calculer U2 , U3 ,V2 et V3. 2°) Montrer que :
a) U est une suite croissante.
b) V est une suite décroissante.
3°) a) Déterminer n→lim+∞
! 1 nn
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b) En déduire que les suites U et V sont adjacentes.
Exercice 3
On définit deux suites u et v par u0 = 1, v0 = 2 et pour tout entier naturel n :
1 1
1 1
( 3 ) ; ( 4 )
4 5
n n n n n n
u + = u + v v + = u + v
1. On appelle w la suite définie pour tout entier naturel n par wn = vn – un.
a) Montrer que w est une suite géométrique à termes positifs dont on précisera la raison.
b) Déterminer la limite de la suite w.
2. a) Montrer que la suite u est croissante.
b) Montrer que la suite v est décroissante.
c) Démontrer que les suites u et v sont convergentes vers une limite qu'on appellera l.
3. On appelle t la suite définie pour tout entier naturel n par tn = 4un + 15vn. a) Montrer que la suite t est une suite constante. Déterminer cette constante.
b) Déterminer alors la valeur de l.
