par Cyril Demarche

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UNE VARIANTE PROJECTIVE DU THÉORÈME DE FROBENIUS-ZOLOTAREV

par Cyril Demarche

On rappelle l’énoncé classique suivant :

Théorème 1 (Frobenius-Zolotarev). — Soitpun nombre premier et n≥2. On note q=p^r. Soit V un Fq-espace vectoriel de dimension n. On noteϕ₀ :GL(V)→ S(V)le morphisme injectif naturel.

Alors, si (q, n)6= (2,2), pour toutu∈GL(V), on a ε(ϕ₀(u)) =

detu q

,

où

a q

∈ {±1} vaut 1 si et seulement si aest un carré dans F^×q . En particulier, on a

a q

= 1 pour toutasiq est pair.

Si (q, n) = (2,2), le morphisme ϕ0 identifie GL(V) au sous-groupe S3 deS4 ∼= S(V)des bijections fixant 0∈V. Doncε(ϕ0(u))6= 1 =

detu q

en général.

On se propose de démontrer ici une variante "projective" de ce résultat. Au lieu de considérer l’action de GL(V) sur les vecteurs de V, on s’intéresse à l’action de GL(V)sur l’espace projectifP(V)(c’est-à-dire à l’action deGL(V)sur les droites de V) :

Théorème 2 (Frobenius-Zolotarev, version projective)

Soitpun nombre premier et n≥2. On noteq=p^r. SoitV unFq-espace vectoriel de dimension n. On noteϕ1:GL(V)→S(P(V))le morphisme naturel.

Alors, si (q, n)6= (2,2), pour toutu∈GL(V), on a ε(ϕ₁(u)) =

detu q

n−1

,

où

a q

∈ {±1} vaut1 si et seulement si aest un carré dansF^×q.

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2 CYRIL DEMARCHE

Si (q, n) = (2,2), le morphismeϕ1 est un isomorphisme identifiant GL(V)àS3. Donc ε(ϕ0(u))6= 1 =

detu q

2−1

en général.

Démonstration. — On suit l’une des preuves classiques du théorème 1. Puisque GL(V) est engendré par les matrices de transvection et de dilatation, et les deux membres de l’égalité que l’on cherche à montrer sont multiplicatifs, il suffit de montrer la formule souhaitée dans ces deux cas.

1. soitT ∈GL(V)une transvection. AlorsdetT = 1et commeFqest de caractéris- tiquep, on voit que T^p=I_n. Par conséquent, on a1 =ε(ϕ₁(T^p)) =ε(ϕ₁(T))^p. – sipest impair, on a donc ε(ϕ₁(T)) = 1, d’où la formule souhaitée pour

T.

– sip= 2, alorsT est d’ordre2, et l’ensemble des droites deV stables par T est l’ensembleP(H)des droites de l’hyperplanH:= Ker(T−id). Cela assure queϕ₁(T)est un produit de ^|P^(V^)\P₂ ^(H)| transpositions à support disjoint. Donc ε(ϕ₁(T)) = (−1)^|P(V^)\P(H)|² . Or ^|P^(V^)\P₂ ^(H)| = ²^rn⁻²₂^r(n−1). Par conséquent, ε(ϕ₁(T)) = −1 si (q, n) = (2,2) et −1 sinon. D’où la formule souhaitée pourT.

2. soit D ∈ GL(V) une dilatation. On note H := Ker(D−id) l’hyperplan des points fixes etL=F^q·el’autre droite propre deD. On noteω∈F^q\ {0; 1}la valeur propre associée àL. Il est clair qu’il suffit de montrer la formule dans le cas oùωest un générateur deF^×q , ce que l’on suppose désormais. Par définition, on a det(D) =ω, et donc

detD q

=

ω q

=−1 siq est impair, et

detD q

= 1 si q est pair. Il reste donc à montrer queε(ϕ1(D)) = (−1)ⁿ⁻¹ siq est impair, et ε(ϕ1(D)) = 1 si q est pair. Pour cela, on écrit la décomposition de ϕ1(D) en produit de cycles à supports disjoints. SoitL⁰ ⊂V une droite (vectorielle).

Si L⁰⊂H, alorsϕ1(D)(L⁰) =L⁰. Supposons maintenantL⁰ non contenue dans V et L⁰ 6=L. Un vecteur directeur de L⁰ est alors de la formex=v+e, avec v∈H\{0}. On a, pour toutk∈Z,D(x) =v+ω^ke,ϕ₁(D^k)(L⁰) =Fq·(v+ω^ke).

Pour tout k ∈ Z, on a Fq ·(v+ω^ke) = L⁰ si et seulement si v +ω^ke est proportionnel àv+e si et seulement siω^k= 1 si et seulement sik≡0 [q−1].

Cela assure que l’orbite deL⁰sous l’action dehDiest de cardinalq−1, autrement ditc_L⁰ := (L⁰, ϕ₁(D)(L⁰), . . . , ϕ₁(D)^q−2(L⁰))est un(q−1)-cycle. Enfin, on vérifie qu’une autre droite L⁰⁰ =F^q·(w+e) hors de H est dans l’orbite de L⁰ si et seulement siwetvsont colinéaires : on note doncc_[v]:=cL⁰ pour[v]∈P(V)et L⁰ =F^q·(v+e). Par conséquent, on a montré queϕ1(D)s’écrit comme produit de cycles à supports disjoints

ϕ1(D) = Y

[v]∈P(V)

c_[v].

Doncε(ϕ1(D)) =Q

[v]∈P(V)(−1)^q = (−1)^q·|^P^(V^)|.

Donc si q est pair, c’est terminé. Supposons maintenant q impair. Alors ε(ϕ1(D)) = (−1)^|P^(V^)|.

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UNE VARIANTE PROJECTIVE DU THÉORÈME DE FROBENIUS-ZOLOTAREV 3

Enfin, dimV = n−1, donc |P(V)| = ^qⁿ⁻¹_q−1⁻¹ = 1 +q+· · ·+qⁿ⁻², donc

|P(V)| ≡ n−1 [2]. Donc finalement ε(ϕ1(D)) = (−1)ⁿ⁻¹ =

detD q

n−1

. Cela conclut la preuve.

Autre démonstration. — Cette seconde preuve est un peu plus abstraite. Puisque {±1} est abélien, le morphisme ε◦ϕ1 :GL(V)→ {±1} se factorise par le quotient de GL(V) par son sous-groupe dérivé. Or ce dernier est exactement SL(V), sauf si (q, n) = (2,2). On suppose désormais (q, n) 6= (2,2). Alors on a un diagramme commutatif de morphismes de groupes

GL(V) ^ε◦ϕ¹ //

det

{±1}

F^×q ϕ

::

. Or il est classique que le symbole de Legendre

· q

:F^×q → {±1}est le seul morphisme non trivial deF^×q vers{±1}. Doncϕ=

· q

ouϕ= 1. Donc on déduit du diagramme précédent queε◦ϕ1=

det q

ou1.

En particulier, sip= 2, on a immédiatemment queε◦ϕ1= 1.

Reste à traiter le cas oùpest impair.

– Supposons d’abord npair. Il existe ω ∈F^×qⁿ un générateur du groupe cyclique F^×qⁿ. Fixons un isomorphisme V ∼= Fqⁿ et considérons u ∈ GL(V) défini par u(x) :=ω·x, pour toutx∈Fqⁿ. Soit x∈Fqⁿ non nul. Alorsϕ₁(u)^k envoie la droite Fq·xsur la droite Fq·(ω^k ·x). Or il est clair que l’action de F^×qⁿ par multiplication sur les vecteurs non nuls de Fqⁿ est une action transitive, donc cela assure queϕ1(u)est un cycle de longueur maximale dans S(P(V)). Donc ε(ϕ1(u)) = (−1)^|^P^(V^)|= (−1)^1+q+···+qⁿ⁻²= (−1)ⁿ⁻¹=−1. Donc le morphisme ε◦ϕ₁ est non trivial, donc la discussion précédente assure queε◦ϕ₁=

det q

. – Supposons maintenant nimpair. Il existe un élément λ∈F^×q qui n’est pas un

carré. Alorsϕ1(λid) =id etdet(λid) =λⁿ. Donc _det(λid)

q

=

λ q

=−1. Par conséquent,_det(λid)

q

=−1 6= 1 =ε(ϕ₁(λid)), ce qui assure via la discussion précédente queε◦ϕ1= 1.

Corollaire 3. — Soitq=p^r,n≥2.

On considère le morphisme injectif naturel ι: PGLn(Fq),→ S(Pⁿ⁻¹(Fq))∼=SN, avec N :=^q_q−1ⁿ⁻¹.

Alors l’image deι est contenue dansAN si et seulement sin est impair ou (pest pair etn≥3).

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4 CYRIL DEMARCHE

Une application de ce corollaire est par exemple l’isomorphisme exceptionnel PGL₂(F4)−^∼→A₅,

sans utiliser le résultat (facile) queA₅ est le seul sous-groupe d’indice2 deS₅. Dans cet exemple, on voit donc qu’un élémentσ∈S(P¹(F4))est une homographie (i.e. est dans PGL₂(F4)) si et seulement si ε(σ) = 1. En utilisant la caractérisation des homographies par la préservation du birapport, on en déduit que, en fixantω ∈ F⁴\ {0; 1}, pour toutσ∈S(P¹(F⁴)),

[σ(∞);σ(0);σ(1);σ(ω)] =ω^ε(σ);

autrement dit,σpréserve le birapport si et seulement siσest paire.

Le lecteur ou la lectrice curieux-se remarquera que l’on peut également faire agir le groupe GL(V)sur l’ensembleG(d, V)des sous-espaces vectoriels de dimensiondde V. On dispose donc de morphismes de groupesϕd:GL(V)→S(G(d, V)), et on peut chercher à calculer la signature deϕd(u)en fonction dedetu, pouru∈GL(V)...

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