MF1 – Description d’un fluide en mouvement A – Travaux dirigés MF11 – Ecoulement perturbé par une sphère

MF1 – Description d’un fluide en mouvement A – Travaux dirigés

MF11 – Ecoulement perturbé par une sphère

Laurent Pietri ~ 2 ~ Lycée Joffre - Montpellier

MF12 – Atmosphère en équilibre

Laurent Pietri ~ 4 ~ Lycée Joffre - Montpellier

B – Exercices supplémentaires

MF13 – Ecoulement entre deux cylindres

MF14 – Ecoulement perturbé par une sphère

Laurent Pietri ~ 6 ~ Lycée Joffre - Montpellier

MF15 - Poussée et centre de poussée sur un mur de barrage

1°) On a :

𝐹𝐹_{𝑝𝑝𝑝𝑝} =�^{𝑧𝑧=𝐻𝐻𝑏𝑏}(𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑧𝑧) +𝑝𝑝₀)𝐿𝐿𝐿𝐿𝑧𝑧

𝑧𝑧=𝐻𝐻𝑎𝑎

⇔ _{𝐹𝐹𝑝𝑝𝑝𝑝 =} ^{𝜌𝜌𝜌𝜌(𝐻𝐻𝑏𝑏2 − 𝐻𝐻𝑎𝑎2)𝐿𝐿}

2 +𝑝𝑝₀𝐿𝐿(𝐻𝐻_𝑏𝑏 − 𝐻𝐻_𝑎𝑎)

⇔∆_{𝐹𝐹𝑝𝑝𝑝𝑝 =} ^{𝜌𝜌𝜌𝜌(𝐻𝐻𝑏𝑏2− 𝐻𝐻𝑎𝑎2)𝐿𝐿} Donc : ^{𝜌𝜌𝜌𝜌�𝐻𝐻12�𝐿𝐿} 2

2 = ^{𝜌𝜌𝜌𝜌�𝐻𝐻22}₂^{−𝐻𝐻12�𝐿𝐿} = ^{𝜌𝜌𝜌𝜌�𝐻𝐻2}₂^{−𝐻𝐻22�𝐿𝐿}

⇔ _{𝐻𝐻2 = 2�𝐻𝐻1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐻𝐻}² _=𝐻𝐻1²_+𝐻𝐻2²⇔ _𝐻𝐻1² ₌^𝐻𝐻2

3 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐻𝐻₂² =2

3𝐻𝐻²⇒ _{𝐻𝐻1 =} ^𝐻𝐻

√3 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐻𝐻2 =�2

3𝐻𝐻 2a) Soit :

𝑀𝑀_{𝑜𝑜𝑜𝑜} = 𝑍𝑍_{𝑐𝑐𝑜𝑜}𝜌𝜌𝜌𝜌(𝐻𝐻_𝑏𝑏² − 𝐻𝐻_𝑎𝑎²)𝐿𝐿 2b) Soit : 2

𝑀𝑀_{𝑜𝑜𝑜𝑜} = � 𝑧𝑧 �𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑧𝑧)�𝐿𝐿𝐿𝐿𝑧𝑧= 𝜌𝜌𝜌𝜌𝐿𝐿𝐻𝐻_𝑏𝑏³− 𝐻𝐻_𝑏𝑏² 2c) Donc pour la paroi 1 : 3

𝑍𝑍_𝑐𝑐1𝜌𝜌𝜌𝜌(𝐻𝐻₁²−0)𝐿𝐿

2 =𝜌𝜌𝜌𝜌𝐿𝐿𝐻𝐻₁³ −0

3 ⇒ _{𝑍𝑍𝑐𝑐1 =}² 3𝐻𝐻₁

MF16 - Océan en équilibre isotherme

1°) Soit :

𝐿𝐿𝑝𝑝

𝐿𝐿𝑧𝑧 =−ρ_{0�1 +𝑎𝑎(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝0)�𝜌𝜌} ⇔ ^{𝐿𝐿𝑝𝑝}

1 +𝑎𝑎(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝₀) = −ρ_{0𝜌𝜌𝐿𝐿𝑧𝑧}

⇔ ¹

𝑎𝑎 𝐿𝐿𝐿𝐿[1 +𝑎𝑎(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝₀)] =−ρ_{0𝜌𝜌𝑧𝑧+𝐶𝐶} Or : 𝑝𝑝= 𝑝𝑝0 𝑒𝑒𝐿𝐿 𝑧𝑧 = 0 ⇒ _{𝐿𝐿𝐿𝐿[1 +𝑎𝑎(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝0)] = −𝑎𝑎}ρ_{0𝜌𝜌𝑧𝑧}

⇔_{𝑎𝑎(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝0) = 𝑒𝑒}^{−𝑎𝑎ρ0𝜌𝜌𝑧𝑧} ₋₁ ⇔ _{𝑝𝑝= 𝑝𝑝0+}^{𝑒𝑒−𝑎𝑎ρ0𝜌𝜌𝑧𝑧 −1}

2°) Pour de faibles profondeurs à l’aide d’un DL à l’ordre 1 on retrouve : 𝑎𝑎 𝑝𝑝 =𝑝𝑝₀−ρ_{0𝜌𝜌𝑧𝑧}

3°) ^Δ𝑝𝑝_𝑝𝑝 = ^{𝑒𝑒−𝑎𝑎}

ρ0𝑔𝑔𝑔𝑔−1 𝑎𝑎 +ρ₀𝜌𝜌𝑧𝑧

ρ₀𝜌𝜌𝑧𝑧 =^{𝑒𝑒−𝑎𝑎}_𝑎𝑎^ρ_ρ^{0𝑔𝑔𝑔𝑔−1}

0𝜌𝜌𝑧𝑧 + 1 = 0,0004

MF17 - Oscillations d’un demi-cylindre flottant

1°) Soit :

𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝜌𝜌é = � ℎ ∗^𝑅𝑅 2𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿θ 𝐿𝐿𝑧𝑧 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑧𝑧 =𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠θ⇒ _{𝐿𝐿𝑧𝑧 = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿}θ_{𝑅𝑅𝐿𝐿}θ

𝑅𝑅2

⇒ _𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝜌𝜌é = 2𝑅𝑅²ℎ � −𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿²^α θ_𝐿𝐿θ _{= −}

0 2𝑅𝑅²ℎ � 1− 𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠2𝜃𝜃

2 𝐿𝐿θ

α

0

⇒ _𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝜌𝜌é =𝑅𝑅²ℎ �𝛼𝛼 −𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿2𝛼𝛼 2 � Or : 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠α ₌^𝑅𝑅

2⇒α ₌^π

3

Donc :

𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝜌𝜌é =𝑅𝑅²ℎ �π 3−√3

4 � De plus :

𝜌𝜌𝑅𝑅²ℎ �π 3−√3

4 � 𝜌𝜌 = 𝜇𝜇𝜌𝜌𝜇𝜇𝑅𝑅²

2 ℎ ⇔µ _{= 𝜌𝜌}

π3− √3 𝜇𝜇 4 2

=𝑎𝑎𝜌𝜌 𝑜𝑜ù 𝑎𝑎 = 0,39 2°)

Soit : 𝑀𝑀𝑧𝑧̈ =−𝑀𝑀𝜌𝜌+𝜌𝜌𝑉𝑉_{𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖}𝜌𝜌 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑧𝑧 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠α⇒ _{𝑧𝑧̈ = −𝑅𝑅}α_{̈ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿}α_{− 𝑅𝑅}α_̇²_{𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠}α Posons :

𝛼𝛼 = 𝜇𝜇

3 +𝜀𝜀 ⇒ _{𝑧𝑧̈ = −𝑅𝑅𝜀𝜀̈sin�𝜀𝜀+}π

3�+𝑜𝑜(𝜀𝜀) = −𝑅𝑅𝜀𝜀̈ �𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿𝜀𝜀. cos�𝜇𝜇

3�+𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠𝜀𝜀. sin (𝜇𝜇 3)� Donc :

−𝑀𝑀𝑅𝑅𝜀𝜀̈ �√3

2 � =−𝑀𝑀𝜌𝜌+𝜌𝜌𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖�α₊π

3� 𝜌𝜌 = +𝜕𝜕𝑉𝑉

𝜕𝜕𝛼𝛼�_𝜋𝜋

3

.𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌

⇔ − 𝑀𝑀𝑅𝑅𝜀𝜀̈ �√3

2 � = +𝑅𝑅²ℎ �1−cos�2π

3 ��.𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌 = −3

2𝑅𝑅²ℎ𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌

⇔ _{− 𝑀𝑀𝜀𝜀̈ =}−√3𝑅𝑅ℎ𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌 ⇔ ^{𝜇𝜇𝜇𝜇𝑅𝑅2}

2 ℎ 𝜀𝜀̈+ √3𝑅𝑅ℎ𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0

⇔ ^{𝜇𝜇𝜇𝜇𝑅𝑅}

2 𝜀𝜀̈+ √3𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0 ⇔ _𝜀𝜀̈+^{2√3𝜌𝜌𝜌𝜌}

𝜇𝜇𝜇𝜇𝑅𝑅 𝜀𝜀 = 0

⇔ _𝜀𝜀̈+^{2√3𝜌𝜌}

𝑎𝑎𝜇𝜇𝑅𝑅 𝜀𝜀 = 0 ⇒ω₀² _{= �}^𝜌𝜌

𝑅𝑅γ ^𝑜𝑜ù γ₌ ^{𝑎𝑎𝜇𝜇} 2√3

Laurent Pietri ~ 8 ~ Lycée Joffre - Montpellier

MF18 – Expansion d’un fluide