MF3 – Equations locales de la dynamique des fluides A – Travaux dirigés MF31 – Ecoulement sur un plan incliné

MF3 – Equations locales de la dynamique des fluides A – Travaux dirigés

MF31 – Ecoulement sur un plan incliné

1°) La vitesse est de la forme : 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑢𝑢 ����⃗. Or l’écoulement est incompressible et

homogène donc :

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑣𝑣⃗ = 0 ⇒ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}

𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 ⇒ _{𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑦𝑦,} 𝑧𝑧) On suppose qu’il y a invariance suivant Oz, d’où :

𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣 ( 𝑦𝑦) 𝑢𝑢 ����⃗

TD : Mécanique des fluides III ∼ Equations locales de la dynamique des fluides Physique : PC

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MF32 - Écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles

TD : Mécanique des fluides III ∼ Equations locales de la dynamique des fluides Physique : PC

MF33 – Débitmètre

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MF34 – Tornade

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MF35 – Effet Magnus – Voile Flettner

1°) Il y a continuité de la vitesse au niveau du cylindre d’où : 𝑎𝑎 ω ₌ ^𝐶𝐶

2 π _𝑎𝑎 ⇒ _{𝐶𝐶 = 2} π _𝑎𝑎

ω 2°)

a) On a : 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣 ����⃗

+ 𝑣𝑣 ����⃗

= 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑑𝑑 ����������⃗ φ

₊

_𝑢𝑢 ����⃗ où

φ

_{= 𝑢𝑢} cos(𝜃𝜃) �

+ 𝑔𝑔�

Or :

𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑑𝑑

����������⃗ 𝑓𝑓 = 𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑔𝑔 𝑢𝑢 ����⃗

+ 1 𝑔𝑔

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕 θ ^{𝑢𝑢 ����⃗}

^{+ 𝜕𝜕𝑓𝑓} _{𝜕𝜕𝑧𝑧 𝑢𝑢} ^{����⃗}

⇒ _{𝑣𝑣⃗ = 𝑢𝑢 cos(𝜃𝜃) �−} ^𝑎𝑎

𝑔𝑔

+ 1� 𝑢𝑢 ����⃗ − 𝑢𝑢

sin(𝜃𝜃) � 𝑎𝑎

𝑔𝑔

+ 1� 𝑢𝑢 ����⃗

+ 𝑎𝑎

ω 𝑔𝑔 𝑢𝑢 ����⃗

⇒ _{𝑣𝑣⃗ = 𝑢𝑢 cos(𝜃𝜃) �1 −} ^𝑎𝑎

𝑔𝑔

� 𝑢𝑢 ����⃗

+ 𝑢𝑢 ����⃗ �

𝑎𝑎

ω

𝑔𝑔 − 𝑢𝑢 sin(𝜃𝜃) � 𝑎𝑎

𝑔𝑔

+ 1�� 𝑢𝑢 ����⃗

b) Les points d’arrêt sont tel que : 𝑣𝑣⃗ = 0 �⃗ . Deux cas sont à étudier :

� 𝑔𝑔 = 𝑎𝑎 ⇒ ω _{𝑎𝑎 = 2 𝑢𝑢 sin} θ θ ₌ π

2 �𝑜𝑜𝑢𝑢 − π

2 � ⇒ ^𝑎𝑎

ω

𝑔𝑔 = 𝑢𝑢 � 𝑎𝑎

𝑔𝑔

+ 1� ⇒ _𝑎𝑎

ω _{𝑔𝑔 = 𝑢𝑢 ( 𝑎𝑎}

_{+ 𝑔𝑔}

₎

⇔ _� ^{𝑔𝑔 = 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 sin(} θ _{) =} ω _𝑎𝑎 2𝑢𝑢 θ ₌ π

2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑔𝑔

− 𝑎𝑎

ω

𝑢𝑢 𝑔𝑔 + 𝑎𝑎

= 0

⇔

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑔𝑔 = 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 sin( θ _{) =} ω _𝑎𝑎 2𝑢𝑢 θ ₌ π

2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑔𝑔 = 𝑎𝑎

ω 2𝑢𝑢 ± 1

2 �� 𝑎𝑎

ω 𝑢𝑢 �

2

− 4𝑎𝑎

⇔

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑔𝑔 = 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 sin( θ _{) =} ω _𝑎𝑎

2𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑑𝑑 ω _𝑎𝑎 2𝑢𝑢 ≤ 1 θ ₌ π

2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑔𝑔 = 𝑎𝑎

ω

2𝑢𝑢 �1 ± � 1 − 4𝑢𝑢

ω

_𝑎𝑎

^{� 𝑠𝑠𝑑𝑑}

ω _𝑎𝑎 2𝑢𝑢 ≥ 1 Remarque pour θ _{= −}

2

, on obtient : 𝑔𝑔 =

�−1 ± �1 −

� < 0 ce qui est

impossible.

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3°) L’écoulement du fluide parfait est permanent, incompressible, et irrotationnel à l’extérieur du cylindre d’où :

𝑝𝑝

+ µ ^𝑢𝑢

2 = 𝑝𝑝 ( 𝑎𝑎, θ _{) +} µ ^{𝑣𝑣(𝑎𝑎,} θ ₎

2

⇔ _𝑝𝑝

₊ µ ^𝑢𝑢

2 = 𝑝𝑝(𝑎𝑎, θ _{) +} µ ^{𝑣𝑣(𝑎𝑎,} θ ₎

⇔ _{𝑝𝑝 ( 𝑎𝑎,} θ _{) = 𝑝𝑝}

₊ µ ^𝑢𝑢 2 2 − µ

2 ( 𝑎𝑎 ω _{− 2𝑢𝑢 sin(𝜃𝜃 ))}

⇔ _{𝑝𝑝 ( 𝑎𝑎,} θ _{) = 𝑝𝑝}

₊ µ 2 � 𝑢𝑢

2 − 𝑎𝑎

ω

_{� −} µ

2 (4𝑢𝑢

sin

θ _{) + 2} µ _{𝑢𝑢 𝑎𝑎} ω _sin θ

On va calculer la force résultante sur le cylindre :

On a :

- 𝑑𝑑𝐹𝐹⃗ = −𝑝𝑝 𝑛𝑛�⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑

� 𝑑𝑑𝐹𝐹

= −𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑 sin

= −𝑝𝑝 ℎ𝑎𝑎 sin

𝑑𝑑 θ 𝑑𝑑𝐹𝐹

= −𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑 cos

= −𝑝𝑝 ℎ𝑎𝑎 cos

𝑑𝑑 θ - 𝑝𝑝(𝑎𝑎, θ _{) = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 sin} θ _{+ 𝐶𝐶 sin}

θ

D’où les intégrales suivantes à calculer :

⎩ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎧ � 𝐴𝐴 sin θ _𝑑𝑑 θ _{= � 𝐴𝐴 cos} θ _𝑑𝑑 θ _{= 0}

� 𝐵𝐵 sin

θ _𝑑𝑑 θ ₌ π

� 𝐵𝐵 sin( θ _{) cos(} θ _{) 𝑑𝑑} θ _{= � 𝐵𝐵 sin(} θ _{) 𝑑𝑑(sin(} θ _{)) = 𝐵𝐵 �} ^sin

^𝜃𝜃 2 �

0 2π

= 0

� 𝐶𝐶 cos

θ _sin θ _𝑑𝑑 θ _{= − � 𝐶𝐶 cos}

θ _{𝑑𝑑(𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠} θ _{) = −𝐶𝐶 �} ^cos

^𝜃𝜃 3 �

0 2π

= 0

� 𝐶𝐶 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑛𝑛

θ _sin θ _𝑑𝑑 θ _{= − � 𝐶𝐶 (1 − cos}

₎ θ _{𝑑𝑑(𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠} θ _{) = 0} Donc : � 𝐹𝐹

= 0

𝐹𝐹

= −𝐵𝐵 π _{ℎ𝑎𝑎 = −2} µ _𝑢𝑢 π _{ℎ 𝑎𝑎}

ω

⇒ _{𝐹𝐹⃗ = −2} µ _𝑢𝑢 π _{ℎ 𝑎𝑎}

ω _{𝑢𝑢 ����⃗}

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B – Exercices supplémentaires MF36 - Chariot entraîné

a) On a : 𝑎𝑎 ���⃗

= 𝑎𝑎 ����⃗

+ 𝑎𝑎 ����⃗

b) La particule de fluide est soumise au poids et aux forces de pression.

c) On a :

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎 ���⃗

= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑔𝑔⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑑𝑑 ����������⃗𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑎𝑎 ����⃗

+ 𝑎𝑎 ����⃗

= 𝑔𝑔⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑑𝑑 ����������⃗𝑝𝑝 1

⇔ρ

(𝑎𝑎 ����⃗

+ 𝑎𝑎 ����⃗ − 𝑔𝑔⃗) =

−𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑑𝑑 ����������⃗𝑝𝑝

d) Si le fluide est au repos : ρ ( 𝑎𝑎 ��⃗

^{− 𝑔𝑔} �⃗) = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑑𝑑 �������⃗ 𝑝𝑝 e) Donc :

𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥 = −

𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑧𝑧 = −

𝑔𝑔 Qui s’intègre en :

𝑝𝑝 = −𝜌𝜌𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝜌𝜌𝑔𝑔𝑧𝑧 + 𝐶𝐶 Or au niveau de la surface :

𝑝𝑝 = 𝑝𝑝

= −𝜌𝜌𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝜌𝜌𝑔𝑔𝑧𝑧 + 𝐶𝐶

𝑝𝑝

= −𝜌𝜌𝑔𝑔𝜌𝜌 + 𝐶𝐶 Donc :

𝑝𝑝 = −𝜌𝜌𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝜌𝜌𝑔𝑔(𝑧𝑧 − 𝜌𝜌) + 𝑝𝑝

Et au niveau de la surface on vérifie :

𝜌𝜌𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝜌𝜌𝑔𝑔(𝑧𝑧 − 𝜌𝜌) = 0

𝑧𝑧 = − 𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 + 𝜌𝜌

MF37 – Ecoulement de Poiseuille dans un cylindre

TD : Mécanique des fluides III ∼ Equations locales de la dynamique des fluides Physique : PC

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MF38 - Écoulement de Poiseuille dans un tuyau

3a)

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MF39 – Vidange d’un récipient

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MF310 – Ecoulement du Ketchup