T-STL-PL
DYNAMIQUE des FLUIDES
1- Rappels de statique des fluides.
1.1 Toute surface en contact avec un fluide subit de la part de celui-ci une force pressante perpendiculaire à la surface quelle que soit l'orientation de celle-ci :
F = P.S (P pression en Pascal, S la surface en m2, F en N) 1.2 Relation fondamentale de l'hydrostatique :
La différence de pression entre deux points A et B d'un fluide homogène en équilibre est égale au produit du poids volumique ρ du fluide (masse volumique fois l'accélération de la pesanteur g =9,81) par la différence de niveau entre les deux points :
P
A– P
B= ρ.g.(h
B A– h
BB)
hA et hB sont les profondeurs respectives de A et B par rapport à la surface libre du liquide.
Conséquence 1 : pour un fluide donné, tous les points qui sont au même niveau (même profondeur) sont à la même pression.
Conséquence 2 : un liquide (incompressible) transmet intégralement les pressions dans toutes les directions (Théorème de Pascal)
1.3 Poussée d'Archimède : tout corps immergé dans un fluide en équilibre est soumis à une poussée verticale, dirigée vers le haut et d'intensité égale au poids du volume de fluide déplacé.
ρ est la masse volumique du fluide (kgm-3) V est le volume de l'objet immergé (m3) FA l'intensité de la poussée d'Archimède en N
F
A= ρ.g.V
2- Définitions
2.1 Masse volumique
La masse volumique ρ (lire "ro") est définie par le rapport de la masse d'un corps sur son volume : ρ =
m
V
Unités : ρ est en kg.m-3 m en kg et V en m-3.* La masse volumique d'un liquide varie peu avec la pression et la température.
ρ augmente légèrement avec la température.
L'eau fait exception : sa masse volumique est maximum pour 4° C .
* la masse volumique d'un gaz varie considérablement avec la température et la pression : ρ est la masse volumique à la pression P et la température absolue T.
ρ0 est la masse volumique dans les conditions de référence (P0 et T0) Cette relation est une conséquence de la loi des gaz parfaits
PV
(n = nb de moles R = Cte)= nRT
. . 0
0 0
ρ = ρ
P T
P T
2.2 Densité
Définition de la densité : c'est le rapport de la masse d'un corps sur la masse du même volume d'un corps de référence.
Donc
ρ
d = ρ
refPour les liquides et les solides le corps de référence est l'eau (à 4 ° C), pour les gaz la référence est l'air sec pris dans les mêmes conditions de température et de pression (ρ0 = 1,293 kg.m-3 à 0°C et 1013 hPa)
2.3. Mesures de la masse volumique et de la densité.
Pour les liquides, il y a essentiellement trois méthodes simples pour déterminer ρ et d :
2
a) Pycnomètre b) Aréomètre ou densimètre c) Méthode du tube en U
a) Méthode du flacon (ou pycnomètre) Le flacon et son bouchon particulier permet de prendre un volume bien défini de liquide de référence puis de liquide à étudier et de déterminer leur masse respective par pesée. On peut aussi déterminer directement le rapport m/V.
b) L'aréomètre est un tube de verre lesté dans sa partie inférieure et plongée dans le liquide à étudier. Le tube flotte mais la tige dépasse plus ou moins selon la masse volumique du liquide (la poussée d'Archimède sur le tube varie en fonction de la masse volumique du liquide). Un étalonnage permet de graduer la tige en masse volumique directement.
c) Dans un tube en U contenant initialement le liquide de référence, on verse la liquide à étudier.
En appliquant les lois de l'hydrostatique on montre que 0
h
0ρ = ρ
h
(les liquides doivent êtres non-miscibles)N.B. : Pour des liquides miscibles, on peut utiliser un tube en U inversé, et aspirer les deux liquides. La même relation s'appliquera en prenant les hauteurs des colonnes de liquides au-dessus de leur surfaces libres respectives.
2.4. Coefficients de dilatation et de compression
Une étude détaillée n'est pas nécessaire ici, notons seulement que ces coefficients sont très faibles pour les liquides (négligeables en général), ils sont par contre très importants pour les gaz.
3- Viscosité
Définition :La viscosité d'un fluide peut se définir comme la propriété de résistance d'un fluide à l'écoulement.
3.1 Expérience de base
L'expérience représentée ci-contre peut être réalisée simplement en prenant du miel au de l'huile pour boîte de vitesse).
On met un fluide entre deux plaques (l'une fixe, l'autre mobile) et l'on étudie la force F qu'il faut appliquer pour déplacer la plaque mobile à une vitesse constante v.
On fait varier l'épaisseur e de liquide et aussi la surface S de la plaque mobile.
F
Support fixe Liquide étudié Plaque mobile
e
L'expérience montre que F est proportionnel à v et S, mais inversement proportionnel à l'épaisseur e du liquide.
3.2 Définition de la viscosité dynamique.
Les observations qui découlent de l'expérience décrite ci-dessus peuvent être traduites par une expression mathématique de la forme suivante :
v
F = .S.
μ e
F en N , S en m2 , v en m.s-1 et e en mLe coefficient de proportionnalité μ (lire "mu") qui apparaît dans cette relation est appelé coefficient de viscosité dynamique.
L'unité de viscosité dynamique μ est le Poiseuille (symbole Pl) La dimension de cette unité est Pa.s ou kg.m-1.s-1
N.B. : On utilise encore parfois une ancienne unité la Poise (Po) dont la dimension est g.cm-1.s-1 Donc 1 Poise = 0,1 Poiseuille
Remarque : En fait, lorsqu'un fluide s'écoule entre deux plaques ou dans un conduit, on peut modéliser la situation de la façon suivante : on imagine le liquide formé de couches très fines et parallèles d'épaisseur Δy (on prend un axe Oy perpendiculaire à la direction de la vitesse d'écoulement), entre deux couches successives il y a une différence de vitesse de déplacement notée Δv. Une force ΔF dite de cisaillement est nécessaire pour maintenir cette différence de vitesse.
V y Δ
Δ
y
On suppose que pour ce modèle on peut appliquer la même relation que celle tirée de l'expérience précédente :
Comme il est difficile de connaître la surface S qui subit la force de cisaillement, on préfère introduire la notion de contrainte de cisaillement τ (en N.m-2 ) :
v y
ΔΔ est la variation de vitesse perpendiculairement à la direction d'écoulement, on l'appelle aussi
"gradient de vitesse"
F
τ =S
Δ donc
v τ = .
μ Δ y Δ
N.B.1 : On rencontre parfois le terme de viscosité relative : c'est un
r 0
μ
=
μ μ nombre sans dimension qui est définie par le rapport de la viscositédynamique d'un fluide à la viscosité d'un fluide de référence : N.B.2 : Variation de la viscosité avec la température :
* Pour les liquides, la viscosité dynamique diminue avec la température (exemple : le problème des huiles pour moteur qui perdent leur efficacité à haute température, d'où la nécessité de mettre au point des huiles "multigrades" ...)
* Pour les gaz, la viscosité augmente avec la température (à cause du nombre de chocs entre molécules qui augmente occasionnant un "frottement" plus important)
N.B.3 : La viscosité ne varie pratiquement pas avec la pression (jusqu'à environ 20 bars pour les gaz et 40 bars pour les liquides), ensuite elle augmente un peu avec la pression
3.3 Viscosité cinématique
Par définition la viscosité cinématique ν (lire "nu") est le rapport de la viscosité dynamique par la masse volumique. Elle est donc donnée par :
μ
ν = ρ
L'unité SI de viscosité cinématique est le m2.s-1 et n'a pas de nom spécifique.
Une unité ancienne est encore utilisée : le Stoke de symbole St (cm2.s-1) 1 St = 10-4 m2.s-1
3.4 Les différents types de fluides
Les fluides peuvent être classés en trois grandes familles :
* les fluides viscoélastiques (par ex. :farines de blé, poudres diverses)
* les fluides dont les caractéristiques varient plus ou moins rapidement en fonction du temps (peintures, solution de plâtre...)
* les fluides dont les caractéristiques sont stables. Ces fluides peuvent présenter différents comportements caractérisés par la relation entre la contrainte de cisaillement τ et le gradient de vitesse
Δv
Δy
comme l'indique le tableau ci-dessous (h = y dans ce tableau) :4
Deux grandes familles de fluides :
* les fluides newtoniens pour lesquels la viscosité μ ne dépend pas de la contraint de cisaillement τ (ni du gradient de vitesse). Le graphe est donc une droite
C'est le cas des gaz, vapeurs, liquides purs, liquides de masse molaire faible, solutions peu concentrées...)
* les fluides non-newtoniens pour lesquels μ dépend de τ.
Le tableau ci-dessus montre la grande variété des réactions possibles.
C'est le cas des polymères, des purées, des gels, des boues, des pâtes, du sang, des peintures...) La Rhéologie est l'étude des fluides visqueux non-newtoniens.
3.5 Aperçu de quelques valeurs de viscosité et masses volumiques
3.6 Ecoulement d'un liquide dans un capillaire : loi de Poiseuille
Un capillaire ou tube capillaire est un tube dont le diamètre intérieur est très faible (de quelques dixièmes de mm à quelques mm)
On admet que l'écoulement d'un liquide dans un capillaire se fait à vitesse constante (écoulement laminaire, voir plus loin la définition).
Si on imagine un tube vertical, l'écoulement devient constant lorsque la force de frottement fluide est égale à la force due à la pression hydrostatique.
Un calcul relativement simple permet de montrer que le débit q (en m3.s-1) est relié à différents paramètres :
* la pression P s'exerçant sur le fluide (en Pa) * le rayon intérieur R du tube capillaire (en m)
* la longueur L de la partie étudiée du tube capillaire (en m) * la viscosité dynamique μ du fluide en Pa.s
Loi de Poiseuille :
P.π.R
4q = 8.μ.L
3.7 Méthodes de mesure de la viscosité
a) Viscosimètres à mobiles tournants (viscosimètres à cellule de Couette) Ce viscosimètre convient aussi bien aux liquides
newtonien qu'aux liquides non-newtoniens.
Liquide étudié Il est formé de deux cylindres coaxiaux : le
cylindre extérieur est entraîné à vitesse angulaire constante ω tandis que le cylindre intérieur est suspendu à un fil de torsion de constante de torsion C. entre les deux cylindres on place le liquide à étudier. Par frottement visqueux, le cylindre intérieur est entraîné et le fil de torsion tourne d'un angle α. On montre que la viscosité μ est obtenue par la relation :
α
μ = k.
ω
où k est un coefficient qui dépend de la taille de l'appareil.
b) Viscosimètre à écoulement laminaire (Viscosimètre d'Ostwald)
6
Le principe est de mesurer le temps d'écoulement d'un volume donné de fluide (liquide ou gaz) à travers un tube de faible diamètre maintenu à température constante.
On fait s'écouler dans le tube le liquide à étudier puis un liquide de référence.
Le rapport des viscosités cinématiques est égal au rapport des temps d'écoulement :
0 0
ν = ν t t
Connaissant la viscosité cinématique, on en déduit la viscosité dynamique : μ = ρ.ν
donc : μ = k.ρ.t (k étant une constante qui dépend de l’appareil utilisé)
c) Viscosimètre à chute de bille
Le principe de ce viscosimètre est de faire tomber une sphère de rayon r dans un tube vertical transparent contenant le liquide à étudier(de masse volumique ρ).
Lorsqu'on laisse tomber la sphère, elle atteint très vite une vitesse limite vL (lorsque les forces de frottement compensent la résultante du poids et de la poussée d'Archimède).
On mesure alors le temps que mets la sphère pour parcourir à vitesse constante la distance entre deux repères A et B.
La viscosité dynamique est donnée par :
(
S)
. 3(
S)
. 3.L
ρ - ρ r ρ - ρ r
μ = k. k. t
v
=L
Δle coefficient k est déterminé par calcul ou par étalonnage.
ρS est la masse volumique de la sphère.
Remarque : La force de frottement que subit la sphère lors de son mouvement est donné par la
relation de Stokes
F = 6πμrv
(r est le rayon de la sphère, v sa vitesse et μ la viscosité dynamique du liquide) 3.8 Viscosimètre d'Hoeppler
Une bille sphérique tombe lentement dans un tube bien calibré renfermant le liquide visqueux. On mesure la durée t que met la bille pour parcourir une certaine distance. On montre que la viscosité dynamique η est proportionnelle à la durée t :
μ = K·t
3.9 Utilité des mesures de viscosité
Les mesures de viscosité permettent de déterminer un paramètre important dans la connaissance des propriétés d'un fluide, elles permettent aussi d'en vérifier la nature ou la structure.
Par exemple, dans le domaine industriel, la mesure de la viscosité permet de vérifier la qualité des huiles (lubrifiants), la viscosité des peintures... dans le domaine de la biologie et de la chimie elle permet de déterminer la masse molaire de protéines, de tester la dénaturation des protéines (changement de structure à masse molaire égale), le degré d'hydratation de polymères.
4- Tension superficielle.
4.1 Quelques observations simples :
* La surface libre d'un liquide est plane et horizontale pourtant si l'on regarde la surface libre d'un liquide à l'intérieur d'un tube transparent (burette, tube à essai, pipette ...) on remarque la formation d'un "ménisque", le raccordement entre la surface libre air/liquide et la paroi ne se fait pas à angle droit.
* les bulles ou gouttes ont une forme sphérique
* film d'eau savonneuse qui se forme sur un anneau métallique trempé dans l'eau savonneuse
* on peut déposer à la surface de l'eau une aiguille ou une lame de rasoir sans qu'elle coule...
* la sève d'un arbre monte à des hauteurs considérables sans l'aide d'aucune pompe...
Toutes ces observations montrent que la surface de séparation entre deux fluides se comporte comme une sorte de membrane élastique.
4.2 Origine de la tension superficielle.
Si l'on considère une molécule au sein d'un liquide, elle est soumise à des forces intermoléculaires d'attraction exercées par les molécules voisines. La résultante de ces forces est nulle en moyenne.
Pour une molécule proche de la surface de séparation liquide/air, cette résultante n'est plus nulle (puisqu'il y a dissymétrie dans la répartition des molécules autour d'une molécule donnée) et elle est dirigée vers l'intérieur du liquide, perpendiculairement à la surface de séparation. On peut estimer que l'épaisseur de cette couche de séparation varie de 1 à 100 nm. Cette couche agit donc comme une membrane qui comprime en quelque sorte le liquide. La forme sphérique des gouttes et des bulles est expliquée par ces forces dont l'intensité est d'autant plus importante que le rayon de la sphère est petit.
4.3 Définition de la tension superficielle.
Prenons l'exemple d'une bulle d'eau savonneuse, elle peut être comparée à un ballon en caoutchouc : pour augmenter sa taille, donc sa surface, il faut fournir un certain travail, une certaine énergie ΔW qui est proportionnelle à l'augmentation de la surface ΔS.
Le coefficient de proportionnalité est appelé tension superficielle et notée "σ " (lire "sigma").
La définition de la tension superficielle est donc donnée par la relation :
W σ = S
Δ Δ
Pour simplifier encore, imaginons une surface rectangulaire (par exemple : membrane d'eau savonneuse limitée par un cadre en fil métallique de forme rectangulaire) dont l'un des côtés a une longueur L. Pour augmenter la surface de ΔS, il faut exercer sur ce côté L une force d'intensité F.
Le côté se déplaçant de Δx, la surface augmente de ΔS = L Δx.
8
Le travail de la force F est ΔW = F Δx. On peut donc écrire que
W F. x F σ = = =
S L. x
Δ Δ
Δ Δ
L
Δx Situation simplifiée illustrant la définition de la tension superficielle :
σ =
F L
Unité de la tension superficielle : la première formule de définition indique que la tension superficielle est donnée en J.m-2 , mais en pratique, c'est la deuxième formule qui sert de référence, l'unité de tension superficielle est donc officiellement le N.m-1.
4.4 Conséquences de l'existence de la tension superficielle.
4.4.1 Formation de bulles
Dans tous les cas de formation de bulles il faut que la pression à l'intérieur de la bulle soit plus grande que la pression à l'extérieur de la bulle. On peut démontrer que la différence de pression entre l'intérieur et l'extérieur est donnée par la relation suivante :
int ext
2σ
p - p =
R
(R = rayon de la bulle en m) 4.4.2 Contact entre liquide et solide : angle de raccordementLorsqu'on pose une goutte de liquide sur la surface d'un solide, on constate plusieurs situations :
* le liquide s'étale largement et forme une couche fine sur la surface, on dit que le liquide mouille parfaitement le solide.
* le liquide ne s'étale presque pas et il se forme un angle de raccordement θ entre le surface du solide et celle du liquide. On dit que le liquide mouille imparfaitement le solide.
* le liquide reste pratiquement en "boulle", l'angle de raccordement devient supérieur à 90°.
Remarque : lorsque plusieurs fluides sont en contact, comme le montre le schéma ci-dessous, le point A étant en équilibre, on peut dire que la somme vectorielle des forces en jeu est nulle.
C'est le cas par exemple d'une goutte d'huile (2) posée sur l'eau (3) avec de l'air (1) au-dessus.
On en déduit une relation entre les tensions superficielles ou interfaciales comme l'indique le schéma.
Si les valeurs des tensions superficielles ne permettent pas de faire cette construction, le liquide 2 ne formera pas une goutte mais s'étalera au maximum sur la surface du liquide 3 (benzène sur de l'eau par exemple).
4.4.3 Ascension d'un liquide dans un tube capillaire : LOI de JURIN
Les figures ci-contre illustrent les trois situations :
mouillage parfait, imparfait et nul pour des surfaces solides horizontales ou verticales (pour un liquide donné et une surface donnée, l'angle de raccordement est le même pour les deux orientations de la surface).
N.B. : l'eau et l'alcool mouillement parfaitement une surface de verre propre.
Le mercure ne mouille pas du tout le verre
Lorsqu'on plonge un tube fin et ouvert dans un liquide, celui-ci "monte" dans le tube d'une certaine hauteur h.
Il se forme également un ménisque. Au contact de la paroi, une force due à la tension superficielle s'exerce sur le liquide verticalement vers le haut. Cette force s'oppose au poids de la colonne de liquide au-dessus de la surface libre du liquide. Puisqu'il y a équilibre, on peut écrire la relation suivante :
.cos 2
2πr. σ θ = πr .h.ρ.g
donc
2.σ.cosθ h = r.ρ.g
Cette relation est appelée Loi de JURIN
σ tension superficielle (N/m) r rayon du capillaire (m) ρ masse volumique (kg/m3) θ angle de raccordement (rad) h hauteur de l'ascension capillaire (m)
10
N.B. : Dans le cas où le liquide mouille parfaitement la paroi du capillaire, l'angle de raccordement est nul (c'est le cas de l'eau dans un capillaire en verre propre).
La loi de Jurin est encore plus simple :
h = 2.σ r.ρ.g
Donc l'ascension capillaire est d'autant plus importante que le tube est fin et que la masse volumique du liquide est faible.
4.5 Méthodes de mesure de la tension superficielle.
4.5.1 Méthode de l'ascension capillaire
On utilise des tubes capillaires de diamètre adapté au liquide étudié (plus il est visqueux moins le diamètre peut être fin). La loi de JURIN est appliquée pour déterminer facilement la tension superficielle.
la méthode peut être très précise mais ne se prête qu'aux liquides mouillants.
4.5.2 Méthode de la lame mouillable.
4.5.3 Méthode d'arrachement.
Une lame très propre est trempée dans le liquide à étudier.
On mesure l'intensité de la force f qui tend à "happer" la lame (elle est égale au périmètre de la lame fois σ).
Il faut tenir compte du poids de la lame et de la poussée d'Archimède sur la partie immergée.
Cette méthode peut être très précise, mais la difficulté est d'avoir une lame parfaitement mouillable donc très propre.
Un anneau accroché à plusieurs fils est plongé dans le liquide à étudier. On sort doucement l'anneau en le tirant avec un dynamomètre de précision.
On note l'indication du dynamomètre juste avant l'arrachement.
On admet que cette force est proportionnelle à la tension superficielle (coefficient de proportionnalité est approximativement égal à deux fois le périmètre de l'anneau).
On peut de toute façon faire des mesures relatives par rapport à un liquide de référence (eau pure par exemple)
4.5.4 Méthode stalagmométrique (méthode de la goutte tombante).
On laisse s'écouler goutte à goutte le liquide à étudier par l'orifice d'un tube très fin (3 à 5 mm).
Le volume d'une goutte, donc sa masse m) est proportionnel à la tension superficielle : la goutte se détache lorsque son poids est supérieur à la force due à la tension superficielle qui a tendance à maintenir la goutte contre l'orifice du tube.
Ces figures illustrent les étapes de la formation d'une goutte à la sortie d'un tube fin.
Avec cette méthode, on peut faire des mesures relatives de tension superficielle puisque nous avons :
0 0
σ
m
σ
= m
4.5.5 Méthode de la pression maximale de bulle (méthode de bullage)
On introduit dans le liquide à étudier un tube fin dont l'orifice est à une profondeur z. A l'aide d'un gaz sous pression (faible) envoyé dans le tube, on laisse se former très lentement des bulles qui finissent par s'échapper du tube. La pression du gaz augmente progressivement jusqu'à une valeur Pmax et la taille de la bulle augmente jusqu'à ce qu'elle quitte le tube (valeur Rmax du rayon).
On peut écrire la relation suivante :
max
max
P =
ρ.g.z +2σ
R
A noter que le deuxième terme est la différence de pression entre l'intérieur et l'extérieur de la bulle (cf. § 4.4.1)
Il suffit de mesurer Pmax , Rmax , z et ρ pour obtenir une valeur de la tension superficielle.
4.5.6 Méthode de la goutte posée
12 Cette méthode consiste à poser une goutte de liquide non mouillant sur une surface plane, de prendre une photo latérale de la goutte et de mesurer sur la photo les différents paramètres utiles (angle de raccordement, hauteur ...). La taille de la goutte doit être suffisante pour qu'elle présente une partie plane sur la partie supérieure.
La tension superficielle est donnée par la relation :
1
2σ
=
ρ. .hg 2
Cette méthode est très utilisée dans le cas de métaux en fusion 4.5.7 Méthode des ondes de surface
La surface libre d'un liquide peut être comparée à une membrane élastique. Si l'on donne une impulsion en un point de la surface, la perturbation se propage avec une certaine célérité qu'il est assez facile de mesurer. On peut relier la tension superficielle à la valeur de cette célérité.
5- Ecoulement d'un fluide incompressible
5.1 Définitions
* L'écoulement est dit permanent ou stationnaire lorsque la masse volumique ρ, la pression et les vecteurs vitesse en chaque point ne dépendent pas du temps..
L'écoulement est caractérisé par le débit du fluide : c'est la quantité de liquide qui traverse par unité de temps (la seconde) une section droite du tube de courant.
On peut donner le débit volumique QV (en m3.s-1) : volume de liquide incompressible qui traverse une section droite d'un tube de courant par unité de temps
ou le débit massique QM (en kg.s-1.) : masse de liquide incompressible qui traverse une section droite d'un tube de courant par unité de temps.
Noter la relation évidente QM = ρ. QV (ρ = masse volumique)
Remarque : pour un fluide parfait (viscosité nulle), la vitesse d'écoulement est la même en tout point d'une section droite. Pour un fluide réel (viscosité non nulle) la vitesse est nulle près de la paroi de la conduite et elle est maximale au centre.
On définit la vitesse moyenne de l'écoulement du fluide par :
v m
v = Q S
* Différents régimes d'écoulement :
- écoulement laminaire : les lignes de courant sont régulières et ne présentent pas de variations brusques. Ce type d'écoulement a lieu pour des vitesses faibles en l'absence d'obstacle à l'écoulement.
La répartition des vitesses (on parle de "profil de vitesses"
est parabolique : en partant d'une vitesse nulle près de la paroi à une vitesse maximale au centre.
Lors de l'écoulement d'un fluide, une particule du fluide suit une trajectoire qui est appelée "ligne de courant". A tout instant, le vecteur vitesse de la particule est tangent à la ligne de courant.
On appelle "tube de courant", l'ensemble des lignes de courant qui s'appuient sur un contour fermé. Un tube de courant très fin est appelé un "filet de courant".
- écoulement turbulent : les lignes de courant
présentent des variations brusques, la direction du vecteur vitesse peut varier rapidement.
La répartition des vitesses n'est pas parabolique, le profil des vitesses est plus aplati.
La vitesse moyenne diffère peu de la vitesse maxi.
Grâce à une étude empirique, il est possible de distinguer ces deux types d'écoulement en calculant la valeur du "nombre de Reynolds" (Re) pour une conduite et un fluide donnés :
ρ.v.D Re =
μ
avec : L'expérience montre que pour :Re < 2000 on a un régime laminaire Re > 3000, on a un régime turbulent
2000 < Re < 3000 le régime d'écoulement est incertain.
5.2 Equation de continuité.
Dans le cas d'un fluide incompressible et en écoulement permanent, la masse de fluide traversant toute section droite d'un tube de courant par unité de temps reste la même : autrement dit le débit est constant (ceci traduit la conservation de la masse de fluide au cours de l'écoulement).
ρ = masse volumique
écoulement laminaire écoulement turbulent vue instantanée
écoulement turbulent vue en pose filet
coloré
Reynolds a fait des expériences (vers 1883) en envoyant un filet de liquide coloré dans un conduit cylindrique : selon la valeur de différents paramètres (viscosité, diamètre, vitesse d'écoulement...) on obtient deux régimes d'écoulement très différents.
μ = viscosité dynamique D = diamètre du conduit
v = vitesse moyenne d'écoulement
Equation de continuité :
QV = QV1 = QV2 = S1.v1 = S2.v2et QM = QM1 = QM2 = ρ.S1v1 = ρ.S2v2
v1, v2 , S1, S2 sont respectivement les vitesses et les surfaces à l'entrée et à la sortie du tube de courant
14
Unités : S en m2, v en m.s-1, QV en m3.s-1 et QM en kg.s-1
5.3 Equation de Bernoulli
On considère que l'énergie totale du fluide se conserve au cours de son déplacement dans un tube de courant.
Considérons un tube de courant dont l'entrée est à une altitude z1 et la sortie à une altitude z2.
S1 et S2 sont les surfaces des sections droites d'entrée et de sortie.
v1 et v2 sont les vitesses à l'entrée et à la sortie du tube de courant.
5.3.1 Cas du liquide parfait incompressible.
Dans le cas d'un liquide parfait (donc viscosité nulle) et s'il n'y aucun échange d'énergie avec le liquide sur le trajet considéré (pas de pertes par frottement, mais pas de pompe non plus qui fournirait de l'énergie au liquide ni de turbine qui absorberait de l'énergie), on peut démontrer la relation suivante appelée Equation de Bernoulli :
2 2 te
1 1 1 2 2 2 t
1 1
p + ρ.g.z + ρ.v = p + ρ.g.z + ρ.v = p = C
2 2
Tous les termes de l'équation ont la dimension d'une pression :
p
t est appelé "charge totale" du tube de courant.p1 + ρ.g.z1 est appelé pression statique (ou parfois pression motrice)
1
22 ρ.v
provenant de l'énergie cinétique du liquide porte le nom de pression cinétique (ou parfois pression dynamique)Remarque 1 :
La démonstration de cette relation n'est pas au programme, mais il n'est pas inutile de connaître l'origine de ces termes. En fait, on peut appliquer le théorème de l'énergie cinétique à une masse m de liquide (qui aura donc un volume V, constant puisque le liquide est incompressible) : La variation d'énergie cinétique de cette masse m de liquide est égal au
travail des forces de pression + travail du poids de cette masse de liquide.
* Travail des forces de pression :
A l'entrée du tube de courant, la masse m de liquide traversant la section droite de surface S1 avance d'une distance x1 en un temps t : la force pressante F1 = p1.S1 fournit un travail égal à F1.x1 donc p1.S1.x1 = p1. V . Le même raisonnement appliqué à la sortie du tube de courant donne p2. V pour le travail de la force de pression. Le bilan global de ce travail est donc p1. V – p2. V.
* Travail du poids du liquide :
Ce travail est donné par la relation classique m.g.(z1 – z2) Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit donc :
1
221
12 1 2)
1.
mv - mv = m.g.(z - z + p - p
2 2 V
2V
En remplaçant m par ρ. V , on peut simplifier par V. On peut ensuite rassembler dans le même membre ce qui concerne l'entrée du tube de courant et dans l'autre membre ce qui concerne la sortie... On retrouve ainsi l'expression de l'équation de Bernoulli !
A noter que
énergie puissance = pression =
volume débit(vol)
Remarque 2 :
L'équation de Bernoulli peut se rencontrer sous une autre forme (en divisant par ρ.g)
2 2
1 1 2 2 te
1 2
p v p v
+ z + = + z + = H = C
ρ.g 2.g ρ.g 2.g
Sous cette forme, tous les termes ont la dimension d'une hauteur :
le premier terme est appelé "hauteur piézométrique" ou "charge de pression", le deuxième (z1) est l'altitude (appelé aussi "charge de pesanteur"),
le troisième est appelé "hauteur capable" ou "charge cinétique" (ou dynamique).
H est aussi appelé "charge totale" et représente une hauteur manométrique équivalente N.B. : la pression hydrostatique est bien donnée par p = ρ.g.h donc
p
ρ.g
est bien une hauteur ! 5.3.2. Cas d'un liquide réel (viscosité non nulle)Dans le cas d'un écoulement réel, il y a deux sources de pertes : celle due au frottement du liquide sur la paroi du conduit (perte de charge régulière) et celle due à des obstacles rencontrés par le liquide comme par exemple un coude, un rétrécissement, un évasement etc. (pertes de charges singulières)
5.3.2.1 Pertes de charges régulières
Dans le cas de l'écoulement d'un liquide réel, ayant une viscosité non nulle, il y a des pertes
d'énergie par frottement sur la paroi du conduit. Ceci se traduira par ce qui est appelé une "perte de charge régulière" notée Δpc , c'est à dire que la somme 1 1
1
12p + ρ.g.z + ρ.v = p
2
t n'est plusconservée. L'équation de Bernoulli s'écrit alors :
1 1
1
12 2 21
2p + ρ.g.z + ρ.v = p + ρ.g.z + ρ.v + p
2 2
2
Δ
c (en termes de pression)16
ou bien
2 2
1 1 2 2
1 2
p v p v
+ z + = + z + + H
ρ.g 2.g ρ.g 2.g Δ
(en termes de hauteur) Une expérience simple illustre bien cette dernière équation : si un liquide s'écoule d'un réservoir par un conduit horizontal muni de tubes verticaux jouant le rôle de manomètres, on observe unedécroissance régulière du niveau du liquide dans ces tubes (pression de plus en plus faible.
N.B. : si le liquide ne s'écoule pas, les niveaux dans tous les tubes est le même que celui du réservoir. De même, si le liquide était parfait (viscosité nulle), le niveau dans tous les tubes serait identique.
5.3.2.2 Pertes de charges et loi de Poiseuille
La loi de Poiseuille dont il a déjà été question au sujet de
l'écoulement d'un liquide dans un tube capillaire, peut s'appliquer ici au calcul de la perte de charge dans le cas d'un écoulement laminaire :
* la pression ΔP s'exerçant sur le fluide (en Pa) * le rayon intérieur R du tube capillaire (en m)
* la longueur l de la partie du tube capillaire entre les deux prises de pression (en m) * la viscosité dynamique μ du fluide en Pa.s
5.3.2.3 Pertes de charges singulières.
Il y a perte de charge singulière chaque fois qu'il y a une variation brusque sur le trajet du liquide : rétrécissement, coude, élargissement, vanne ou robinet, soupape, etc. D'une façon générale, on constate que la perte de charge est proportionnelle au carré de la vitesse d'écoulement.
On peut donc écrire la relation suivante :
2 c
p = k.
ρ.v Δ2
Dans chaque cas particulier, la valeur du coefficient k est déterminée expérimentalement.
l
p1 p2
Δh
2r v
4.
8.μ.l
P = Q
Δ π.R Le tube étant horizontal, z1 = z2.
Le débit et la section étant constantes, la vitesse d'écoulement est constante donc v1
= v2.
L'équation de Bernoulli se réduit donc à :
p
te+ H = C
Δ =dénivellation h
2.g
5.3.3 Cas d'un liquide réel avec échange d'énergie (pompe ou turbine)
Si le liquide rencontre un dispositif qui lui fournit de l'énergie (pompe) ou qui lui en prend (turbine de centrale électrique, par exemple), il faut en tenir compte dans le bilan énergétique. Cela se traduit par une différence de pression Δp entre l'entrée et la sortie de la pompe ou de la turbine.
2 2
1 1
1
1 2 21
2p - p + p
c p Tp + ρ.g.z + ρ.v = p + ρ.g.z + ρ.v +
2 2 Δ Δ Δ
Δpp est la différence de pression introduite par une pompe ΔpT est la différence de pression introduite par une turbine La puissance de ces machines est obtenue en écrivant que :
la variation de pression multipliée par le débit est égale à la puissance
Δp* q = P
Pa m3.s-1 W
Remarque : une perte de charge régulière (due aux pertes par frottement) ou singulière dans un conduit peut être compensée par la mise en place d'une pompe. La puissance de celle-ci sera calculée de la façon suivante :
Soit ΔH la perte de charge régulière et/ou singulière exprimée en hauteur manométrique (m), la puissance de la pompe P sera :
P = ΔH.ρ.g.q
(q étant le débit volumique en m3.s-1)( ρ est la masse volumique du liquide en kg.m-3)
5.4 Quelques applications de l'équation de Bernoulli
5.4.1 Mesure de vitesse d'écoulement : tube de Pitot18
On considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeant dans le liquide, l'un débouchant en A face au courant, et l'autre en B est le long des lignes de courant, les deux extrémités étant à la même hauteur. Au point B, le liquide a la même vitesse v que dans la canalisation et la pression est la même que celle du liquide pB = p.
En A, point d'arrêt, la vitesse est nulle et la pression est pA.
h
A B
D'après le théorème de Bernoulli,
pB+1 ⋅v = A 2
ρ 2 p soit 1 2
ρ⋅v2 = ⋅ ⋅ρ g h
En mesurant la dénivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v d'écoulement du fluide.
5.4.2 Mesure de débit par effet Venturi
Un conduit de section principale SA subit un étranglement en B où sa section est SB. La vitesse d’un fluide augmente dans l’étranglement, donc sa pression y diminue : v
B
B > vA ⇒ pB < pA
Le théorème de Bernoulli s'écrit ici :
2 2 2
B B C C
1 1 1
=p + ρ.v =p + ρ.v
2 2 2
A A
p + ρ.v
A
A B
D'après l'équation de continuité,
v .S = v .S = q
B B A A v etv > v
B doncp > p
A B2 2
A B 2 2
B A
1 1 1
p - p =
ρ.(- ).q = k.q
2 S S
La différence de pression aux extrémités du tube de Venturi est proportionnelle au carré du débit : on peut donc appliquer cette propriété à la mesure des débits (organes déprimogènes).
On peut citer aussi la trompe à eau, le pulvérisateur...qui fonctionnent sur le même principe.
5.4.3 Ecoulement d'un liquide contenu dans un réservoir – Théorème de Torricelli
Considérons un réservoir muni d'un petit orifice à sa base, de section s et une ligne de courant partant de la surface au point (1) et arrivant à l'orifice au point (2). En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points (1) et (2),
2 2
1 2
1 1 2
v v
ρ.
+ρ.g.z +p =ρ. +ρ.g.z +p
2 2
zz2 z1
jet parabolique v1=0
v2 s 2
Or p1 = p2 = pression atmosphérique.
Et v1 << v2 d'où
v = 2.g.z
2La vitesse d'écoulement a la même valeur que si le liquide était en chute libre entre la surface libre et l'orifice, quelle que soit la masse volumique du liquide.
Application : vase de Mariotte à débit constant.
Dynamique des fluides
Exemples de différents types d'écoulement d'un fluide : Ecoulement du vent dans les voiles...
Ecoulement laminaire de l'air autour de deux voiles : le foc à l'avant et la grand-voile au milieu
Si l'on enlève le foc, l'écoulement devient turbulent à l'arrière de la grand- voile
La grand-voile est trop "bordée", il y a une grande turbulence à l'arrière de la voile, dans ce cas le réglage n'est pas optimal et le bateau n'avance pas bien...
20
