MF3 – Equations locales de la dynamique des fluides

(1)

MF3 – Equations locales de la dynamique des fluides

I – Equation de Navier-Stokes

I-1) Expression

Ecrivons la deuxième loi de Newton, dans le référentiel d’étude R. On se place dans le cas d’un écoulement incompressible d’un fluide newtonien. Pour une particule de fluide de volume dτ :

𝐷𝐷𝑝𝑝⃗

𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑑𝑑𝑑𝑑��⃗

⇔ µ_𝑑𝑑τ^{𝐷𝐷𝑣𝑣⃗}

𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑓𝑓��⃗𝑑𝑑_𝑣𝑣 τ _{− 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗ 𝑝𝑝 𝑑𝑑τ ₊ η ∆_{��⃗𝑑𝑑}_𝑣𝑣 τ Or : ^{𝐷𝐷𝑣𝑣�⃗}_{𝐷𝐷𝐷𝐷} = ^{𝜕𝜕𝑣𝑣�⃗}_{𝜕𝜕𝐷𝐷} + �𝑣𝑣⃗.𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗�𝑣𝑣⃗

I-2) Analyse dimensionnelle

L’équation de NS peut s’écrire si 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣_𝑥𝑥𝑢𝑢��⃗ 𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑓𝑓_𝑥𝑥 ��⃗_𝑣𝑣 = −µ_{𝑔𝑔𝑢𝑢}_{��⃗}_𝑧𝑧 : µ^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝐷𝐷 = −µ��_{�𝑣𝑣⃗.}_{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗�𝑣𝑣⃗

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐

− 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ 𝑝𝑝 + 𝑓𝑓��⃗_𝑣𝑣 + η∆��⃗_𝑣𝑣

𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐

Pour un écoulement incompressible d’un fluide newtonien, on vérifie l’équation de Navier-Stokes :

µ_�^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝐷𝐷 + �𝑣𝑣⃗.𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗�𝑣𝑣⃗� = 𝑓𝑓��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑_𝑣𝑣 ��⃗ 𝑝𝑝 + η ∆^{��⃗}_𝑣𝑣 𝑜𝑜𝑢𝑢 µ_�^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝐷𝐷 + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ �𝑣𝑣2²� + �𝑔𝑔𝑜𝑜𝐷𝐷��⃗𝑣𝑣⃗� ∧ 𝑣𝑣⃗� = 𝑓𝑓��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑_𝑣𝑣 ��⃗ 𝑝𝑝 + η ∆��⃗_𝑣𝑣 𝑓𝑓_𝑣𝑣

��⃗ : forces volumiques qui contient la pesanteur et les forces d’inertie…

(2)

On utilise l’analyse par ordre de grandeurs afin de comparer les termes diffusifs et convectifs.

�

η ∆_{𝑣𝑣 →} η_{𝑈𝑈/𝐿𝐿}² µ_{�𝑣𝑣⃗.}_{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗�𝑣𝑣⃗ → µ^𝑈𝑈²

𝐿𝐿

⇒_𝑅𝑅_𝑐𝑐 ₌ 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑔𝑔𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑣𝑣𝑒𝑒𝑐𝑐𝐷𝐷𝑠𝑠𝑓𝑓

𝐷𝐷𝑒𝑒𝑔𝑔𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑢𝑢𝑠𝑠𝑠𝑠𝑓𝑓 = µ_{𝑈𝑈𝐿𝐿} η

I-3) Conditions aux limites a) Ecoulement réel

Dans le cas d’un écoulement parfait, on néglige les effets de d’irréversibilité donc de diffusion, par conséquent η _→ _{0 𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑅𝑅}_𝑐𝑐 _{→ ∞}.

Dans le cas réel, les forces de viscosité se concentrent dans la couche limite. On décompose alors l’étude de l’écoulement en deux parties :

- Ecoulement parfait en dehors de la couche limite.

- Ecoulement visqueux dans la couche limite.

Le nombre de Reynolds permet de comparer le terme convectif et le terme diffusif.

𝑅𝑅_𝑐𝑐 =

µ_{�𝑣𝑣⃗.}_{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗�𝑣𝑣⃗

��

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐

η∆_�^{��⃗}_𝑣𝑣

𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐

= µ_{𝑈𝑈𝐿𝐿} η

- Pour les nombres de Reynolds faibles, les phénomènes de diffusion dominent. Ce sont des termes linéaires donc on aura un écoulement linéaire.

- Pour les nombres de Reynolds élevés, ce sont les phénomènes de convection qui dominent. Ce sont des termes non linéaires, il y aura plutôt un écoulement instable et turbulent

(3)

b) Continuité de la vitesse

Dans le chapitre MF1 on a vu que la composante de la vitesse normale était continue dans le cas de fluide parfait.

Si les fluides sons visqueux, on doit ajouter une condition de non glissement d’un fluide sur l’autre, ce qui se traduit par la continuité tangentielle de la vitesse.

c) Continuité de la contrainte

Appliquons la deuxième loi de Newton à la particule de fluide de surface dS et hauteur h d’où :

µ_𝑑𝑑τ_𝑔𝑔⃗ ₌_{𝑑𝑑𝑑𝑑}^{��⃗} ₌ _𝑓𝑓_{��⃗𝑑𝑑}_𝑣𝑣 τ ₊ _𝑓𝑓^��⃗_𝑑𝑑_{𝑑𝑑𝑑𝑑}

⇔ µ_{ℎ𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑔𝑔⃗} ₌ _𝑓𝑓_{��⃗ℎ𝑑𝑑𝑑𝑑}_𝑣𝑣 ₊ _𝑓𝑓^��⃗_𝑑𝑑_{𝑑𝑑𝑑𝑑}

Pour des fluides visqueux (réels) on a continuité de la vitesse : - Interface fluide/Solide : 𝑣𝑣⃗𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑣𝑣⃗_{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐}

- Interface fluide1/fluide 2 : 𝑣𝑣⃗𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐1 = 𝑣𝑣⃗𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐2

Ecoulement parfait :

�

η _→ _{0 𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑅𝑅}_𝑐𝑐 _{→ ∞}

𝑐𝑐𝑜𝑜𝑢𝑢𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠𝐷𝐷𝑒𝑒 𝑑𝑑^′é𝑝𝑝𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑢𝑢𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒 𝐸𝐸𝑣𝑣𝑜𝑜𝑙𝑙𝑢𝑢𝐷𝐷𝑠𝑠𝑜𝑜𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐𝐷𝐷𝑔𝑔𝑜𝑜𝑝𝑝𝑠𝑠𝑖𝑖𝑢𝑢𝑒𝑒 Ecoulement réel :

- Ecoulement parfait en dehors de la couche limite.

- Ecoulement visqueux dans la couche limite.

(4)

𝑑𝑑𝑠𝑠 ℎ → 0 𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑓𝑓��⃗_𝑑𝑑 = 0�⃗

⇒ ₋ _𝑝𝑝₁_{𝑑𝑑𝑑𝑑}₁_𝑐𝑐_{��⃗ − 𝑝𝑝}₁ ₂_{𝑑𝑑𝑑𝑑}₂_𝑐𝑐_{��⃗ −}₂ η₁ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}^1𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑¹ 𝐷𝐷��⃗₁ + η₂ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}^2𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐷𝐷��⃗² = 0�⃗

𝑂𝑂𝑔𝑔 𝑐𝑐��⃗₁ = −𝑐𝑐��⃗ 𝑒𝑒𝐷𝐷 𝐷𝐷₂ ��⃗₁ = 𝐷𝐷��⃗₂

⇒ _�

𝑝𝑝₁ = 𝑝𝑝₂ η₁ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}^1𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕 = η₂ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}^2𝑥𝑥

Par conséquent, il y a continuité de la force surfacique à la traversée 𝜕𝜕𝜕𝜕

de l’interface.

A la traversée d’une interface entre 2 fluides non miscibles on a :

- Continuité de la contrainte normale : 𝑝𝑝₁�𝜕𝜕_𝑐𝑐⁻� = 𝑝𝑝₂�𝜕𝜕_𝑐𝑐⁺� - Continuité de la composante tangentielle.

o Dans le cas de fluide newtoniens : η₁ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}^1𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝜕𝜕^𝑐𝑐⁻� = η₂ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}^2𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝜕𝜕^𝑐𝑐⁺�

(5)

d) Tableau récapitulatif

Interface Fluide parfait Fluide visqueux

Fluide → Paroi 𝑣𝑣𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑣𝑣𝑐𝑐,𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑝𝑝𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑝𝑝_{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑣𝑣⃗𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 =𝑣𝑣⃗_{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑝𝑝_{𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐} Fluide 1 → Fluide 2 𝑣𝑣𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐1 =𝑣𝑣𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐2

𝑝𝑝𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐1 =𝑝𝑝𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐2

𝑣𝑣⃗𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐1 = 𝑣𝑣⃗𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐2

𝑝𝑝𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐1 = 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐2

η₁_�^{𝜕𝜕𝑣𝑣}^1𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕 � �𝜕𝜕^𝑐𝑐⁻� =η₂_�^{𝜕𝜕𝑣𝑣}^2𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕 � �𝜕𝜕^𝑐𝑐⁺�

I-4) Exemples d’application

a) Ecoulement de Couette plan

Le système étudié est invariant par translation selon (Oz). Une plaque entraînée à la vitesse 𝑈𝑈��⃗ = 𝑈𝑈 𝑢𝑢��⃗_𝑥𝑥entraîne une couche de fluide, d’épaisseur uniforme h. Aucune force n’est appliquée au fluide, qui est seulement soumis à l’action de la pesanteur et de la plaque. On se place en régime stationnaire. On cherche une solution de l’équation de Navier-Stokes sous la forme : 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣(𝑥𝑥,𝜕𝜕,𝐷𝐷) 𝑢𝑢��⃗._𝑥𝑥

�𝐸𝐸𝑐𝑐𝑜𝑜𝑢𝑢𝑙𝑙𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝐷𝐷 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡𝑝𝑝𝑔𝑔𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙𝑒𝑒 ∶ 𝜕𝜕𝑣𝑣_𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 ⇒_𝑣𝑣_𝑥𝑥 ₌ _𝑣𝑣_𝑥𝑥_(𝜕𝜕) 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑜𝑜𝑢𝑢𝑙𝑙𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝐷𝐷 𝑠𝑠𝐷𝐷𝑔𝑔𝐷𝐷𝑠𝑠𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔𝑒𝑒 ∶ 𝜕𝜕𝑣𝑣_𝑥𝑥

𝜕𝜕𝐷𝐷 = 0 L’équation de Navier-Stokes :

µ�𝜕𝜕𝑣𝑣⃗

𝜕𝜕𝐷𝐷 + �𝑣𝑣⃗.𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗�𝑣𝑣⃗� = 𝑓𝑓��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑_𝑣𝑣 ��⃗ 𝑝𝑝 + η ∆��⃗𝑣𝑣

(6)

se simplifie en :

⇒ µ_𝑣𝑣_𝑥𝑥_.^{𝜕𝜕𝑣𝑣}^𝑥𝑥

�𝜕𝜕𝑥𝑥

=0

𝑢𝑢_𝑥𝑥

��⃗ = −µ_{𝑔𝑔 𝑢𝑢}��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑_𝑦𝑦 ��⃗ 𝑝𝑝 + η ^𝜕𝜕²^𝑣𝑣^𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕² 𝑢𝑢��⃗_𝑥𝑥

⇒

⎩⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎧ 0 = −𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥 + η ^𝜕𝜕²^𝑣𝑣^𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕² (1) 0 = −𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝜕𝜕 − µ_{𝑔𝑔 (2)} 0 = −𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝜕𝜕 ⇒_𝑝𝑝 ₌ _{𝑝𝑝(𝑥𝑥,}_𝜕𝜕) (2) se résout ainsi :

𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝜕𝜕�_𝑥𝑥 = −µ_𝑔𝑔

⇒_{𝑝𝑝(𝑥𝑥,}_{𝜕𝜕) =} ₋µ_{𝑔𝑔𝜕𝜕} ₊ _{𝑓𝑓(𝑥𝑥)}

Or le système présente une invariance par translation selon (Ox) :

⇒_{𝑝𝑝(𝜕𝜕) =} ₋µ_{𝑔𝑔𝜕𝜕} ₊ _{𝑐𝑐𝑠𝑠𝐷𝐷𝑒𝑒}

⇒_{𝑝𝑝(𝜕𝜕) =} ₋µ_{𝑔𝑔𝜕𝜕} ₊ _𝑝𝑝(0) Donc (1) se résout :

η ^𝜕𝜕²^𝑣𝑣^𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕² = 0 ⇒_𝑣𝑣_𝑥𝑥 ₌ _{𝐴𝐴𝜕𝜕} ₊ _𝐵𝐵 Le fluide étant visqueux (réel) :

� 𝑣𝑣^𝑥𝑥(0) = 0 = 𝐵𝐵

𝑣𝑣_𝑥𝑥(ℎ) = 𝐴𝐴ℎ + 𝐵𝐵 = 𝑈𝑈 ⇒ _�^𝐵𝐵 ^{= 0} 𝐴𝐴 = 𝑈𝑈 ℎ

⇒_𝑣𝑣⃗ ₌ ^𝑈𝑈

ℎ 𝜕𝜕 𝑢𝑢��⃗ _𝑥𝑥 D’où la force exercée par le fluide sur la plaque :

𝑑𝑑⃗𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐→𝑝𝑝𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑐𝑐 = −η_𝑑𝑑^{𝜕𝜕𝑣𝑣}^𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑢𝑢��⃗^𝑥𝑥 = −η_{𝑑𝑑𝑈𝑈} ℎ 𝑢𝑢��⃗_𝑥𝑥

L’opérateur devra exercée une force constante pour s’opposer à cette force de frottement fluide.

(7)

b) Ecoulement de Poiseuille

L’écoulement de Poiseuille correspond à l’écoulement d’un fluide réel à l’intérieur d’une conduite cylindrique de rayon R. L’axe de symétrie de révolution de la conduite est (Oz). Pour forcer le liquide à s’écouler, un opérateur impose :

� 𝑝𝑝_𝑐𝑐 = 𝑝𝑝(0)

𝑝𝑝_𝑑𝑑 = 𝑝𝑝(𝐿𝐿) < 𝑝𝑝_𝑐𝑐 𝑔𝑔𝑣𝑣𝑒𝑒𝑐𝑐 ∆_𝑝𝑝 ₌ _𝑝𝑝_𝑐𝑐 _{− 𝑝𝑝}_𝑑𝑑 _{> 0} Hypothèses :

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑜𝑜𝑢𝑢𝑙𝑙𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝐷𝐷 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡𝑝𝑝𝑔𝑔𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙𝑒𝑒 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑜𝑜𝑢𝑢𝑙𝑙𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝐷𝐷 𝑠𝑠𝐷𝐷𝑔𝑔𝐷𝐷𝑠𝑠𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔𝑒𝑒

𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠𝑔𝑔𝑐𝑐𝐷𝐷𝑒𝑒𝑢𝑢𝑔𝑔 𝑐𝑐é𝑔𝑔𝑙𝑙𝑠𝑠𝑔𝑔é𝑒𝑒 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀,𝐷𝐷) = 𝑣𝑣(𝑔𝑔)𝑢𝑢��⃗ _𝑥𝑥 ⇒∆_𝑣𝑣_𝑥𝑥 ₌ ¹

𝑔𝑔

𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑔𝑔 �𝑔𝑔

𝜕𝜕𝑣𝑣_𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑔𝑔 � L’équation de NS se simplifie en :

µ𝑣𝑣_𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣(𝑔𝑔)

𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑢𝑢��⃗^𝑥𝑥 = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ 𝑝𝑝 + η 1 𝑔𝑔

𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑔𝑔 � 𝑢𝑢��⃗^𝑥𝑥

�0 = −𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥 + η 1 𝑔𝑔

𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑔𝑔 � 0 = −𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑔𝑔 𝑒𝑒𝐷𝐷 0 = −𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕θ

Donc p ne dépend que de x et v dépend que de r donc : 𝑑𝑑𝑝𝑝

𝑑𝑑𝑥𝑥 = η 1 𝑔𝑔

𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑔𝑔 �𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑣𝑣_𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑔𝑔 � ⇔_{𝑑𝑑(𝑥𝑥) =} _𝐺𝐺_(𝑔𝑔)

Comme x et r sont deux variables indépendantes, chacune de ces deux fonctions est nécessairement égale à une constante, indépendante de r et de x, que nous notons K :

(8)

𝑑𝑑𝑝𝑝

𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐾𝐾 ⇒_{𝑝𝑝(𝑥𝑥) =} _{𝐾𝐾𝑥𝑥} ₊ _𝐵𝐵 𝑂𝑂𝑔𝑔 : �𝑝𝑝(0) = 𝑝𝑝_𝑐𝑐

𝑝𝑝(𝐿𝐿) = 𝑝𝑝_𝑑𝑑 ⇒_{𝑝𝑝(𝑥𝑥) =} ^𝑝𝑝^𝑑𝑑 ^{− 𝑝𝑝}^𝑐𝑐

𝐿𝐿 𝑥𝑥 + 𝑝𝑝_𝑐𝑐 D’où :

η 1 𝑔𝑔

𝜕𝜕

𝑑𝑑𝑔𝑔 � = −∆_𝑝𝑝 𝐿𝐿

⇔ 𝜕𝜕

𝑑𝑑𝑔𝑔 � = −∆_𝑝𝑝 η_{𝐿𝐿 𝑔𝑔}

⇒ 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑣𝑣_𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑔𝑔 = −∆_𝑝𝑝 η_𝐿𝐿 ^𝑔𝑔

2

2 + 𝐶𝐶

⇒ 𝑑𝑑𝑣𝑣_𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑔𝑔 = −∆_𝑝𝑝

η_𝐿𝐿_{2 +}^𝑔𝑔 ^𝐶𝐶_𝑔𝑔

⇔ 𝑣𝑣_𝑥𝑥 = −∆_𝑝𝑝 η_𝐿𝐿 ^𝑔𝑔

2

4 + 𝐶𝐶 𝐿𝐿𝑐𝑐(𝑔𝑔) +𝐷𝐷 Or 𝐿𝐿𝑐𝑐(𝑔𝑔) diverge en r=0 donc C=0 d’où :

𝑣𝑣_𝑥𝑥 = −∆_𝑝𝑝 η_𝐿𝐿 ^𝑔𝑔

2

4 + 𝐷𝐷 Les parois étant immobiles :

𝑣𝑣(𝑅𝑅) = 0 ⇒_𝑣𝑣_𝑥𝑥 ₌ ₋ ∆_𝑝𝑝

4η_𝐿𝐿^(𝑔𝑔² ^{− 𝑅𝑅}²⁾

⇒_{𝑣𝑣⃗(𝑔𝑔) =} ∆_𝑝𝑝

4η_𝐿𝐿^(𝑅𝑅² ^{− 𝑔𝑔}²^)𝑢𝑢^{��⃗}^𝑥𝑥

(9)

c) Loi de Hagen-Poiseuille

Calculons le débit volumique du fluide dans l’écoulement de Poiseuille :

𝐷𝐷_𝑣𝑣 = � 𝑣𝑣⃗.𝑑𝑑𝑑𝑑��⃗

𝑆𝑆 = � ∆_𝑝𝑝

4η_𝐿𝐿^(𝑅𝑅² ^{− 𝑔𝑔}²^). ^{𝑔𝑔𝑑𝑑𝑔𝑔𝑑𝑑}_��θ

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑦𝑦𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑆𝑆

⇔_𝐷𝐷_𝑣𝑣 ₌ ∆_𝑝𝑝

4η_𝐿𝐿²π _�𝑅𝑅² ^𝑅𝑅²

2 − 𝑅𝑅⁴

4 � = ∆_𝑝𝑝 2η_𝐿𝐿

π_𝑅𝑅⁴ 4

On fait l’analogie avec la loi d’ohm en électrocinétique : 𝐼𝐼 = 𝑈𝑈

𝑅𝑅 ↔_𝐷𝐷_𝑣𝑣 ₌ ∆_𝑝𝑝

𝑅𝑅_ℎ 𝑜𝑜ù 𝑅𝑅_ℎ = 𝑔𝑔é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝐷𝐷𝑔𝑔𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 ℎ𝜕𝜕𝑑𝑑𝑔𝑔𝑔𝑔𝑢𝑢𝑙𝑙𝑠𝑠𝑖𝑖𝑢𝑢𝑒𝑒

La résistance hydraulique augmente fortement lorsqu’on diminue le rayon. Ceci entraîne de sévères limitations dans le développement actuel de la micro fluidique. Il faut en effet 10000 tubes de 1 mm de rayon pour obtenir le même débit volumique qu’avec un seul tube de rayon égal à 1 cm.

A haute vitesse d’écoulement, l’écoulement devient turbulent, en effet :

𝑅𝑅_𝑐𝑐 = µ_{𝑈𝑈(2𝑅𝑅)} η ⁼ ²

µ_𝑣𝑣_𝑚𝑚_𝑅𝑅

η ^𝑜𝑜ù ^𝑣𝑣^�^𝑚𝑚

𝑣𝑣𝑐𝑐𝐷𝐷𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑑é𝑏𝑏𝑐𝑐𝐷𝐷𝑝𝑝𝑐𝑐𝐷𝐷𝑐𝑐

= 𝐷𝐷_𝑣𝑣 π_𝑅𝑅²

⇔_𝑅𝑅_𝑐𝑐 _{= 2}^𝑣𝑣^𝑚𝑚ν^𝑅𝑅 ^< ^𝑅𝑅^{𝑐𝑐𝑐𝑐}∼₂₀₀₀⇒_𝑣𝑣_𝑚𝑚 _< ν _× _𝑅𝑅_{𝑐𝑐𝑐𝑐}

2𝑅𝑅 ∼_{0,1 𝑡𝑡𝑠𝑠}⁻¹

Au-dessus de cette vitesse le régime devient turbulent et notre loi de Hagen-Poiseuille n’est plus applicable sur cette conduite.

Dans un écoulement incompressible et stationnaire le débit dans une conduite cylindrique vérifie la loi de Hagen-Poiseuille :

𝐷𝐷_𝑣𝑣 = ∆_𝑝𝑝

𝑅𝑅_ℎ = π_𝑅𝑅⁴

8η_𝐿𝐿∆_{𝑝𝑝 𝑜𝑜ù 𝑅𝑅}_ℎ ₌ ⁸η_𝐿𝐿 π_𝑅𝑅⁴

(10)

II – Equation d’Euler

II-1) Enoncé

On se place dans le cas d’un écoulement parfait : la viscosité est négligée. L’équation NS devient l’équation d’Euler :

µ_�^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝐷𝐷 + �𝑣𝑣⃗.𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗�𝑣𝑣⃗� = 𝑓𝑓��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑_𝑣𝑣 ��⃗ 𝑝𝑝

II-2) Exemples

a) Jet rectiligne

Supposons un écoulement parfait du type : 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣(𝑥𝑥,𝐷𝐷)𝑢𝑢��⃗_𝑥𝑥 alors l’équation d’Euler s’écrit :

µ_�^{𝜕𝜕𝑣𝑣}

𝜕𝜕𝐷𝐷 𝑢𝑢��⃗^𝑥𝑥 + 𝑣𝑣𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑢𝑢��⃗�^𝑥𝑥 = 𝑓𝑓��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑_𝑣𝑣 ��⃗ 𝑝𝑝 Donc en projections sur (Oy) et (Oz) on a :

𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑓𝑓_{𝑣𝑣𝑦𝑦} 𝑒𝑒𝐷𝐷 𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑓𝑓_{𝑣𝑣𝑧𝑧}

Pour un écoulement parfait, incompressible ou non, l’écoulement du fluide vérifie l’équation d’Euler :

µ_�^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝐷𝐷 + �𝑣𝑣⃗.𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗�𝑣𝑣⃗� = 𝑓𝑓��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑_𝑣𝑣 ��⃗ 𝑝𝑝 Ou µ_�^{𝜕𝜕𝑣𝑣�⃗}

𝜕𝜕𝐷𝐷 + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ �^𝑣𝑣₂²� + �𝑔𝑔𝑜𝑜𝐷𝐷��⃗𝑣𝑣⃗� ∧ 𝑣𝑣⃗� = 𝑓𝑓��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑_𝑣𝑣 ��⃗ 𝑝𝑝

Si le fluide est au repos : 𝑓𝑓��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑_𝑣𝑣 ��⃗ 𝑝𝑝 = 0�⃗ (statique des fluides)

Dans une section droite d’un jet rectiligne, la répartition de pression vérifie les équations d’hydrostatique.

(11)

b) Jet circulaire

On suppose un écoulement du type 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣(𝑔𝑔,𝐷𝐷)𝑢𝑢��⃗θ avec les forces volumiques négligeables, dans ce cas l’équation d’Euler s’écrit :

µ_�^{𝜕𝜕𝑣𝑣}

𝜕𝜕𝐷𝐷 𝑢𝑢��⃗^θ + 𝑣𝑣𝜕𝜕(𝑣𝑣𝑢𝑢��⃗)θ

𝑔𝑔 𝜕𝜕θ ^� ⁼ ^{−𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗ 𝑝𝑝 Or : �

𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕θ = 0

𝜕𝜕𝑑𝑑��⃗θ

𝜕𝜕θ = −𝑢𝑢��⃗ (𝐶𝐶𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑃𝑃𝐶𝐶𝑑𝑑𝐼𝐼)_𝑝𝑝 D’où sur 𝑢𝑢��⃗ ∶_𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑔𝑔 = µ^𝑣𝑣²

𝑔𝑔 > 0

c) Effet « Coanda »

On place dans un jet d’air vertical produit par un sèche-cheveux une balle de ping-pong et l’on incline progressivement le sèche-

Pour un jet « circulaire », si les forces volumiques sont négligeables, la pression augmente du centre de courbure vers la périphérie du jet.

(12)

cheveux. On constate que la balle de ping-pong reste piégée sous le jet et que sa position d’équilibre se décale de la verticale.

Loin de la balle, la pression est égale à la pression atmosphérique. La forme des lignes de courant entraîne une pression plus faible autour de la balle (qui s’approche du centre de courbure) d’où une force de pression dirigée vers le haut. Ce phénomène porte le nom d’effet « Coanda » on le retrouve aussi en approchant une petite cuillère d’un jet d’eau, l’eau va être attirée par les zones de basse pression.

III – Théorème de Bernoulli

III-1) Démonstration

a) Ecoulement tourbillonnaire

Intégrons l’équation d’Euler le long d’une ligne de courant. Pour ce faire multiplions par un élément de longueur ��⃗.

(13)

µ_�^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝐷𝐷 + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ �𝑣𝑣2²� + �𝑔𝑔𝑜𝑜𝐷𝐷��⃗𝑣𝑣⃗� ∧ 𝑣𝑣⃗�.𝑑𝑑𝑙𝑙��⃗ = 𝑓𝑓��⃗_𝑣𝑣.𝑑𝑑𝑙𝑙��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ 𝑝𝑝.𝑑𝑑𝑙𝑙��⃗

Or : ��𝑔𝑔𝑜𝑜𝐷𝐷��⃗𝑣𝑣⃗� ∧ 𝑣𝑣⃗�.𝑑𝑑𝑙𝑙��⃗ = 0 𝑐𝑐𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑙𝑙��⃗ = 𝑣𝑣⃗𝑑𝑑𝐷𝐷

⇒ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝐷𝐷 .𝑑𝑑𝑙𝑙��⃗ + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ �𝑣𝑣2²�.𝑑𝑑𝑙𝑙��⃗ = 𝑓𝑓��⃗_𝑣𝑣

µ ^.^{𝑑𝑑𝑙𝑙}��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ 𝑝𝑝 µ ^.^{𝑑𝑑𝑙𝑙}^��⃗

On suppose que les forces massiques dérivent d’une énergie potentielle d’où :

𝑓𝑓_𝑣𝑣

��⃗

µ ⁼ ^𝑓𝑓^{��⃗}^𝑚𝑚 ⁼ ^{−𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗ 𝑒𝑒_𝑝𝑝 = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ (𝑔𝑔𝜕𝜕) 𝑝𝑝𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 𝑙𝑙𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠𝑔𝑔𝑐𝑐𝐷𝐷𝑒𝑒𝑢𝑢𝑔𝑔

⇒ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝐷𝐷 .𝑑𝑑𝑙𝑙��⃗ + 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ �𝑣𝑣2 +² 𝑒𝑒_𝑝𝑝�.𝑑𝑑𝑙𝑙��⃗ = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ 𝑝𝑝 µ ^.^{𝑑𝑑𝑙𝑙}^��⃗

On rajoute les hypothèses d’écoulement :

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 𝑑𝑑𝐷𝐷𝑔𝑔𝐷𝐷𝑠𝑠𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑔𝑔𝑠𝑠𝑔𝑔𝑒𝑒 ∶ 𝜕𝜕𝑣𝑣⃗

𝜕𝜕𝐷𝐷 = 0�⃗ 𝑒𝑒𝐷𝐷 𝜕𝜕µ

𝜕𝜕𝐷𝐷 = 0 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑢𝑢𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒 ℎ𝑜𝑜𝑡𝑡𝑜𝑜𝑔𝑔è𝑐𝑐𝑒𝑒 ∶ 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ 𝑝𝑝

µ ⁼ ^{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗ �𝑝𝑝 µ^�

⇒_{𝑑𝑑 �}^𝑣𝑣²

2 + 𝑒𝑒_𝑝𝑝 + 𝑝𝑝

µ^� ^{= 0}

On retrouve incompressible dans l’énoncé car un écoulement stationnaire d’un fluide homogène est incompressible.

Dans un écoulement parfait, incompressible, stationnaire, tourbillonnaire d’un fluide homogène évoluant dans le champ de pesanteur, on vérifie le théorème de Bernoulli, le long d’une ligne de courant :

𝑣𝑣_𝐴𝐴²

2 + 𝑔𝑔𝜕𝜕_𝐴𝐴 + 𝑝𝑝_𝐴𝐴

µ ⁼ ^𝑣𝑣^𝐵𝐵

2

2 + 𝑔𝑔𝜕𝜕_𝐵𝐵 + 𝑝𝑝_𝐵𝐵 µ

où A et B appartiennent à la même ligne de courant.

(14)

b) Ecoulement irrotationnel

On considère un écoulement répondant aux hypothèses suivantes : - L’écoulement est parfait ;

- L’écoulement du fluide homogène est stationnaire et donc incompressible ;

- L’écoulement est irrotationnel ;

- Le fluide n’évolue que sous l’action des forces de pression et du champ de pesanteur uniforme.

Compte tenu de ces hypothèses, dans le référentiel d’étude R galiléen, l’équation d’Euler s’écrit :

µ_{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗ �𝑣𝑣2²� = 𝑓𝑓��⃗ − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑_𝑣𝑣 ��⃗ 𝑝𝑝

⇒_{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗ �𝑣𝑣2 +² 𝑝𝑝

𝜇𝜇� = 𝑓𝑓��⃗_𝑣𝑣

𝜇𝜇 = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ 𝑒𝑒_𝑝𝑝

⇒_{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗ �µ^𝑣𝑣²

2 + 𝑝𝑝 + 𝑒𝑒_𝑝𝑝� = 0�⃗

On fera attention à l’orientation de l’axe (Oz) pour le signe de gz.

Dans le sens descendant on aura : ^𝑣𝑣₂² + ^𝑝𝑝_µ − 𝑔𝑔𝜕𝜕 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝐷𝐷𝑒𝑒 c) Ecoulement lent d’un fluide compressible

Revenons sur la condition d’incompressibilité qui ne s’applique pas à l’air par exemple. Pour les écoulement parfaits les

Dans un écoulement parfait, incompressible, stationnaire, irrotationnel d’un fluide homogène évoluant dans le champ de pesanteur, on vérifie le théorème de Bernoulli (1738) :

𝑣𝑣² 2 +

𝑝𝑝

µ⁺ ^{𝑔𝑔𝜕𝜕} ⁼ ^{𝑐𝑐𝑠𝑠𝐷𝐷𝑒𝑒}

(15)

compressibilité isentropique :

χ_𝑆𝑆 ₌ ¹µ^�^𝜕𝜕

µ

𝜕𝜕𝑝𝑝�_𝑆𝑆

Supposons qu’il soit possible de négliger les variations de µ pour une vitesse v variant entre 0 et 𝑣𝑣_{𝑚𝑚𝑝𝑝𝑥𝑥}. Dans ce cas la relation de Bernoulli est applicable tel que :

𝑝𝑝_{𝑚𝑚𝑝𝑝𝑥𝑥}

µ ⁼ ^𝑝𝑝^{𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐}µ ⁺ ^𝑣𝑣^{𝑚𝑚𝑝𝑝𝑥𝑥}

2

2 ⇒ ∆_𝑝𝑝 ₌ _𝑝𝑝_{𝑚𝑚𝑝𝑝𝑥𝑥} _{− 𝑝𝑝}_{𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐} ₌ µ_𝑣𝑣_{𝑚𝑚𝑝𝑝𝑥𝑥}² Or pour de faibles variations de µ, on a : 2

χ_𝑆𝑆∼¹µ

∆µ

∆_𝑝𝑝⇒∆µ ∼ µ∆_𝑝𝑝χ_𝑆𝑆 _≪ µ

⇒ ∆_𝑝𝑝χ_𝑆𝑆 _≪ ₁⇒ µ_𝑣𝑣_{𝑚𝑚𝑝𝑝𝑥𝑥}²

2 χ_𝑑𝑑 _≪ ₁

⇒_𝑣𝑣_{𝑚𝑚𝑝𝑝𝑥𝑥}² _≪ µχ²_𝑑𝑑

On admettra, pour le moment que la célérité du son s’écrit : 𝑐𝑐² = 1

µχ_𝑑𝑑

III-2) Effet Venturi a) Principe

Un écoulement stationnaire homogène et compressible, soumis aux seules forces de pression, est limité par une conduite de section

L’équation de Bernoulli est applicable pour un fluide compressible si : 𝑣𝑣 ≪ 𝑐𝑐_{𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐}

(16)

variable. L’écoulement étant compressible, le débit volumique se conserve :

𝑣𝑣₁𝑑𝑑₁ = 𝑣𝑣₂𝑑𝑑₂ ⇒_𝑣𝑣₂ ₌ _𝑣𝑣₁ ^𝑑𝑑¹ 𝑑𝑑₂

L’application de la relation de Bernoulli, le long de la ligne de courant entre 𝑂𝑂₁ 𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑂𝑂₂ entraîne :

𝑣𝑣₁² 2 +

𝑝𝑝₁

µ ⁼ ^𝑣𝑣²

2

2 + 𝑝𝑝₂

µ Si 𝑑𝑑₁ > 𝑑𝑑₂, alors 𝑣𝑣₂ > 𝑣𝑣₁𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑃𝑃₂ < 𝑃𝑃₁.

b) Effet de sol

On utilise l’effet Venturi pour plaquer les voitures au sol, le rétrécissement de la section sous la voiture entraîne une baisse de pression sous la voiture :

c) Trompe à eau et vaporisateur

Une dépression est observée au niveau du rétrécissement d’une conduite : cet effet a de nombreuses applications. Citons, par exemple, la trompe à eau où un étranglement d’une conduite d’eau est relié à un récipient dans lequel on souhaite faire le vide.

Effet Venturi :

Les régions de faible section, donc de grande vitesse, sont aussi des régions de basse pression.

(17)

Le principe des vaporisateurs et de certains pistolets à peinture est basé sur le même principe.

Soumis à un vent violent, le toit d’une maison peut se soulever pour les mêmes raisons. (Tornade…)

d) Balle de ping-pong

Posons une balle de ping-pong dans une coupelle, le tout étant surmonté d’un entonnoir renversé. Envoyons de l’air comprimé par le haut de l’entonnoir. La balle de ping-pong est aspirée et vient se coller contre le fond de l’entonnoir.

Nous pouvons interpréter cette expérience par le fait que l’air a moins de place pour passer entre la balle et le bord de l’entonnoir.

Les lignes de courant sont donc plus resserrées à cet endroit-là que dans la partie évasée de l’entonnoir. La résultante des forces de pression sur la balle est dirigée vers le haut, ce qui peut suffire à compenser le poids et à la faire monter.

(18)

e) Débitmètre

On ajoute, à la conduite rétrécie envisagée précédemment, un capteur permettant la mesure de la différence de pression 𝑃𝑃₁ – 𝑃𝑃₂ entre un point situé en amont et le cœur de l'étranglement. On parle de manomètre différentiel.

On a vu :

⎩⎪

⎨

⎪⎧𝑣𝑣₁𝑑𝑑₁ = 𝑣𝑣₂𝑑𝑑₂ ⇒_𝑣𝑣₂ ₌ _𝑣𝑣₁ ^𝑑𝑑¹ 𝑑𝑑₂ 𝑣𝑣₁²

2 + 𝑝𝑝₁

µ ⁼ ^𝑣𝑣²

2

2 + 𝑝𝑝₂

µ

La mesure de la dépression 𝑃𝑃₁ – 𝑃𝑃₂ donne ainsi une information sur la vitesse d'écoulement 𝑣𝑣₁, loin de l'étranglement :

𝑣𝑣₁² 2 +

𝑝𝑝₁

µ ⁼ ^𝑣𝑣¹

2

2 �𝑑𝑑₁

𝑑𝑑₂�² + 𝑝𝑝₂ − 𝑝𝑝₁

µ ⇔_𝑣𝑣₁² ₌ ²µ ^𝑝𝑝² ^{− 𝑝𝑝}¹ 1 − �𝑑𝑑𝑑𝑑¹₂�²

⇔ 𝐷𝐷_𝑣𝑣 = 𝑣𝑣₁𝑑𝑑₁ = 𝑑𝑑₁�2𝑔𝑔 ℎ₁ – ℎ₂ 𝑑𝑑₁²

𝑑𝑑₂² − 1 𝑐𝑐𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝₂ − 𝑝𝑝₁ = µ_𝑔𝑔(ℎ₂ _{− ℎ}₁₎

De nombreux dispositifs sont alors basés sur la détection ou la mesure de ce débit, liés à cette différence de pression (le manomètre différentiel délivre généralement une grandeur électronique à traiter ensuite). On atteint couramment 2 % de précision, pour une perturbation induite sur l'écoulement bien moindre qu'avec un dispositif volumétrique, comme celui utilisé dans un compteur domestique de consommation d'eau ; Ce dernier perturbe en effet beaucoup l'écoulement.

(19)

III-3) Formule de Torricelli

Étudions la vidange d’un réservoir par une petite ouverture. Le fluide, supposé parfait et incompressible, s’écoule par un orifice de section s très inférieure à la section S du récipient. La hauteur de fluide comptée à partir de l’orifice de sortie est notée h(t) à l’instant t. À l’instant initial, elle vaut ℎ₀.

A priori, l’écoulement n’est pas stationnaire. Nous allons cependant comparer l’importance relative du terme local et du terme convectif dans l’expression de l’accélération d’une particule de fluide.

⎩⎨

⎧ 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝐷𝐷 ∼ ^𝑣𝑣τ⁰

��𝑣𝑣⃗.𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗�𝑣𝑣⃗� ∼^𝑣𝑣⁰² ℎ₀

⇒

𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝐷𝐷

��𝑣𝑣⃗.𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗�𝑣𝑣⃗� ~ ℎ₀ 𝑣𝑣₀τ

On note 𝑣𝑣₀ l’ordre de grandeur du champ des vitesses et τ la durée caractéristique de variation temporelle de ce champ.

L’écoulement étant incompressible : 𝐷𝐷_𝑣𝑣 = 𝑣𝑣_𝐴𝐴𝑑𝑑 = 𝑣𝑣_𝐵𝐵𝑠𝑠 ⇒_𝑣𝑣_𝐴𝐴 ₌ _�^𝑑𝑑ℎ

𝑑𝑑𝐷𝐷� = 𝑠𝑠 𝑑𝑑 𝑣𝑣^𝐵𝐵 En ordre de grandeur :

ℎ₀

τ ^~_{𝑑𝑑 𝑣𝑣}^𝑠𝑠 ⁰ ⇒

𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝐷𝐷

��𝑣𝑣⃗.𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗�𝑣𝑣⃗� ~𝑠𝑠

𝑑𝑑 ≪ 1

On peut négliger l’accélération locale devant l’accélération convective. On dit que le régime est quasi-stationnaire.

(20)

Appliquons le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant AB reliant la surface libre au jet de sortie. Nous ne l’appliquons pas dans tout l’écoulement car au niveau de l’orifice de sortie le jet est sans doute tourbillonnaire.

𝑣𝑣_𝐴𝐴²

2 + 𝑔𝑔𝜕𝜕_𝐴𝐴 + 𝑝𝑝_𝐴𝐴

µ ⁼ ^𝑣𝑣^𝐵𝐵

2

2 + 𝑔𝑔𝜕𝜕_𝐵𝐵 + 𝑝𝑝_𝐵𝐵 µ Or :

� 𝑣𝑣_𝐴𝐴 ≪ 𝑣𝑣_𝐵𝐵

𝑝𝑝_𝐵𝐵 = 𝑝𝑝₀ (𝑗𝑗𝑒𝑒𝐷𝐷 ℎ𝑜𝑜𝑔𝑔𝑠𝑠𝜕𝜕𝑜𝑜𝑐𝑐𝐷𝐷𝑔𝑔𝑙𝑙) 𝑝𝑝_𝐴𝐴 = 𝑝𝑝₀

D’où :

𝑔𝑔(𝜕𝜕_𝐴𝐴 − 𝜕𝜕_𝐵𝐵) = 𝑣𝑣_𝐵𝐵² 2

III-4) Tube de Pitot

Un capteur de vitesse très répandu est le tube de Pitot. Les fameuses sondes Pitot des Boeing ou Airbus :

La figure suivante montre un tube de Pitot placé dans un écoulement d’air permanent et uniforme, à la vitesse constante 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣 𝑢𝑢��⃗,_𝑥𝑥 loin en amont du tube. On négligera l’influence de la pesanteur vu la faible taille du dispositif.

⇒_𝑣𝑣_𝐵𝐵 ₌ _{�2𝑔𝑔ℎ} : Formule de Torricelli (1644)

(21)

Soit : 𝑅𝑅_𝑐𝑐 = ^{𝑈𝑈𝑈𝑈}_ν = 300 × ₁₀^0,2₋₅ = 6.10⁶ ≫ 1

Comme le nombre de Reynolds est très grand, tant que nous étudions l’écoulement en dehors de la couche limite, il est parfait.

Nous supposerons qu’il est permanent dans le référentiel lié au tube et que la vitesse de l’écoulement est faible devant celle du son dans le fluide pour pouvoir le considérer comme incompressible.

Toutes les conditions d’application du théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant sont vérifiées.

Appliquons-le dans un premier temps le long de la ligne de courant 𝐴𝐴_∞𝐴𝐴 où 𝐴𝐴_∞ est sur la ligne de courant arrivant au point d’arrêt A mais suffisamment loin du tube pour que la vitesse de l’écoulement y soit 𝑣𝑣₀et la pression 𝑝𝑝₀:

𝑣𝑣₀² 2 +

𝑝𝑝₀

µ ⁼ ^𝑝𝑝µ^𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑜𝑜𝑠𝑠𝑐𝑐𝐷𝐷 𝑑𝑑^′𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔ê𝐷𝐷.

Appliquons de nouveau le théorème de Bernoulli mais le long de la ligne de courant 𝑑𝑑_∞𝑑𝑑′ où 𝑑𝑑_∞est sur la ligne de courant arrivant au point 𝑑𝑑′, proche de l’orifice S mais hors de la couche limite. Vu qu’on néglige la pesanteur 𝑝𝑝_𝑆𝑆 = 𝑝𝑝_𝑆𝑆^′ d’où :

𝑣𝑣₀² 2 +

𝑝𝑝₀

µ ⁼ ^𝑝𝑝µ^𝑆𝑆 ⁺ ^𝑣𝑣^𝑆𝑆

2′

Or : 𝑣𝑣_𝑆𝑆^′ = 𝑣𝑣₀ car S’ est assez éloigné de A. 2

⇒_𝑝𝑝₀ ₌ _𝑝𝑝_𝑑𝑑

Par conséquent on a accès à la vitesse du fluide grâce à la sonde : 𝑣𝑣₀²

2 + 𝑝𝑝_𝑆𝑆

µ ⁼ ^𝑝𝑝µ^𝐴𝐴 ⇒_𝑣𝑣₀ ₌ _�²µ^(𝑝𝑝^𝐴𝐴 ^{− 𝑝𝑝}^𝑆𝑆⁾

(22)

IV – Mécanique des fluides en RNG

VI-1) Equation de Navier-Stokes

L’équation de Navier-Stokes doit aussi tenir compte des forces d’inertie d’où son écriture :

µ_�^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝐷𝐷 + �𝑣𝑣⃗.𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗�𝑣𝑣⃗� = µ_{(𝑔𝑔⃗ − 𝑔𝑔}_{��⃗ − 𝑔𝑔}_𝑐𝑐 _{��⃗)}_𝑐𝑐 _{− 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗ 𝑝𝑝 + η ∆��⃗_𝑣𝑣 VI-2) Statique des fluides

Pour un fluide au repos dans le référentiel d’étude R’, l’équation de statique des fluides s’écrit :

0�⃗ = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ 𝑝𝑝 + 𝑓𝑓��⃗_𝑣𝑣

Comme le fluide est au repos dans le référentiel R’, la force volumique d’inertie de Coriolis est nulle. Donc :

0�⃗ = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ 𝑝𝑝 + µ_{𝑔𝑔⃗ −} µ_𝑔𝑔_{��⃗}_𝑐𝑐

⇔_{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗ 𝑝𝑝 = µ_𝑔𝑔⃗ ₊ _𝑓𝑓^{��⃗}_{𝑣𝑣,𝚤𝚤𝑐𝑐}_{𝑜𝑜ù 𝑓𝑓}^{��⃗}_{𝑣𝑣,𝚤𝚤𝑐𝑐} ₌ ₋µ_𝑔𝑔_{��⃗}_𝑐𝑐 VI-3) Exemple : cylindre en rotation

Un flacon cylindrique ouvert, contient un liquide de masse volumique µ. On fait tourner le flacon autour de son axe à la vitesse angulaire ω. Ce liquide n’est donc pas au repos dans le référentiel du laboratoire. Cependant, après un régime transitoire qui dépend de la viscosité du liquide, celui-ci tourne de façon solide à la même vitesse

(23)

angulaire que le cylindre. Ainsi, dans le référentiel lié au cylindre, le liquide est au repos. On raisonnera donc dans ce référentiel tournant (noté R’) munis d’un système de coordonnées cylindriques.

D’où :

𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑��⃗ 𝑝𝑝 = µ_𝑔𝑔⃗ ₊ _𝑓𝑓^{��⃗}_{𝑣𝑣,𝚤𝚤𝑐𝑐}

⇔_{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑}��⃗ 𝑝𝑝 = µ_(𝑔𝑔⃗ ₊ ω²_{𝐻𝐻𝑀𝑀}��⃗)

⇔_�

𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑔𝑔 = µω²_{𝑔𝑔 (1)}

𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝜕𝜕 = −µ_{𝑔𝑔 (2)} (1) ⇒_{𝑝𝑝(𝑔𝑔,}_{𝜕𝜕) =} ¹

2µω²_𝑔𝑔² ₊ _{𝑓𝑓(𝜕𝜕)} (2)⇒_{𝑝𝑝(𝑔𝑔,}_{𝜕𝜕) =} ¹

2µω²_𝑔𝑔² _{− 𝜇𝜇𝑔𝑔𝜕𝜕} ₊ _{𝑐𝑐𝑠𝑠𝐷𝐷𝑒𝑒} La surface libre est isobare d’où :

1

2µω²_𝑔𝑔² _{− 𝜇𝜇𝑔𝑔𝜕𝜕} ₌ _{𝑐𝑐𝑠𝑠𝐷𝐷𝑒𝑒}

⇔_𝜕𝜕 ₌ ¹

2𝑔𝑔ω²_𝑔𝑔² ₊ _𝜕𝜕₀

La surface libre adopte une forme parabolique d’axe de révolution (Oz).

Des équipes de de l’Institut d’astrophysique de Paris, ont mis au point un télescope Nommé Large Zénith Télescope (LZT) dont le miroir primaire fait 6 mètres de diamètre. Contrairement aux télescopes conventionnels dont le miroir est fait de verre, le LZT a un miroir fait de liquide réfléchissant, du mercure plus précisément qui adopte une surface parabolique puisque mis en rotation dans une cuve. Le miroir parabolique obtenu permet de faire l’image d’une étoile au foyer de la parabole avec précision.

La principale limitation du LZT, et des autres miroirs liquides, est qu’on ne peut le pointer ailleurs qu’au zénith, sinon le liquide

(24)

s’échappe de la cuvette. Au-dessus du miroir, une étroite bande de ciel défile à la vitesse de la rotation terrestre. Un astre donné met Environ une minute à traverser le champ de vision du télescope.