Acoustique en ´ecoulement

Acoustique en ´ecoulement

Responsable : Houssem Haddar [email protected]

1 Introduction

On s’int´eresse dans ce projet `a la propagation d’une onde acoustique dans un milieu en

´ecoulement. On supposera pour simplifier que l’´ecoulement est uniforme de vitesse V dirig´e suivantx et est canalis´e dans un tube infini Ω de hauteurh dans lequel se trouve ´egalement une plaque rigide Γ de longueur finie 2aet parall`ele `a l’´ecoulement.

Σ⁺_R

∂D

Ω

x y

V

Σ⁻_R

Γ S

Fig. 1 – Description du mod`ele Un mod`ele simplifi´e :

A partir des ´equations d’Euler lin´earis´ees en vitesse-pression et en r´egime harmonique de pulsationω, la pression acoustiqueP(x, y, t) =R(p(x, y)e^−iωt) s’obtient via la r´esolution des

´equations suivantes :







H_M(p) = (1−M²)∂²p

∂x² + 2ikM∂p

∂x+∂²p

∂y² +k²p= 0 sur Ω

∂p

∂n = 0 sur∂D∪Γ

(1)

o`u M = V

c <1 d´esigne le nombre de Mach (c vitesse de propagation du son dans le milieu au repos) et k = ^ω_c le nombre d’onde. Afin de traduire la pr´esence d’une onde incidente ϕ_i , solution particuli`ere des ´equations pr´ec´edentes dans le tube priv´ee de la plaque rigide, on cherche la solution psous la forme :

p=ϕ_i+p_d

o`up_d correspond au champ de pression diffract´ee et v´erifie donc les ´equations :



















HM(p_d) = (1−M²)∂²p_d

∂x² + 2ikM∂p_d

∂x +∂²p_d

∂y² +k²p_d= 0 sur Ω

∂p_d

∂n = 0 sur∂D

∂p_d

∂n =−∂ϕ_i

∂n sur Γ

(2)

En r´ealit´e, il se d´eveloppe un sillage (discontinuit´e de la vitesse) `a partir du bord de fuite de la plaque. Nous n´egligerons ici ce sillage.

2 D´ etermination de l’onde incidente et r´ eduction en domaine born´ e

En l’absence de la plaque rigide on peut d´eterminer analytiquement des solutions `a variables s´epar´ees des ´equations pr´ec´edentes :

p_n(x, y) =a_n(x)b_n(y) v´erifiant :

HM(pn) = 0 dans ]−∞,+∞[×]0, h[ (3)

∂p_n

∂n = 0 sur ∂D (4)

Question 1 :Montrer que p_n, n>0 est de la forme : p^±_n(x, y) =γ_ne^iβn±xcos(nπy

h ) (5)

avec β_n^±= −kM± q

k²− ^nπ_h 2

(1−M²)

1−M² ,R(β_n^±)>0,I(β^±_n)>0. (6) avec γn une constante.

On posera par la suite c_n(y) = γ_ncos(^nπy_h ) et on choisira la constante γ_n de telle sorte que kc_nk_L2(]0,h[) = 1.On admettra que la famille de fonctions (c_n)_n≥0forme une base orthonormale deL²(]0, h[).

Lorsquen6n₀ =E

kh π(1−M²)¹²

la constanteβ^±_n, appel´ee constante de propagation, est r´eelle et la fonctionp_nest oscillante suivant la direction Ox.On appelle ces solutions particuli`eres des ondes guid´ees. Par contre, lorsque n > n₀, la constante β_n^± est imaginaire et on a affaire

`

a des solutions ayant des comportements exponentiels `a l’infini.

On notera que parmi les ondes guid´ees,p⁺_n correspond `a une onde se propageant vers lesx >0 et ⁻ vers les 0 , qui correspond au fait que les solutions transitoires sont cherch´ees sous

P(x, y, t) =R e^−iωtp(x, y) .

On choisira, par la suite, une onde onde incidente de la formeϕ_i =p⁺_m.

Afin de pouvoir r´esoudre le probl`eme initial par une m´ethode d’´el´ements finis, il faut se ramener `a un probl`eme pos´e endomaine born´e. Nous allons voir comment la connaissance des solutions `a variables s´epar´ees permet d’y arriver.

D’un point de vue physique, la pression de diffraction correspond `a une onde ”produite” par le rayonnement de la plaque, c’est donc une onde qui se propage depuis l’obstacle vers l’infini.

C’est ´egalement une onde qui doit ˆetre born´ee `a l’infini.

Question 2 : En utilisant ces arguments “physiques”, montrer que la solution p_d admet les d´ecompositions suivantes `a l’infini (L suffisamment grand) :

x > L p_d(x, y) =X

n>0

(p_d, c_n)_Σ⁺

Lp⁺_n(x, y)e^−iβ+nL (7) x <−L p_d(x, y) =X

n>0

(p_d, c_n)_Σ⁻

Lp⁻_n(x, y)e^iβ−nL (8) o`u on a pos´e : (pd, c_n)_Σ^±

L = Z

Σ− L

p_d(±L, y)cn(y)dy avec Σ^±_L ={x=±L} ×]0, h[. En d´eduire que :

∂p_d

∂n|^Σ±L

=−T±p_d en posant :

T₊p_d=−X

n>0

iβ_n⁺(p_d, cn)_Σ⁺

Lcn et T−p_d=X

n>0

iβ_n⁻(p_d, cn)_Σ⁻

Lcn. Ce qui conduit `a introduire le probl`eme en domaine born´e :

H_M(p_d) = 0 dans Ω∩ ]−L,+L[×]0, h[ =

defΩ_L (9)

∂p_d

∂n =−∂ϕ_i

∂n sur Γ (10)

∂p_d

∂n = 0 sur∂D (11)

∂p_d

∂n =−T±p_d sur Σ^±_L (12)

Le probl`eme (1) est alors ´equivalent au probl`eme pos´e en domaine born´e(Lassez grand) :

H_M(p) = 0 = 0 dans ΩL (13)

∂p

∂n = 0 sur Γ∩∂D (14)

∂p

∂n =−T±p+∂ϕ_i

∂n +T±ϕi sur Σ^±_L (15)

Question 3 : Montrer que lorsque ϕ_i =p⁺_m on a :

∂ϕ_i

∂n +T−ϕ_i =i β⁻_m−β_m⁺

e^−iβm+Lc_m sur Σ⁻_L

∂ϕ_i

∂n +T₊ϕ_i = 0 sur Σ⁺_L.

Remarque : il est donc pr´ef´erable de choisirϕ_i =e^iβm+Lp⁺_m afin d’´eviter de garder le terme exponentiel.

Question 4 : Montrer que ce probl`eme a pour formulation variationnelle : p∈H¹(Ω_L) telle que∀ψ∈H¹(ΩL) :

Z

Ω

(1−M²)∂p

∂x

∂ψ¯

∂x +∂p

∂y

∂ψ¯

∂y −2ikM∂p

∂xψ¯−k²pψ¯

+(1−M²) Z

Σ⁺L

T⁺(p) ¯ψ+ Z

Σ⁻L

T⁻(p) ¯ψ

!

= Z

Σ⁻L

g_iψ¯

(16)

o`u l’on pr´ecisera l’expression de g_i.

3 Mise en oeuvre

On se propose d’utiliser le logiciel Free-Fem++ pour calculer num´eriquement la solution de (16) obtenue par une m´ethode d’´el´ements finis P₁ sur un maillage triangulaire. On note, par la suite, (wI)_I=1,N les fonctions de base globales associ´ees `a ce mailage et (T_ℓ)_ℓ=1,M l’ensemble des triangles du maillage.

Question 5 : Montrer que l’approximation par ´el´ements finis conduit `a un syst`eme lin´eaire de la forme :

1−M²

Kx+Ky−k²M−2ikMD+ 1−M²

T⁺+T⁻

X =B (17)

o`u on donnera l’expression des diff´erents termes en fonction desw_I.

Le calcul des matrices Kx,Ky, Met Dest standard. Par contre, le calcul des matrices T^± ne l’est pas. En effet, les termes de ces matrices sont de la forme, pour T⁺_IJ par exemple :

T⁺_IJ =−X

n≥0

iβ_n⁺(wI,c_n)(wJ,c_n) o`u (wI,c_n) = Z h

0

w_I(L, y)cn(y)dy

Question 6 : Quels sont les termes non nuls de T^±? Donner l’expresion analytique de ces termes lorsque la s´erie est tronqu´ee apr`es n₀! C’est cette expression que l’on utilisera pour le calcul num´erique.

Question 7 : Test de validation dans le cas sans plaque : En s’inspirant du traitement de T⁻, compl`eter la partie “calcul de T⁺” dans le fichier de commandes aeroacoustique.edp. Que doit-on trouver comme solution lorsque ϕ=p⁺_m. Utiliser ce test pour valider le programme : on prendra c= 1,L= 5, h= 2, m= 0,1,2 et ω= 10, puis on fera varier M entre0.1 et0.5.

Question 9 : Modifier le fichier aeroacoustique.edp pour pouvoir prendre en compte la pr´esence d’une plaque : le maillage pourra ˆetre construit en approchant la plaque par un domaine d’´epaisseur petite. On prendra une longueurl= 3 de la plaque. Que doit-on obtenir comme solution pour m = 0? Commenter les solutions num´eriques obtenues pour m= 0 et m= 1.