Acoustique en ´ecoulement

Acoustique en ´ecoulement

Responsable : Houssem Haddar houssem.haddar@inria.fr

1 Introduction

On s’int´eresse dans ce projet `a la propagation d’une onde acoustique dans un milieu en

´ecoulement. On supposera pour simplifier que l’´ecoulement est uniforme de vitesse V dirig´e suivantx et est canalis´e dans un tube infini Ω de hauteurh dans lequel se trouve ´egalement une plaque rigide Γ de longueur finie 2aet parall`ele `a l’´ecoulement.

Σ⁺_R

∂D

Ω

x y

V

Σ⁻_R

Γ S

Fig. 1 – Description du mod`ele

Un mod`ele simplifi´e :

A partir des ´equations d’Euler lin´earis´ees en vitesse-pression et en r´egime harmonique de pulsationω, la pression acoustique P(x, y, t) =R(p(x, y)e^iωt) s’obtient via la r´esolution des

´equations suivantes :







H_M(p) = (1−M²)∂²p

∂x² + 2ikM∂p

∂x+∂²p

∂y² +k²p= 0 sur Ω

∂p

∂n = 0 sur∂D∪Γ

(1)

o`u M = V

c d´esigne le nombre de Mach (c vitesse de propagation du son dans le milieu au repos) et k = ^ω_c le nombre d’onde. Afin de traduire la pr´esence d’une onde incidente ϕ_i , solution particuli`ere des ´equations pr´ec´edentes dans le tube priv´ee de la plaque rigide, on cherche la solutionp sous la forme :

p=ϕ_i+p_d

o`up_d correspond au champ de pression diffract´ee et v´erifie donc les ´equations :



















H_M(p_d) = (1−M²)∂²p_d

∂x² + 2ikM∂p_d

∂x +∂²p_d

∂y² +k²p_d= 0 sur Ω

∂p_d

∂n = 0 sur∂D

∂p_d

∂n =−∂ϕ_i

∂n sur Γ

(2)

En r´ealit´e, il se d´eveloppe un sillage (discontinuit´e de la vitesse) `a partir du bord de fuite de la plaque. Nous n´egligerons ici ce sillage.

2 D´ etermination de l’onde incidente et r´ eduction en domaine born´ e

En l’absence de la plaque rigide on peut d´eterminer analytiquement des solutions `a variables s´epar´ees des ´equations pr´ec´edentes :

p_n(x, y) =a_n(x)b_n(y) v´erifiant :

H_M(p_n) = 0 dans ]−∞,+∞[×]0, h[ (3)

∂p_n

∂n = 0 sur ∂D (4)

Question 1 :Montrer que p_n, n>0 est de la forme : p^±_n(x, y) =γ_ne^iβn±xcos(nπy

h ) (5)

avec β_n^±= −kM± q

k²−¡_nπ

h

¢₂

(1−M²)

1−M² ,R(β_n^±)>0,I(β_n^±)>0. (6) avec γ_n une constante.

On posera par la suite c_n(y) = γ_ncos(^nπy_h ) et on choisira la constante γ_n de telle sorte que kc_nk_L2(]0,h[) = 1.On admettra que la famille de fonctions (c_n)_n≥0forme une base orthonormale deL²(]0, h[).

Lorsquen6n₀ =E µ

kh π(1−M²)¹²

¶

la constanteβ_n^±, appel´ee constante de propagation, est r´eelle et la fonctionp_n est oscillante suivant la direction Ox.On appelle ces solutions particuli`eres des ondes guid´ees. Par contre, lorsquen > n₀, la constante β_n^± est imaginaire et on a affaire

`a des solutions ayant des comportements exponentiels `a l’infini.

On notera que parmi les ondes guid´ees,p⁺_n correspond `a une onde se propageant vers lesx >0 etp⁻_n vers lesx <0 , qui correspond au fait que les solutions transitoires sont cherch´ees sous la forme :

2

P(x, y, t) =R¡

e^−iωtp(x, y)¢ .

On choisira, par la suite, une onde onde incidente de la formeϕ_i =p⁺_m.

Afin de pouvoir r´esoudre le probl`eme initial par une m´ethode d’´el´ements finis, il faut se ra- mener `a un probl`eme pos´e en domaine born´e. Nous allons voir comment la connaissance des solutions `a variables s´epar´ees permet d’y arriver. D’un point de vue physique, la pres- sion de diffraction correspond `a une onde ”produite” par le rayonnement de la plaque. Par cons´equent, l’onde rayonn´ee ´etant physiquement born´ee `a l’infini, la pression de diffraction p_dne se d´ecompose que sur les fonctions p^±_n en ±∞ respectivement.

Question 2 : Montrer que la solution p_d admet les d´ecompositions suivantes `a l’infini (R suffisamment grand) :

x > R p_d(x, y) =X

n>0

(p_d, c_n)_Σ+

Rp⁺_n(x, y)e^−iβn+R (7) x <−R p_d(x, y) =X

n>0

(p_d, c_n)_Σ−

Rp⁻_n(x, y)e^iβn−R (8) o`u on a pos´e : (p_d, c_n)_Σ^±

R = Z

Σ− R

p_d(±R, y)c_n(y)dyavec Σ^±_R={x=±R} ×]0, h[. En d´eduire que :

∂p_d

∂n|Σ^±_R =−T_±p_d en posant :

T₊p_d=−X

n>0

iβ⁺_n (p_d, c_n)_Σ⁺

Rc_n et T₋p_d=X

n>0

iβ_n⁻(p_d, c_n)_Σ⁻

Rc_n. Ce qui conduit `a introduire le probl`eme en domaine born´e :

H_M(p_d) = 0 dans Ω∩ ]−R,+R[×]0, h[ =

defΩ_R (9)

∂p_d

∂n =−∂ϕ_i

∂n sur Γ (10)

∂p_d

∂n = 0 sur ∂D (11)

∂p_d

∂n =−T_±p_d sur Σ^±_R (12)

Le probl`eme (1) est alors ´equivalent au probl`eme pos´e endomaine born´e(Lassez grand) :

H_M(p) = 0 = 0 dans Ω_R (13)

∂p

∂n = 0 sur Γ∩∂D (14)

∂p

∂n =−T_±p+∂ϕ_i

∂n +T_±ϕ_i sur Σ^±_R (15)

Question 3 : Montrer que lorsque ϕ_i =p⁺_m on a :

∂ϕ_i

∂n +T₋ϕ_i =i¡

β_m⁻−β_m⁺¢

e^−iβ+mRc_m sur Σ⁻_R

∂ϕ_i

∂n +T₊ϕ_i = 0 sur Σ⁺_R. 3

Remarque : il est donc pr´ef´erable de choisirϕ_i =e^iβ+mRp⁺_m afin d’´eviter de garder le terme exponentiel.

Question 4 : Montrer que ce probl`eme a pour formulation variationnelle : p∈ H¹(Ω_R) telle que∀ψ∈H¹(Ω_R) :

Z

Ω

µ

(1−M²)∂p

∂x

∂ψ¯

∂x +∂p

∂y

∂ψ¯

∂y −2ikM∂p

∂xψ¯−k²pψ¯

¶

+(1−M²) ÃZ

Σ⁺_R

T⁺(p) ¯ψ+ Z

Σ⁻_R

T⁻(p) ¯ψ

!

= Z

Σ⁻_R

g_iψ¯

(16)

o`u l’on pr´ecisera l’expression de g_i.

Question 5 : Etudier l’existence et unicit´e de solutions `a ce probl`eme variationnel : on consid`erera dans un premier temps le cas simplifi´e T<sup>+</sup> = T<sup>−</sup> = 0 et on montrera que le probl`eme rel`eve de l’alternative de Freholm. On montrera ensuite que le r´esultat reste vrai dans le cas g´en´eral.

3 Mise en oeuvre

Afin de r´esoudre num´eriquement ce probl`eme, on utilsera une m´ethode d’´el´ements finisP<sub>1</sub> sur un maillage r´ealis´e `a l’aide du logiciel EMC2 (ne pas oublier de d´eclarer Γ comme ´etant une fissure : on utilisera pour cela le boutonFISSURE (menu du haut) dans EDIT_MESH(menu de gauche)). On note, par la suite, (w_I)_I=1,N les fonctions de base globales associ´ees `a ce mailage et (T<sub>`</sub>)_`=1,M l’ensemble des triangles du maillage.

Question 6 : Montrer que l’approximation par ´el´ements finis conduit `a un syst`eme lin´eaire de la forme :

¡¡1−M²¢

K_x+K_y−k²M−2ikMD+¡

1−M²¢ ¡

T⁺+T⁻¢¢

X =B (17)

o`u on donnera l’expression des diff´erents termes.

Le calcul des matricesK_x,K_y,M et Dest standard. Par contre, le calcul des matrices T^± ne l’est pas. En effet, les termes de ces matrices sont de la forme, pourT⁺_IJ par exemple :

T⁺_IJ =−X

n≥0

iβ_n⁺(w_I,c_n)(w_J,c_n) o`u

(w_I,c_n) = Z _h

0

w_I(L, y)c_n(y)dy

On calculera ces termes de fa¸con analytique carc_n(y) est une fonction oscillante et tronquera la s´erie apr`esn₀!

Question 7 : Ecrire un programme de r´esolution par ´el´ements finis du probl`eme variationnel (16).

Question 8 : Afin de tester les conditions aux limites sur Σ^±_R, on pourra effectuer un test pr´eliminaire, qui consiste `a ne pas mettre la plaque. En effet, dans ce cas on doit retrouver l’onde guid´ee incidente.

4