MF11 – Ecoulement perturbé par une sphère

(1)

Colles Mécanique des fluides Physique : MP/PC/PSI

MF11 – Ecoulement perturbé par une sphère

(2)

(3)

MF12 – Atmosphère en équilibre

(4)

MF13 – Ecoulement entre deux cylindres

(5)

MF14 – Champ de vitesse bidimensionnel

(6)

MF15 - Poussée et centre de poussée sur un mur de barrage

1°) On a :

𝐹𝐹

_{𝑝𝑝𝑝𝑝}

= �

^{𝑧𝑧=𝐻𝐻}^𝑏𝑏

(𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑧𝑧) + 𝑝𝑝

₀

)𝐿𝐿𝐿𝐿𝑧𝑧

𝑧𝑧=𝐻𝐻_𝑎𝑎

⇔ 𝐹𝐹

_{𝑝𝑝𝑝𝑝}

= 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝐻𝐻

_𝑏𝑏²

− 𝐻𝐻

𝑎𝑎2

)𝐿𝐿

2 + 𝑝𝑝

₀

𝐿𝐿(𝐻𝐻

_𝑏𝑏

− 𝐻𝐻

_𝑎𝑎

)

⇔ ∆ 𝐹𝐹

_{𝑝𝑝𝑝𝑝}

= 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝐻𝐻

_𝑏𝑏²

− 𝐻𝐻

𝑎𝑎2

)𝐿𝐿 2

Donc :

^{𝜌𝜌𝜌𝜌�𝐻𝐻}₂¹²^�𝐿𝐿

=

^{𝜌𝜌𝜌𝜌�𝐻𝐻}²²₂^−𝐻𝐻¹²^�𝐿𝐿

=

^{𝜌𝜌𝜌𝜌�𝐻𝐻}²₂^−𝐻𝐻²²^�𝐿𝐿

⇔ 𝐻𝐻

₂

= 2�𝐻𝐻

₁

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐻𝐻

²

= 𝐻𝐻

₁²

+ 𝐻𝐻

₂²

⇔ 𝐻𝐻

₁²

= 𝐻𝐻

²

3 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐻𝐻

₂²

= 2

3 𝐻𝐻

²

⇒ 𝐻𝐻

₁

= 𝐻𝐻

√3 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐻𝐻

2

= � 2

3 𝐻𝐻 2a) Soit :

𝑀𝑀

_{𝑜𝑜𝑜𝑜}

= 𝑍𝑍

_{𝑐𝑐𝑜𝑜}

𝜌𝜌𝜌𝜌(𝐻𝐻

_𝑏𝑏²

− 𝐻𝐻

𝑎𝑎2

)𝐿𝐿 2b) Soit : 2

𝑀𝑀

_{𝑜𝑜𝑜𝑜}

= � 𝑧𝑧 �𝜌𝜌𝜌𝜌 (𝑧𝑧) �𝐿𝐿𝐿𝐿𝑧𝑧 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝐿𝐿 𝐻𝐻

_𝑏𝑏³

− 𝐻𝐻

_𝑏𝑏²

2c) Donc pour la paroi 1 : 3

𝑍𝑍

𝑐𝑐1

𝜌𝜌𝜌𝜌(𝐻𝐻

₁²

− 0)𝐿𝐿

2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝐿𝐿 𝐻𝐻

₁³

− 0

3 ⇒ 𝑍𝑍

𝑐𝑐1

= 2 3 𝐻𝐻

1

MF16 - Océan en équilibre isotherme

1°) Soit :

𝐿𝐿𝑝𝑝

𝐿𝐿𝑧𝑧 = − ρ

₀

�1 + 𝑎𝑎(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝

₀

)�𝜌𝜌 ⇔ 𝐿𝐿𝑝𝑝

1 + 𝑎𝑎(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝

₀

) = − ρ

₀

𝜌𝜌𝐿𝐿𝑧𝑧

⇔ 1

𝑎𝑎 𝐿𝐿𝐿𝐿 [1 + 𝑎𝑎(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝

₀

)] = − ρ

₀

𝜌𝜌𝑧𝑧 + 𝐶𝐶 Or : 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝

₀

𝑒𝑒𝐿𝐿 𝑧𝑧 = 0 ⇒ 𝐿𝐿𝐿𝐿[1 + 𝑎𝑎(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝

₀

)] = −𝑎𝑎 ρ

₀

𝜌𝜌𝑧𝑧

⇔ 𝑎𝑎(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝

₀

) = 𝑒𝑒

^−𝑎𝑎^ρ⁰^{𝜌𝜌𝑧𝑧}

− 1 ⇔ 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝

0

+ 𝑒𝑒

^−𝑎𝑎^ρ⁰^{𝜌𝜌𝑧𝑧}

− 1 2°) Pour de faibles profondeurs à l’aide d’un DL à l’ordre 1 on retrouve : 𝑎𝑎

𝑝𝑝 = 𝑝𝑝

₀

− ρ

₀

𝜌𝜌𝑧𝑧 3°)

^Δ𝑝𝑝_𝑝𝑝

=

^{𝑒𝑒−𝑎𝑎}

ρ_{0𝑔𝑔𝑔𝑔−1} 𝑎𝑎 +ρ₀𝜌𝜌𝑧𝑧

ρ₀𝜌𝜌𝑧𝑧

=

^𝑒𝑒^−𝑎𝑎_𝑎𝑎^ρ_ρ^{0𝑔𝑔𝑔𝑔}⁻¹

0𝜌𝜌𝑧𝑧

+ 1 = 0,0004

(7)

MF17 - Oscillations d’un demi-cylindre flottant

1°) Soit :

𝑉𝑉

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝜌𝜌é

= � ℎ ∗

^𝑅𝑅

2𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿 θ 𝐿𝐿𝑧𝑧 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑧𝑧 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠 θ ⇒ 𝐿𝐿𝑧𝑧 = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿 θ 𝑅𝑅𝐿𝐿 θ

𝑅𝑅2

⇒ 𝑉𝑉

= 2𝑅𝑅

²

ℎ � −𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿²

^α

θ 𝐿𝐿 θ = −

0

2𝑅𝑅

²

ℎ � 1 − 𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠2𝜃𝜃

2 𝐿𝐿 θ

α

0

⇒ 𝑉𝑉

= 𝑅𝑅

²

ℎ �𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿2𝛼𝛼 2 � Or : 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠 α =

^𝑅𝑅₂

⇒α =

^π₃

Donc :

𝑉𝑉

= 𝑅𝑅

²

ℎ � π 3 − √3

4 � De plus :

𝜌𝜌𝑅𝑅

²

ℎ � π 3 − √3

4 � 𝜌𝜌 = 𝜇𝜇𝜌𝜌𝜇𝜇𝑅𝑅

²

2 ℎ ⇔ µ = 𝜌𝜌

π 3 − √ 3 𝜇𝜇 4 2

= 𝑎𝑎𝜌𝜌 𝑜𝑜ù 𝑎𝑎 = 0,39 2°)

Soit : 𝑀𝑀𝑧𝑧̈ = −𝑀𝑀𝜌𝜌 + 𝜌𝜌𝑉𝑉

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖

𝜌𝜌 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑧𝑧 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠 α ⇒ 𝑧𝑧̈ = −𝑅𝑅 α ̈ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿 α − 𝑅𝑅 α ̇

²

𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠 α Posons :

𝛼𝛼 = 𝜇𝜇

3 + 𝜀𝜀 ⇒ 𝑧𝑧̈ = −𝑅𝑅𝜀𝜀̈ sin �𝜀𝜀 + π

3 � + 𝑜𝑜(𝜀𝜀) = −𝑅𝑅𝜀𝜀̈ �𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿𝜀𝜀. cos � 𝜇𝜇

3 � + 𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠𝜀𝜀. sin ( 𝜇𝜇 3) � Donc :

−𝑀𝑀𝑅𝑅𝜀𝜀̈ � √3

2 � = −𝑀𝑀𝜌𝜌 + 𝜌𝜌𝑉𝑉

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖

� α + π

3 � 𝜌𝜌 = + 𝜕𝜕𝑉𝑉

𝜕𝜕𝛼𝛼 �

_𝜋𝜋

3

. 𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌

⇔ − 𝑀𝑀𝑅𝑅𝜀𝜀̈ � √3

2 � = +𝑅𝑅

²

ℎ �1 − cos � 2 π

3 �� . 𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌 = − 3

2 𝑅𝑅

²

ℎ𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌

⇔ − 𝑀𝑀𝜀𝜀̈ = −√3𝑅𝑅ℎ𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌 ⇔ 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑅𝑅

²

2 ℎ 𝜀𝜀̈ + √3𝑅𝑅ℎ𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0

⇔ 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑅𝑅

2 𝜀𝜀̈ + √3𝜀𝜀𝜌𝜌𝜌𝜌 = 0 ⇔ 𝜀𝜀̈ + 2√3𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜇𝜇𝜇𝜇𝑅𝑅 𝜀𝜀 = 0

⇔ 𝜀𝜀̈ + 2√3𝜌𝜌

𝑎𝑎𝜇𝜇𝑅𝑅 𝜀𝜀 = 0 ⇒ ω

₀²

= � 𝜌𝜌

𝑅𝑅 γ 𝑜𝑜ù γ = 𝑎𝑎𝜇𝜇

2√3

(8)

MF18 – Expansion d’un fluide

MF21 - Plan incliné

1°)

a) Vu la symétrie du problème, le vecteur vitesse est dirigé suivant (Ox). Donc 𝐿𝐿𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑑𝑑⃗ = 0 ⇒

^{𝜕𝜕𝑣𝑣}_{𝜕𝜕𝑝𝑝}^𝑥𝑥

= 0 ⇒ 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑦𝑦, 𝑧𝑧)

On suppose invariance suivant l’axe Oz (on néglige les effets de bords) d’où 𝑑𝑑⃗ = 𝑑𝑑(𝑦𝑦)𝑢𝑢 ��⃗

_𝑝𝑝

b) Or 𝑑𝑑(0) = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑(𝑒𝑒) = 𝑑𝑑

0

⇒ 𝑑𝑑⃗ =

^𝑣𝑣_𝑒𝑒⁰

𝑦𝑦 𝑢𝑢 ��⃗

𝑝𝑝

c) 𝐹𝐹 ��⃗

_ℎ

= − η 𝑆𝑆

^{𝜕𝜕𝑣𝑣}_{𝜕𝜕𝜕𝜕}

𝑢𝑢 ��⃗

_𝑝𝑝

= − η 𝑆𝑆

𝑢𝑢 ��⃗

_𝑝𝑝

2°)

a) Le pave est soumis à son poids, l’action normale et à la force de frottement fluide.

b) La vitesse du pavé est constante donc : 𝑃𝑃�⃗ + 𝐹𝐹 ��⃗

ℎ

+ 𝑁𝑁��⃗ = 0 �⃗

En projection sur (Ox) : 𝑀𝑀𝜌𝜌 sin(𝛼𝛼) − η 𝑆𝑆

= 0 ⇒ 𝑑𝑑

0

=

𝑀𝑀𝜌𝜌𝑒𝑒 sin(𝛼𝛼) η𝑆𝑆

3°) Le modèle affirme que l'épaisseur est constante, sans donner sa valeur. On peut penser qu’il y aura

une accumulation d’huile à l’avant du bloque…Un peu comme un bateau qui avance dans l’eau.

(9)

MF22 – Caléfaction

1°) Soit : 𝐸𝐸

𝑠𝑠

= γ Σ donc γ a la dimension d’une énergie surfacique : [ γ ] = 𝐽𝐽𝑚𝑚

⁻²

= 𝑀𝑀𝐿𝐿

²

𝑇𝑇

⁻²

𝐿𝐿

⁻²

= 𝑀𝑀 𝑇𝑇

⁻²

= 𝑘𝑘𝜌𝜌 𝑠𝑠

⁻²

Si on néglige la hauteur du palet par rapport à R alors la surface peut s’écrire : Σ = 2 π 𝑅𝑅

²

= 2 Ω

ℎ

⇒ 𝐸𝐸

𝑠𝑠

= 2 γ Ω 2°) On a : 𝐸𝐸

𝑝𝑝𝜌𝜌

= 𝑚𝑚𝜌𝜌𝑧𝑧

𝜌𝜌

= ρ Ω 𝜌𝜌

^ℎ₂

ℎ

3°) D’où l’énergie potentielle totale : 𝐸𝐸

_𝑝𝑝

= 2 γ

^Ω_ℎ

+ ρ Ω 𝜌𝜌

^ℎ₂

Qui sera minimale si et seulement si :

𝐿𝐿𝐸𝐸

𝑝𝑝

𝐿𝐿ℎ = 0 ⇔ = −2 γ Ω

ℎ

²

+ ρ Ω 𝜌𝜌 1 2

⇔ 1

ℎ

²

= ρ 𝜌𝜌 4 γ

⇔ ℎ

𝑒𝑒

= � 4 γ

𝜌𝜌 ρ = 2 𝑙𝑙

𝑐𝑐

= 5 𝑚𝑚𝑚𝑚

MF23 – Coefficient de trainée d’un cycliste

Prenons 𝑑𝑑

_𝑓𝑓

= 50 𝑘𝑘𝑚𝑚. ℎ

⁻¹

et une longueur caractéristique de 1m, alors : 𝑅𝑅

𝑒𝑒

= 𝜇𝜇𝑑𝑑𝐿𝐿

η = 1,3 × 50 3.6 ×

1

18.10

⁻⁶

= 10

⁶

On n'est pas à faible vitesse (nombre de Reynolds petit), où le coefficient de traînée 𝐶𝐶

𝑝𝑝

est inversement proportionnel à la vitesse. La puissance développée par le cycliste pour contrarier les forces de frottements quadratiques est donc :

𝑃𝑃 = 𝐹𝐹

_𝑡𝑡

𝑑𝑑

_𝑓𝑓

= 1

2 µ 𝐶𝐶

_𝑝𝑝

𝐴𝐴𝑑𝑑

_𝑓𝑓³

En observant la photo, on peut estimer le maitre couple à : 𝐴𝐴 = 0,4 𝑚𝑚

²

Sur le graphique, on lit pour 𝑑𝑑

_𝑓𝑓

= 50 𝑘𝑘𝑚𝑚. ℎ

⁻¹

, une puissance aérodynamique de 600 W soit : 𝐶𝐶

_𝑝𝑝

= 𝑃𝑃

1 2 µ 𝐴𝐴𝑑𝑑

_𝑓𝑓³

= 0,86

On obtient l’ordre de grandeur des coureurs cyclistes.

L’ajout des microbilles et des techniques aérodynamiques (casque en forme de goutte, vélo

ultraplat, combinaison à base de téflon…) permettent de baisser ce coefficient.

(10)

MF24 – Parachutisme

(11)

MF25 – Modélisation d’une lubrification

(12)

MF26 – Trajectoire d’une balle

(13)

(14)

MF27 – Vent favorable

Un coureur de 100 mètres a une vitesse voisine de 10 𝑚𝑚. 𝑠𝑠

⁻¹

par rapport au sol et à l’air lorsque celui-ci est immobile. Lorsque le vent est favorable, cela signifie qu’il souffle dans le dos de l’athlète.

Pour un vent favorable de 2 𝑚𝑚. 𝑠𝑠

⁻¹

, la vitesse de l’athlète par rapport au vent n’est plus que de 8 𝑚𝑚. 𝑠𝑠

⁻¹

: elle a donc diminué de 20%. Le nombre de Reynolds caractérisant l’écoulement autour de l’athlète :

𝑅𝑅

𝑒𝑒

= µ 𝑉𝑉𝑉𝑉

η = 1,3 × 8 × 0,5

1,8 10

⁻⁵

= 3 10

⁵

où D représente la largeur caractéristique de l’athlète (on peut l’assimiler à un cylindre de diamètre D pour effectuer de calcul d’ordre de grandeur).

Vu la valeur élevée du nombre de Reynolds, on choisit un modèle de traînée variant comme la vitesse au carré. Une réduction de la vitesse de 10 à 8 𝑚𝑚. 𝑠𝑠

⁻¹

correspond à une force de traînée divisée par un facteur voisin de : α = �

¹⁰₈

�

²

∼ 1,6 . L’avantage est donc considérable !

MF31 – Ecoulement sur un plan incliné

1°) La vitesse est de la forme : 𝑑𝑑⃗ = 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)𝑢𝑢 ��⃗. Or l’écoulement est incompressible et homogène donc :

_𝑝𝑝

𝐿𝐿𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑑𝑑⃗ = 0 ⇒ 𝜕𝜕𝑑𝑑

𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑦𝑦, 𝑧𝑧)

On suppose qu’il y a invariance suivant Oz, d’où : 𝑑𝑑⃗ = 𝑑𝑑(𝑦𝑦) 𝑢𝑢 ��⃗

𝑝𝑝

(15)

(16)

(17)

(18)

MF32 - Écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles

(19)

(20)

MF33 – Débitmètre

(21)

(22)

MF34 – Tornade

(23)

(24)

MF35 – Effet Magnus – Voile Flettner

1°) Il y a continuité de la vitesse au niveau du cylindre d’où : 𝑎𝑎 ω = 𝐶𝐶

2 π 𝑎𝑎 ⇒ 𝐶𝐶 = 2 π 𝑎𝑎

²

ω 2°)

a) On a : 𝑑𝑑⃗ = 𝑑𝑑 ��⃗

₁

+ 𝑑𝑑 ��⃗

₂

= 𝜌𝜌𝑜𝑜𝑎𝑎𝐿𝐿 ��⃗ φ

₁

+

_2π𝑖𝑖^𝐶𝐶

𝑢𝑢 ��⃗ où φ

_𝜃𝜃 ₁

= 𝑢𝑢 cos(𝜃𝜃) �

^𝑎𝑎_𝑖𝑖²

+ 𝑜𝑜�

Or :

𝜌𝜌𝑜𝑜𝑎𝑎𝐿𝐿

��⃗ 𝑓𝑓 = 𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑜𝑜 𝑢𝑢 ��⃗

^𝑖𝑖

+ 1 𝑜𝑜

𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕 θ 𝑢𝑢 ��⃗

θ

+ 𝜕𝜕𝑓𝑓

𝜕𝜕𝑧𝑧 𝑢𝑢 ��⃗

^𝑧𝑧

⇒ 𝑑𝑑⃗ = 𝑢𝑢 cos(𝜃𝜃) �− 𝑎𝑎

²

𝑜𝑜

²

+ 1� 𝑢𝑢 ��⃗ − 𝑢𝑢

_𝑖𝑖

sin(𝜃𝜃) � 𝑎𝑎

²

𝑜𝑜

²

+ 1� 𝑢𝑢 ��⃗

_𝜃𝜃

+ 𝑎𝑎

²

ω 𝑜𝑜 𝑢𝑢 ��⃗

_𝜃𝜃

⇒ 𝑑𝑑⃗ = 𝑢𝑢 cos(𝜃𝜃) �1 − 𝑎𝑎

²

𝑜𝑜

²

� 𝑢𝑢 ��⃗

𝑖𝑖

+ 𝑢𝑢 ��⃗ �

𝜃𝜃

𝑎𝑎

²

ω

𝑜𝑜 − 𝑢𝑢 sin(𝜃𝜃) � 𝑎𝑎

²

𝑜𝑜

²

+ 1�� 𝑢𝑢 ��⃗

𝜃𝜃

b) Les points d’arrêt sont tel que : 𝑑𝑑⃗ = 0 �⃗ . Deux cas sont à étudier :

�

𝑜𝑜 = 𝑎𝑎 ⇒ ω 𝑎𝑎 = 2 𝑢𝑢 sin θ θ = π

2 �𝑜𝑜𝑢𝑢 − π

2 � ⇒ 𝑎𝑎

²

ω

𝑜𝑜 = 𝑢𝑢 � 𝑎𝑎

²

𝑜𝑜

²

+ 1� ⇒ 𝑎𝑎

²

ω 𝑜𝑜 = 𝑢𝑢(𝑎𝑎

²

+ 𝑜𝑜

²

)

⇔ � 𝑜𝑜 = 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 sin( θ ) = ω 𝑎𝑎 2𝑢𝑢 θ = π

2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑜𝑜

²

− 𝑎𝑎

²

ω

𝑢𝑢 𝑜𝑜 + 𝑎𝑎

²

= 0

⇔

⎩ ⎪ ⎨

⎪ ⎧ 𝑜𝑜 = 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 sin( θ ) = ω 𝑎𝑎 2𝑢𝑢 θ = π

2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑜𝑜 = 𝑎𝑎

²

ω 2𝑢𝑢 ± 1

2 �� 𝑎𝑎

²

ω 𝑢𝑢 �

2

− 4𝑎𝑎

²

⇔

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑜𝑜 = 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 sin( θ ) = ω 𝑎𝑎

2𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠 ω 𝑎𝑎 2𝑢𝑢 ≤ 1 θ = π

2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑜𝑜 = 𝑎𝑎

²

ω

2𝑢𝑢 � 1 ± � 1 − 4𝑢𝑢

²

ω

²

𝑎𝑎

²

� 𝑠𝑠𝑠𝑠 ω 𝑎𝑎 2𝑢𝑢 ≥ 1

Remarque pour θ = −

₂^π

, on obtient : 𝑜𝑜 =

^𝑎𝑎_2𝑢𝑢²^ω

�−1 ± � 1 −

_ω^4𝑢𝑢₂_𝑎𝑎²₂

� < 0 ce qui est impossible.

(25)

3°) L’écoulement du fluide parfait est permanent, incompressible, et irrotationnel à l’extérieur du cylindre d’où :

𝑝𝑝

₀

+ µ 𝑢𝑢

2 = 𝑝𝑝(𝑎𝑎, θ ) + µ 𝑑𝑑(𝑎𝑎, θ )

²

2 ⇔ 𝑝𝑝

₀

+ µ 𝑢𝑢

2 = 𝑝𝑝(𝑎𝑎, θ ) + µ 𝑑𝑑(𝑎𝑎, θ )

²

⇔ 𝑝𝑝(𝑎𝑎, θ ) = 𝑝𝑝

₀

+ µ 𝑢𝑢 2 2 − µ

2 (𝑎𝑎 ω − 2𝑢𝑢 sin(𝜃𝜃))

²

⇔ 𝑝𝑝(𝑎𝑎, θ ) = 𝑝𝑝

0

+ µ 2 � 𝑢𝑢

2 − 𝑎𝑎

²

ω

²

� − µ

2 (4𝑢𝑢

²

sin

²

θ ) + 2 µ 𝑢𝑢 𝑎𝑎 ω sin θ

On va calculer la force résultante sur le cylindre :

(26)

On a :

- 𝐿𝐿𝐹𝐹⃗ = −𝑝𝑝 𝐿𝐿�⃗ 𝐿𝐿𝑆𝑆 ⇔ � 𝐿𝐿𝐹𝐹

𝜕𝜕

= −𝑝𝑝𝐿𝐿𝑆𝑆 sin θ = −𝑝𝑝 ℎ𝑎𝑎 sin θ 𝐿𝐿 θ 𝐿𝐿𝐹𝐹

𝑝𝑝

= −𝑝𝑝𝐿𝐿𝑆𝑆 cos θ = −𝑝𝑝 ℎ𝑎𝑎 cos θ 𝐿𝐿 θ - 𝑝𝑝(𝑎𝑎, θ ) = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 sin θ + 𝐶𝐶 sin

²

θ

D’où les intégrales suivantes à calculer :

⎩ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎧ � 𝐴𝐴 sin θ 𝐿𝐿 θ = � 𝐴𝐴 cos θ 𝐿𝐿 θ = 0

� 𝐵𝐵 sin

²

θ 𝐿𝐿 θ = π

� 𝐵𝐵 sin( θ ) cos( θ ) 𝐿𝐿 θ = � 𝐵𝐵 sin( θ ) 𝐿𝐿(sin( θ )) = 𝐵𝐵 � sin

²

𝜃𝜃 2 �

0 2π

= 0

� 𝐶𝐶 cos

²

θ sin θ 𝐿𝐿 θ = − � 𝐶𝐶 cos

²

θ 𝐿𝐿(𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠 θ ) = −𝐶𝐶 � cos

³

𝜃𝜃 3 �

0 2π

= 0

� 𝐶𝐶 𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿

²

θ sin θ 𝐿𝐿 θ = − � 𝐶𝐶 (1 − cos

²

) θ 𝐿𝐿(𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠 θ ) = 0 Donc : � 𝐹𝐹

𝑝𝑝

= 0

𝐹𝐹

𝜕𝜕

= −𝐵𝐵 π ℎ𝑎𝑎 = −2 µ 𝑢𝑢 π ℎ 𝑎𝑎

²

ω

⇒ 𝐹𝐹⃗ = −2 µ 𝑢𝑢 π ℎ 𝑎𝑎

²

ω 𝑢𝑢 ��⃗

_𝜕𝜕

MF36 - Chariot entraîné

a) On a : 𝑎𝑎 ��⃗

𝑡𝑡

= 𝑎𝑎 ��⃗

𝑒𝑒

+ 𝑎𝑎 ��⃗

𝑖𝑖

b) La particule de fluide est soumise au poids et aux forces de pression.

c) On a :

𝐿𝐿𝑚𝑚𝑎𝑎 ��⃗

𝑡𝑡

= 𝐿𝐿𝑚𝑚𝜌𝜌⃗ − 𝜌𝜌𝑜𝑜𝑎𝑎𝐿𝐿 ��⃗𝑝𝑝 𝐿𝐿𝑑𝑑 ⇔ 𝑎𝑎 ��⃗

𝑒𝑒

+ 𝑎𝑎 ��⃗

𝑖𝑖

= 𝜌𝜌⃗ − 𝜌𝜌𝑜𝑜𝑎𝑎𝐿𝐿 ��⃗𝑝𝑝 1 ρ

⇔ ρ (𝑎𝑎 ��⃗

𝑒𝑒

+ 𝑎𝑎 ��⃗ − 𝜌𝜌⃗) =

_𝑖𝑖

−𝜌𝜌𝑜𝑜𝑎𝑎𝐿𝐿 ��⃗𝑝𝑝

d) Si le fluide est au repos : ρ (𝑎𝑎 ��⃗ − 𝜌𝜌⃗) =

_𝑒𝑒

−𝜌𝜌𝑜𝑜𝑎𝑎𝐿𝐿 ��⃗𝑝𝑝 e) Donc :

𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥 = − ρ 𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑧𝑧 = − ρ 𝜌𝜌 Qui s’intègre en :

𝑝𝑝 = −𝜌𝜌𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑧𝑧 + 𝐶𝐶 Or au niveau de la surface :

𝑝𝑝 = 𝑝𝑝

0

= −𝜌𝜌𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑧𝑧 + 𝐶𝐶 ⇒ 𝑝𝑝

0

= −𝜌𝜌𝜌𝜌𝐻𝐻 + 𝐶𝐶 Donc :

𝑝𝑝 = −𝜌𝜌𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻) + 𝑝𝑝

₀

Et au niveau de la surface on vérifie :

𝜌𝜌𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝜌𝜌𝜌𝜌(𝑧𝑧 − 𝐻𝐻) = 0 ⇔ 𝑧𝑧 = − 𝑎𝑎

𝜌𝜌 𝑥𝑥 + 𝐻𝐻

(27)

MF37 – Ecoulement de Poiseuille dans un cylindre

(28)

(29)

(30)

MF38 - Écoulement de Poiseuille dans un tuyau

3a)

(31)

(32)

(33)

MF39 – Vidange d’un récipient

(34)

MF310 – Ecoulement du Ketchup

(35)

MF41 – Force exercée par un liquide sur un tuyau coudé

(36)

(37)

MF42 - Théorie unidimensionnelle de l'hélice

1°) Bilan de masse : 𝑉𝑉

_𝑖𝑖

= 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒, 𝑜𝑜𝑜𝑜 µ = 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐿𝐿

^′

𝑜𝑜ù 𝑉𝑉

_𝑣𝑣

= 𝑆𝑆𝑑𝑑 = 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑆𝑆𝑑𝑑 = 𝑆𝑆

1

𝑑𝑑

1

= 𝑆𝑆

2

𝑑𝑑

2

2°) Bilan de quantité de mouvement : 𝑉𝑉𝑝𝑝⃗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = 𝑉𝑉

_𝑖𝑖2

𝑑𝑑 ��⃗ − 𝑉𝑉

₂ _𝑖𝑖1

𝑑𝑑 ��⃗

₁

= 𝑉𝑉

_𝑖𝑖

(𝑑𝑑

₂

− 𝑑𝑑

₁

)𝑢𝑢 ��⃗

_𝑝𝑝

= µ 𝑉𝑉

_𝑣𝑣

(𝑑𝑑

₂

− 𝑑𝑑

₁

)𝑢𝑢 ��⃗

_𝑝𝑝

⇒ 𝑃𝑃 = 𝐹𝐹⃗. 𝑑𝑑⃗ = µ 𝑉𝑉

𝑣𝑣

(𝑑𝑑

₂

− 𝑑𝑑

1

)𝑑𝑑 3°) Bilan d’énergie :

𝑉𝑉𝐸𝐸

𝑖𝑖

𝑉𝑉𝑒𝑒 = 𝑉𝑉

_𝑖𝑖2

𝑒𝑒

₂

− 𝑉𝑉

_𝑖𝑖1

𝑒𝑒

₁

= 𝑉𝑉

_𝑖𝑖

(𝑒𝑒

₂

− 𝑒𝑒

₁

) = 𝑉𝑉

𝑖𝑖

(𝑑𝑑

₂²

− 𝑑𝑑

₁²

)

2 = 𝑃𝑃

Donc :

𝑃𝑃 = µ 𝑉𝑉

_𝑣𝑣

(𝑑𝑑

₂²

− 𝑑𝑑

12

) 2 = 𝑃𝑃

⇒ 𝑉𝑉

_𝑖𝑖

(𝑑𝑑

₂²

− 𝑑𝑑

₁²

)

2 = µ 𝑉𝑉

𝑣𝑣

(𝑑𝑑

₂

− 𝑑𝑑

1

)𝑑𝑑 ⇔ 𝑑𝑑 = (𝑑𝑑

₂

+ 𝑑𝑑

₁

) 2

⇒ 𝑃𝑃 = µ 𝑆𝑆(𝑑𝑑

₂

− 𝑑𝑑

₁

) (𝑑𝑑

₂

+ 𝑑𝑑

1

)

²

4°) Si 𝑑𝑑

1

= 0 ∶ 4

𝑃𝑃 = µ 𝑆𝑆 𝑑𝑑

23

4 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐹𝐹 = µ 𝑆𝑆𝑑𝑑

22

Donc : 2

𝐹𝐹 = µ 𝑆𝑆 � 4𝑃𝑃 µ 𝑆𝑆�

23

2 = 1

2 (4𝑃𝑃)

²³

( µ 𝑆𝑆)

^1/3

L’hélicoptère décolle si : 𝐹𝐹 > 𝑀𝑀𝜌𝜌

⇔ 1

2 (4𝑃𝑃)

²³

( µ 𝑆𝑆)

¹³

> 𝑀𝑀𝜌𝜌

⇔ (4𝑃𝑃)

²³

> 2𝑀𝑀𝜌𝜌

( µ 𝑆𝑆)

¹³

⇔ 4𝑃𝑃 > (2𝑀𝑀𝜌𝜌)

³²

( µ 𝑆𝑆)

¹²

⇔ 𝑃𝑃 > 1 4

(2𝑀𝑀𝜌𝜌)

³²

( µ 𝑆𝑆)

¹²

𝑃𝑃 > (𝑀𝑀𝜌𝜌)

^3/2

(2 µ 𝑆𝑆)

¹²

⇔ 𝑃𝑃 > � (𝑀𝑀𝜌𝜌)

³

2 µ 𝑆𝑆 ⇔ 𝑃𝑃 > � (𝑀𝑀𝜌𝜌)

³

2 µ . π 𝑉𝑉

²

4 ⇔ 𝑃𝑃 > � 2(𝑀𝑀𝜌𝜌)

³

µ . π 𝑉𝑉

²

= 400𝑘𝑘𝑘𝑘

(38)

MF43 – Fusée Ariane 5

(39)

(40)

MF44 – Onde de ressaut

1°) Bilan de masse entre t et t+dt :

� 𝑚𝑚

^∗

(𝑒𝑒) = 𝑚𝑚(𝑒𝑒) + δ 𝑚𝑚

₁

𝑚𝑚

^∗

(𝑒𝑒 + 𝐿𝐿𝑒𝑒) = 𝑚𝑚(𝑒𝑒 + 𝐿𝐿𝑒𝑒) + δ 𝑚𝑚

₂

L’écoulement étant stationnaire, on a :

𝑚𝑚(𝑒𝑒) = 𝑚𝑚(𝑒𝑒 + 𝐿𝐿𝑒𝑒) ⇒ δ 𝑚𝑚

₁

= δ 𝑚𝑚

₂

⇔ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ(𝑑𝑑 + 𝑤𝑤)𝐿𝐿𝑒𝑒 = 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤𝐿𝐿𝑒𝑒

⇔ ℎ(𝑑𝑑 + 𝑤𝑤) = ℎ

^′

𝑤𝑤

⇔ (ℎ

^′

− ℎ)𝑤𝑤 = ℎ𝑑𝑑 2°) Bilan de quantité de mouvement sur Σ

^∗

:

� 𝑝𝑝 ��⃗

^∗

(𝑒𝑒) = 𝑝𝑝⃗(𝑒𝑒) + δ 𝑚𝑚

₁

(𝑑𝑑⃗ + 𝑤𝑤��⃗) 𝑝𝑝

^∗

��⃗ (𝑒𝑒 + 𝐿𝐿𝑒𝑒) = 𝑝𝑝⃗(𝑒𝑒 + 𝐿𝐿𝑒𝑒) + δ 𝑚𝑚

₂

𝑤𝑤 ��⃗

L’écoulement étant stationnaire, on a : 𝑉𝑉𝑝𝑝 ��⃗

^∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 𝐿𝐿𝑒𝑒 = δ 𝑚𝑚

2

𝑤𝑤��⃗ − δ 𝑚𝑚

1

(𝑑𝑑⃗ + 𝑤𝑤��⃗)

⇔ 𝑉𝑉𝑝𝑝 ��⃗

^∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = δ 𝑚𝑚

2

𝐿𝐿𝑒𝑒 � 𝑤𝑤��⃗ − (𝑑𝑑⃗ + 𝑤𝑤��⃗)�

⇔ 𝑉𝑉𝑝𝑝 ��⃗

^∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = −𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤 𝑑𝑑⃗

Donc :

𝑉𝑉𝑝𝑝

_𝑝𝑝^∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = −𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤 𝑑𝑑 3°)

- Sur la surface 𝑆𝑆

₁

, la pression extérieure est : 𝑝𝑝

₀

+ ρ 𝜌𝜌𝑧𝑧.

- Sur la surface 𝑆𝑆

2

, la pression extérieure est : 𝑝𝑝

0

+ ρ 𝜌𝜌𝑧𝑧.

- Sur le front de vague, la pression extérieure est : 𝑝𝑝

0

.

(41)

D’où :

⎩ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎧ 𝐹𝐹⃗

𝑆𝑆1

= �

^ℎ

(𝑝𝑝

₀

+ ρ 𝜌𝜌𝑧𝑧)

0

𝐿𝐿𝐿𝐿𝑧𝑧 𝑢𝑢 ��⃗

𝑝𝑝

= �𝑝𝑝

0

𝐿𝐿ℎ + ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

²

2 � 𝑢𝑢 ��⃗

𝑝𝑝

𝐹𝐹⃗

𝑆𝑆2

= �

^ℎ

(𝑝𝑝

₀

+ ρ 𝜌𝜌𝑧𝑧)

′

0

𝐿𝐿𝐿𝐿𝑧𝑧 (−𝑢𝑢 ��⃗) =

𝑝𝑝

− �𝑝𝑝

0

𝐿𝐿ℎ′ + ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′2

2 � 𝑢𝑢 ��⃗

𝑝𝑝

𝐹𝐹

𝑣𝑣𝑎𝑎𝜌𝜌𝑢𝑢𝑒𝑒

��⃗ = � 𝑝𝑝

0 ℎ^′

ℎ

𝐿𝐿 𝐿𝐿𝑧𝑧 𝑢𝑢 ��⃗

𝑝𝑝

= (𝑝𝑝

0

𝐿𝐿ℎ

^′

− 𝑝𝑝

0

𝐿𝐿ℎ)𝑢𝑢 ��⃗

_𝑝𝑝

⇒ 𝐹𝐹⃗ = ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿

2 (ℎ

²

− ℎ

^′2

)𝑢𝑢 ��⃗

_𝑝𝑝

4°) D’où le bilan sur (Ox) où le poids n’intervient pas :

ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿

2 (ℎ

²

− ℎ

^′2

) = −𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤 𝑑𝑑

⇔ 𝜌𝜌

2 (ℎ

^′2

− ℎ

²

) = ℎ

^′

𝑤𝑤 𝑑𝑑 5°) On a donc :

� 𝜌𝜌

2 (ℎ

^′2

− ℎ

²

) = ℎ′𝑤𝑤 𝑑𝑑 (ℎ

^′

− ℎ)𝑤𝑤 = ℎ𝑑𝑑

⇔ 𝜌𝜌

2 (ℎ

^′2

− ℎ

²

) = ℎ

^′

𝑤𝑤

²

(ℎ

^′

− ℎ) ℎ

⇔ 𝜌𝜌

2 (ℎ

^′

+ ℎ) = ℎ

^′

ℎ 𝑤𝑤

²

⇔ 𝑤𝑤 = �𝜌𝜌ℎ

2ℎ

^′

(ℎ

^′

+ ℎ) 6°)

a) Par un bilan d’énergie mécanique sur Σ

^∗

: 𝑉𝑉𝐸𝐸

_𝑖𝑖^∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = 𝐸𝐸

𝑖𝑖∗

(𝑒𝑒 + 𝐿𝐿𝑒𝑒) − 𝐸𝐸

𝑖𝑖∗

(𝑒𝑒) = 𝑉𝑉

𝑖𝑖2

� 𝑤𝑤

²

2 +

𝜌𝜌ℎ

^′

2 � − 𝑉𝑉

𝑖𝑖1

� (𝑤𝑤 + 𝑑𝑑)

²

2 + 𝜌𝜌ℎ

2 �

⇔ 𝑉𝑉𝐸𝐸

_𝑖𝑖^∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = ρ 𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤

2 �𝑤𝑤

²

− (𝑑𝑑 + 𝑤𝑤)

²

+ 𝜌𝜌(ℎ

^′

− ℎ)�

Or : ℎ(𝑑𝑑 + 𝑤𝑤) = ℎ

^′

𝑤𝑤

⇒ 𝑉𝑉𝐸𝐸

𝑖𝑖∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = ρ 𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤

2 �𝑤𝑤

²

− � ℎ

^′

ℎ 𝑤𝑤�

2

+ 𝜌𝜌(ℎ

^′

− ℎ)�

⇒ 𝑉𝑉𝐸𝐸

𝑖𝑖∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = ρ 𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤

2 �𝑤𝑤

²

�1 − � ℎ

^′

ℎ �

2

� + 𝜌𝜌(ℎ

^′

− ℎ)�

Or : 𝑤𝑤 = �

_2ℎ^𝜌𝜌ℎ_′

(ℎ

^′

+ ℎ)

(42)

⇒ 𝑉𝑉𝐸𝐸

𝑖𝑖∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = ρ 𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤 2 � 𝜌𝜌ℎ

2ℎ

^′

(ℎ

^′

+ ℎ) �1 − � ℎ

^′

ℎ �

2

� + 𝜌𝜌(ℎ

^′

− ℎ)�

⇒ 𝑉𝑉𝐸𝐸

𝑖𝑖∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤

2 � 1

2ℎ

^′

ℎ (ℎ

^′

+ ℎ)(ℎ

²

− ℎ

^′2

) + (ℎ

^′

− ℎ)�

⇒ 𝑉𝑉𝐸𝐸

𝑖𝑖∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤

2 (ℎ − ℎ

^′

) � 1

2ℎ

^′

ℎ (ℎ

^′

+ ℎ)

²

− 1�

⇒ 𝑉𝑉𝐸𝐸

𝑖𝑖∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤

4ℎℎ′ (ℎ − ℎ

^′

)((ℎ

^′

+ ℎ)

²

− 2ℎ

^′

ℎ)

⇒ 𝑉𝑉𝐸𝐸

_𝑖𝑖^∗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤

2 (ℎ − ℎ

^′

) (ℎ

^′2

+ ℎ

²

) 2ℎℎ

^′

b) Or : 𝑃𝑃

_𝑝𝑝

= 𝐹𝐹 ��⃗

_𝑠𝑠1

. (𝑑𝑑⃗ + 𝑤𝑤��⃗) + 𝐹𝐹 ��⃗

_𝑆𝑆2

. 𝑤𝑤��⃗ + 𝐹𝐹 ��⃗

_{𝑣𝑣𝑎𝑎𝜌𝜌𝑢𝑢𝑒𝑒}

. 𝑤𝑤��⃗

⇔ 𝑃𝑃

_𝑝𝑝

= �𝑝𝑝

₀

𝐿𝐿ℎ + ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

²

2 � (𝑑𝑑 + 𝑤𝑤) − 𝑤𝑤 �𝑝𝑝

₀

𝐿𝐿ℎ′ + ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′2

2 � + (𝑝𝑝

₀

𝐿𝐿ℎ

^′

− 𝑝𝑝

₀

𝐿𝐿ℎ)𝑤𝑤

⇔ 𝑃𝑃

𝑝𝑝

=

^ρ^{𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ}₂ ²

(𝑑𝑑 + 𝑤𝑤) −

^ρ^{𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ}₂ ^′2

𝑤𝑤 Or : ℎ(𝑑𝑑 + 𝑤𝑤) = ℎ

^′

𝑤𝑤

⇔ 𝑃𝑃

_𝑝𝑝

= ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ′𝑤𝑤

2 (ℎ − ℎ

^′

) c) Or :

^{𝐷𝐷𝐸𝐸}_{𝐷𝐷𝑡𝑡}^𝑚𝑚^∗

= 𝑃𝑃

_{𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡}

+ 𝑃𝑃

_𝑝𝑝

⇒ 𝑃𝑃

= − ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤

2 (ℎ − ℎ

^′

) + ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤

2 (ℎ − ℎ

^′

) (ℎ

^′2

+ ℎ

²

) 2ℎℎ

^′

⇒ 𝑃𝑃

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡

= ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤

2 (ℎ − ℎ

^′

) �−1 + ℎ

^′2

+ ℎ

²

2ℎℎ

^′

�

⇒ 𝑃𝑃

= ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤. (ℎ − ℎ

^′

)

4ℎℎ

^′

(ℎ

^′2

+ ℎ

²

− 2ℎℎ′)

⇒ 𝑃𝑃

= ρ 𝜌𝜌𝐿𝐿ℎ

^′

𝑤𝑤. (ℎ − ℎ

^′

)

³

4ℎℎ

^′

< 0

d) Dans le cas du mascaret : 𝑤𝑤 = 9,5 𝑚𝑚𝑠𝑠

⁻¹

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑃𝑃

= −1,9 𝑀𝑀𝑘𝑘

(43)

MF45 - Division et déflexion de jets d'eau

1°)

a) Sur une ligne de courant 𝐴𝐴

₁

𝐴𝐴

₂

: 𝑃𝑃

₀

+

¹₂

𝜇𝜇𝑑𝑑

₁²

+ 𝜇𝜇𝜌𝜌𝑧𝑧 = 𝑃𝑃

₀

+

¹₂

𝜇𝜇𝑑𝑑

₂²

+ 𝜇𝜇𝜌𝜌𝑧𝑧 Sur une ligne de courant 𝐴𝐴𝐴𝐴

₁

:

¹₂

𝜇𝜇𝑑𝑑

²

+ 𝜇𝜇𝜌𝜌𝑧𝑧

_𝐴𝐴

=

¹₂

𝜇𝜇𝑑𝑑

₁²

+ 𝜇𝜇𝜌𝜌𝑧𝑧

_𝐴𝐴₁

Si on néglige le terme de pesanteur, on a alors : 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑

1

= 𝑑𝑑

2

b) Considérons le système ouvert S constitué par la plaque et le fluide. Effectuons un bilan de quantité de mouvement sur le système fermé S* :

𝑉𝑉𝑝𝑝⃗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = 𝑉𝑉

_𝑖𝑖2

𝑑𝑑 ��⃗

₂

+ 𝑉𝑉

_𝑖𝑖1

𝑑𝑑 ��⃗ − 𝑉𝑉

₁ _𝑖𝑖

𝑑𝑑⃗ ⇒ 1 µ 𝑉𝑉𝑝𝑝⃗

𝑉𝑉𝑒𝑒 = −𝑄𝑄𝑑𝑑⃗ + 𝑄𝑄

₂

𝑑𝑑 ��⃗

₂

+ 𝑄𝑄

₁

𝑑𝑑 ��⃗

₁

⇒ 𝐹𝐹 ��⃗

₀

+ 𝐹𝐹 ��⃗

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝𝑜𝑜𝑖𝑖

= −𝑄𝑄𝑑𝑑⃗ + 𝑄𝑄

₂

𝑑𝑑 ��⃗

₂

+ 𝑄𝑄

₁

𝑑𝑑 ��⃗

₁

La pression étant égale à la pression atmosphérique en tout point de la frontière de S, la résultante des forces de pressions est nulle.

Donc sur Ox : −𝑄𝑄𝑑𝑑 sin 𝛼𝛼 + 𝑄𝑄

₁

𝑑𝑑

₁

− 𝑄𝑄

₂

𝑑𝑑

₂

= 0 ⇒ 𝑄𝑄 sin 𝛼𝛼 + 𝑄𝑄

₂

− 𝑄𝑄

₁

= 0 Bilan de masse : 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄

1

+ 𝑄𝑄

2

Donc : 𝑄𝑄 sin 𝛼𝛼 + (𝑄𝑄 − 𝑄𝑄

1

) − 𝑄𝑄

1

= 0 ⇔ 𝑄𝑄(sin 𝛼𝛼 + 1) = 2𝑄𝑄

1

⇔ 𝑄𝑄

₁

= 𝑄𝑄( sin 𝛼𝛼 + 1)

2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐿𝐿𝑜𝑜𝐿𝐿𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄

₂

= 𝑄𝑄(− sin 𝛼𝛼 + 1) Or :

^𝑄𝑄_𝑄𝑄¹

2

= 3 ⇒

^{sin 𝛼𝛼+1}

− sin 𝛼𝛼+1

= 3 ⇒ sin 𝛼𝛼 + 1 = 3 − 3 sin 𝛼𝛼 ⇒ sin 𝛼𝛼 =

¹₂

⇒ 𝛼𝛼 = 30°

Et : 𝑄𝑄 = 𝑆𝑆𝑑𝑑 = 60𝐿𝐿𝑠𝑠

⁻¹

⇒ 𝑄𝑄

₁

= 45𝐿𝐿𝑠𝑠

⁻¹

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑄𝑄

₂

= 15𝐿𝐿𝑠𝑠

⁻¹

c) Sur Oz : 𝑄𝑄𝑑𝑑 cos 𝛼𝛼 =

^𝐹𝐹_µ⁰

= −

^𝐹𝐹_𝜇𝜇¹

⇒ 𝐹𝐹 ��⃗

₁

= −𝐹𝐹 ��⃗

₀

= − µ 𝑆𝑆𝑑𝑑² cos 𝛼𝛼 𝑢𝑢 ��⃗ 𝑜𝑜ù 𝐹𝐹

_𝑧𝑧 ₁

= 1560𝑁𝑁 2°) Déflexion du jet par une plaque courbe fixe

- Bilan de quantité de mouvement :

^{𝐷𝐷𝑝𝑝⃗}_{𝐷𝐷𝑡𝑡}

= 𝑉𝑉

_{𝑖𝑖𝑠𝑠}

𝑑𝑑′ ��⃗ − 𝑉𝑉𝑚𝑚

_𝑒𝑒

𝑑𝑑⃗

Or la pression est uniforme d’où :

^𝐹𝐹^{��⃗}_µ²

= 𝑄𝑄𝑑𝑑′ ��⃗ − 𝑄𝑄𝑑𝑑⃗

Sur Ox : 𝐹𝐹

_2𝑝𝑝

= µ 𝑆𝑆𝑑𝑑

^′2

𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠 α − µ 𝑆𝑆𝑑𝑑

²

= µ 𝑆𝑆𝑑𝑑

²

(−1 + 𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠 α ) Sur Oz : 𝐹𝐹

2𝑧𝑧

= µ 𝑆𝑆𝑑𝑑

^′2

𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿 α = µ 𝑆𝑆𝑑𝑑²𝑠𝑠𝑠𝑠𝐿𝐿 α

Donc :

𝐹𝐹

₂

= � µ 𝑆𝑆𝑑𝑑

²

(2 − 2𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠 α ) 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑎𝑎𝐿𝐿 θ

₂

= sin α

−1 + 𝑅𝑅𝑜𝑜𝑠𝑠 α 𝑜𝑜ù θ

₂

𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑙𝑙

^′

𝑎𝑎𝐿𝐿𝜌𝜌𝑙𝑙𝑒𝑒 𝑒𝑒𝐿𝐿𝑒𝑒𝑜𝑜𝑒𝑒 𝑂𝑂𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐹𝐹 ��⃗

2

⇒ 𝐹𝐹

2

= 3118 𝑁𝑁 𝑒𝑒𝑒𝑒 θ

₂

= −30°

(44)

MF46 - Rétrécissement d’une conduite

(45)

MF47 – Force subie par un réservoir

(46)

(47)

(48)

(49)

MF48 - Écoulement autour d’une aile d’avion

(50)