V Douine – TS – Travail à distance 21 - CORRECTION

V Douine – TS – Travail à distance 21 - CORRECTION

Page 1

Flotte de caddies

Un supermarché dispose sur son parking de 3 points d’attache des caddies : le point (1), le point (2) et le point (3). On suppose qu’à la fermeture du magasin chaque caddie se trouve attaché à l’un des points (1), (2) ou (3).

1 2 3

1 0,3 0,3 0,4

2 0,4 0,4 0,2

3 0,5 0,3 0,2

Pour i et j dans {1 ;2 ;3} on note p _ij la probabilité conditionnelle qu’un caddie attaché au point (i) soit, le lendemain, attaché au point (j). Les valeurs des p _ij sont supposées connues et données par le tableau proposé ci-dessus. Nous modélisons la situation par un graphe probabiliste :

Les pérégrinations d’un caddie

Dans cette question, on suppose connues les probabilités x ₁ , x ₂ et x ₃ qu’un caddie soit attaché un soir donné aux points (1), (2) et (3). On s’intéresse aux probabilités d’attache, le lendemain, aux points (1), (2) et (3) que l’on note y ₁ , y ₂ et y ₃ .

Montrer que y ₁  0,3 x ₁  0, 4 x ₂  0,5 x ₃ . Donner une formule analogue pour y ₂ et pour y ₃ .

Pour cela nous allons considérer cet arbre pondéré :

V Douine – TS – Travail à distance 21 - CORRECTION

Page 2

La formule des probabilités totales nous permet d’écrire : y1 = 0.3*x1 + 0.4*x2 + 0.5*x3

y2 = 0.3*x1 + 0.4*x2 + 0.3*x3 y3 = 0.4*x1 + 0.2*x2 + 0.2*x3

En notant X   x 1 x 2 x 3  et Y   y 1 y 2 y 3  déterminer la matrice T telle que les trois relations précédentes se traduisent par Y   X T .

Pour modéliser ce système par la relation matricielle Y   X T on doit prendre

 1 2 3 

X  x x x et Y   y 1 y 2 y 3  et

0.3 0.3 0.4 0.4 0.4 0.2 0.5 0.3 0.2 T

 

 

  

 

 

Que représentent les coefficients de chaque ligne de la matrice T ?

Les coefficients Tij représentent la probabilité en étant positionné en i (ligne) un jour donné, d’être positionné en j (colonne) le lendemain.

Que peut-on dire de leur somme ?

La somme de ces probabilités pour chaque ligne est égale à 1.

C’est le propre des matrices de transition.

On s’intéresse à nouveau au caddie qui, ce lundi soir, est attaché au point (1). Calculer la probabilité que ce caddie se retrouve à son point d’attache (1) le mercredi soir.

D’après la formule des probabilités totales :

Proba = 0.3*0.3 + 0.3*0.4 + 0.4*0.5 = 0.41

Calculer T ² .

V Douine – TS – Travail à distance 21 - CORRECTION

Page 3

Comparer son coefficient première ligne et première colonne avec la probabilité calculée auparavant. Comment peut-on interpréter chaque coefficient de la matrice T ² .

On remarque l’égalité de ce coefficient avec la probabilité calculée précédemment.

Le coefficient T^2ij de la matrice T^2 représentent la probabilité en étant positionné en i (ligne) un jour donné, d’être positionné en j (colonne) deux jours après.

On rappelle que la matrice X   x 1 x 2 x 3  donne « l’état probabiliste » de la situation un soir donné. On considère la matrice Z   z 1 z 2 z 3  tel que Z   X T ² . A votre avis, quel « état probabiliste » de la situation nous donne cette matrice Z   z 1 z 2 z 3  ?

Z nous donne l’état probabiliste deux jours après.

L’état de la flotte de caddies

On suppose que le supermarché dispose d’une flotte de 1000 caddies. La répartition organisée le dimanche soir est de 100 caddies au point (1), 700 caddies au point (2) et 200 caddies au point (3).

On souhaite connaître l’état de la flotte le vendredi soir.

Déterminer la matrice D   d 1 d 2 d 3  associée à l’état probabiliste du dimanche soir.

Exprimer la matrice V   v 1 v 2 v 3  associée à l’état probabiliste du vendredi soir à l’aide d’une formule matricielle. Avec une calculatrice, déterminer l’état de répartition probabiliste des caddies le vendredi soir. En déduire le nombre de caddies présent en chaque point le vendredi soir.

100 700 200 1000 1000 1000

D  

    

V         D T T T T T D T 5

L’application numérique donne :

Le vendredi soir il y aura :

 389 caddies au point (1),

 333 caddies au point (2),

 278 caddies au point (3).