AO = AB

TS Correction Fiche TP 16 _2012-2013

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O;−→i;−→j).

1. Soient A le point d’affixe 2−5i et B le point d’affixe 7−3i.

Proposition 1 :Le triangle OAB est rectangle isocèle.

Méthode 1 : OA²=|zA|²= 2²+ 5²= 29 ;

AB²=|zB−zA|²=|7−3i−2 + 5i|²=|5 + 2i|²= 25 + 4 = 29 ; OB²=|zB|²=|7−3i|²= 7²+ 3²= 49 + 9 = 58.

D’une part AO²= AB² ⇐⇒ AO = AB ⇐⇒ ABO est isocèle en A ;

D’autre part 29 + 29 = 58 ⇐⇒ AO²+ AB² = OB² ⇐⇒ ABO est rectangle en A d’après la réciproque du théorème de Pythagore.

Méthode 2 : SoitZ= zO−zA

zB−zA

= −2 + 5i

5 + 2i =i(2i + 5) 2i + 5 = i.

On a|Z|= AO

AB = 1, soit AO = AB ; De plus arg(Z) = −→AB,−→AO

= ^π₂(2π) ce qui montre que l’angle BAO est droit. Le triangle ABO est donc[ rectangle isocèle en A.

La proposition est vraie.

2. Soit (∆) l’ensemble des pointsM d’affixeztelle que|z−i|=|z+ 2i|. Proposition 2 :(∆) est une droite parallèle à l’axe des réels.

Soient A et B les points d’affixes respectives i et−2i.

On a|z−i|=|z+ 2i| ⇐⇒ AM=BM ⇐⇒ M ∈∆ médiatrice de [AB]. Mais comme A et B appartiennent à l’axe des ordonnées, la médiatrice de [AB] (d’équationy=−¹2 est parallèle à l’axe des abscisses).

La proposition est vraie.

3. Soitz= 3 + i√ 3.

Proposition 3 :Pour tout entier naturelnnon nul,z³ⁿ est imaginaire pur.

z= 3 + i√

3, donc|z|²= 9 + 3 = 12 = 2√ 3²

⇒ |z|= 2√

3. On peut en factorisant ce module écrire : z= 2√

3

√3

2 + i1 2

= 2√

3 cos^π₆ + i sin^π₆

= 2√ 3e^iπ6. Donc, pourn∈N,z³ⁿ= 2√

3e^iπ63n

= 2√ 3³ⁿ

e^i3nπ6 = 2√ 3³ⁿ

e^inπ2 . Or e^inπ2 est égal à i,−1,−i ou 1 suivant les valeurs denet la puissance n’est donc un nombre imaginaire que pournimpair.

La proposition est fausse.

4. Soitzun nombre complexe non nul.

Proposition 4 :Si π

2 est un argument dezalors|i +z|= 1 +|z|.

Soitzun nombre complexe non nul d’argument ^π₂. On peut donc écrirez=ρi avecρréel positif non nul.

D’une part,|i +z|=|i +ρi|=|i(1 +ρ)|= (1 +ρ)|i|= 1 +ρ; D’autre part, 1 +|z|= 1 +|ρi|= 1 +ρ|i|= 1 +ρ.

La proposition 4 est vraie.

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5. Soitzun nombre complexe non nul.

Proposition 5 :Si le module dez est égal à 1 alorsz²+ 1

z² est un nombre réel.

Soitzun nombre complexe non nul.

Si le module dez est égal à 1 alorsz s’écritz= e^iθ, avecθ∈R. Doncz²+ 1

z² = e^2iθ+ 1

e^2iθ = e^2iθ+ e^−2iθ= cos 2θ+ i sin 2θ+ cos 2θ−i sin 2θ= 2 cos 2θ qui est un réel.

La proposition est vraie

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