Modélisation numérique de la localisation des déformations dans le béton avec un modèle de second gradient

Thèse de Doctorat

de l’Ecole Centrale de Nantes en cotutelle avec

l’Université de Liège

Modélisation numérique de la localisation des déformations dans le béton avec un modèle de

second gradient

Thèse présentée par Gwendal JOUAN

pour obtenir

Écoles doctorales :

Sciences Pour l’Ingénieur, Géosciences, Architecture

(ECN)

(ULg)

Directeurs de thèse :

Panagiotis Kotronis

École Centrale de Nantes

Université de Liège

Composition du jury :

Rapporteurs Pierre Bésuelle Chargé de recherche CNRS, Grenoble 3SR Thierry Massart Professeur, Université Libre de Bruxelles Examinateurs Nicolas Moës Professeur, École Centrale de Nantes

Boyan Mihaylov Chargé de cours, Université de Liège Séverine Levasseur Ingénieur de recherche, Université de Liège Frédéric Ragueneau Professeur, ENS de Cachan

Panagiotis Kotronis Professeur , École Centrale de Nantes

Frédéric Collin Chargé de cours, Université de Liège

Table des matières

Introduction générale 5

I Etude bibliographique 9

1 Quelques aspects du comportement mécanique du béton 12

1.1 Le béton à différentes échelles . . . . 12

1.2 Comportement mécanique du béton . . . . 13

1.3 Conclusion . . . . 18

2 Rappels généraux : modélisation du problème mécanique 19

2.1 Le principe des travaux virtuels . . . . 19

2.2 Lois de comportement . . . . 20

2.3 La mécanique linéaire de la rupture . . . . 20

2.4 Méthode des éléments finis : principes généraux . . . . 21

3 Description continue de la fissuration 24

3.1 Endommagement : principes généraux . . . . 24

3.2 Lois de comportement de la mécanique de l’endommagement . . . . 25

3.3 La localisation des déformations . . . . 28

3.4 Régularisation du problème de localisation . . . . 31

4 Le modèle de second gradient 37

4.1 Principe des travaux virtuels pour le milieu second gradient . . . . 37

4.2 Loi de comportement second gradient . . . . 38

4.3 Cas de la barre 1D . . . . 39

4.4 Bifurcation avec un modèle de second gradient . . . . 42

4.5 Formulation éléments finis du second gradient . . . . 43

5 Description discrète de la fissuration 48

5.1 Lois cohésives . . . . 49

5.2 Modélisation d’un problème avec fissure cohésive dans le cadre de la méthode des éléments finis . . . . 52 II Applications du modèle de second gradient à la modélisation d’essais

sur le béton 61

Introduction 64

TABLE DES MATIÈRES 3

6.1 Calcul de l’effort résiduel à la rupture . . . . 66

6.2 Calcul de l’énergie de fissuration . . . . 67

6.3 Loi type Mazars . . . . 68

6.4 Discussion sur l’endommagement de la loi second gradient . . . . 74

7 Application à des essais sur des structures en béton 79

7.1 Poutre en béton armé en flexion 3 points . . . . 79

7.2 Essai de flexion entaillé . . . . 82

8 Problèmes numériques liés à la formulation mixte 88

8.1 Oscillation du champ d’endommagement . . . . 88

8.2 Modification de la loi de comportement . . . . 90

8.3 Ajout d’un terme de pénalisation . . . . 91

8.4 Comparaison . . . . 92

9 Régularisation des problèmes de fissuration en bande de cisaillement 94

9.1 Un essai de localisation en bande de cisaillement . . . . 94

10 Analyse de la réponse du modèle pour une propagation de fissure en mode I 101

10.1 Un cas simple de propagation de fissure en mode I . . . 101

10.2 Essais de flexion . . . 108

Conclusions 109

III Applications du modèle de second gradient avec élément cohésif 110

11.1 Formulation . . . 113

11.2 Formulation mixte . . . 114

11.3 Discrétisation . . . 115

11.4 Phase d’adhérence . . . 118

12 Transition continu - discontinu 120

12.1 Les paramètres du modèle de transition . . . 121

12.2 Aspects numériques . . . 123

12.3 L’essai de fissuration en mode I . . . 124

12.4 Essai de flexion entaillé . . . 127

Conclusions et perspectives 130

Annexes : 133

A Calcul de l’effort dans la barre pour un endommagement

D

TABLE DES MATIÈRES 4

B.1 Formulation mixte avec pénalisation . . . 137 B.2 Forces nodales équivalentes liées à la pénalisation . . . 137 B.3 Calcul de la matrice tangente . . . 138

Bibliographie 139

Introduction générale

Contexte général

Dans le cadre de la modélisation d’ouvrages du génie civil, la prise en compte de la fissura- tion est un point crucial du dimensionnement des structures en béton. Dans celles-ci, qu’elles soient en béton, béton armé ou béton précontraint, la fissuration est un phénomène pouvant non seulement conduire à la ruine directe de l’ouvrage (par une propagation brutale et catas- trophique par exemple), mais qui peut aussi favoriser d’autres phénomènes de dégradations.

En effet, des fissures sont en générale présentes dans la plupart des structures en béton sans nécessairement menacer directement leur intégrité mais favorisant par exemple, l’oxydation des armatures (dans le cas de béton armé), phénomène préjudiciable à plus long terme. Dans un contexte où la question de la durée de vie des ouvrages devient de plus en plus importante, ce point est essentiel.

Dans les codes de calcul actuels (Eurocode 2), la prise en compte de la fissuration dans le dimensionnement est en général bien adaptée pour des éléments structuraux courants, pour lesquels d’importantes campagnes d’essais expérimentaux ont pu être conduites, aboutissant souvent à des formulations semi-empiriques robustes.

Celles-ci ne sont en revanche que peu ou pas adaptées à des structures moins courantes, notamment lorsque les dimensions sont importantes, ou par exemple dans le cas des voiles pour des sollicitations provoquant un cisaillement important, ou des chargements cycliques.

Il est donc nécessaire de développer des outils numériques permettant la prédiction de la fissure, de son initiation et de sa propagation durant toute la durée de service d’un ouvrage afin d’adapter la réglementation lorsque cela est nécessaire. Ce point est d’autant plus critique que des éléments structuraux exceptionnels sont souvent présents dans des ouvrages sensibles (centrales nucléaires).

Dans cette optique, le projet national CEOS.fr (Conception et Évaluation des Ouvrages Spéciaux : Fissuration - Retrait) et sa branche orientée recherche le projet ANR MEFISTO (Maitrise durablE de la FIssuration des InfraStructures en bétOn) ont été lancés en 2008 avec pour objectif de "développer et valider de nouvelles voies pour la prévision de la fissuration des structures en béton armé sous des sollicitations diverses".

Les travaux présentés ici comprennent des essais de benchmark réalisés dans le cadre de ces programmes et nous avons pu bénéficier du cadre scientifique du projet CEOS.fr. Cette thèse tente de contribuer au développement de modèles visant à une meilleure prédiction et modélisation de la fissuration dans les structures en béton.

Contexte scientifique

La prise en compte de la fissuration dans la modélisation des structures est déjà ancienne.

La mécanique linéaire de la rupture remonte aux travaux de Griffith [1] en 1920. La mécanique

de l’endommagement, permettant une description continue du phénomène date elle des années

1950 avec les travaux de Kachanov [2]. Celle-ci, de la même manière que la plasticité, peut

Introduction générale 6 conduire au phénomène de localisation des déformations étudié depuis les années 60 [3] [4]. Ce phénomène nécessite un traitement particulier afin d’être pris en compte correctement. Pour ce faire, diverses méthodes dites de "régularisation" ont été et continuent à être proposées.

Parmi elles, le modèle de second gradient [5] [6] a démontré sa capacité à traiter de pro- blèmes de localisation, notamment dans le cas de sols. L’application à d’autres types de ma- tériaux comme le béton est un travail en cours [7] [8]. C’est dans la suite de ces travaux que s’inscrit cette thèse.

Objectifs

L’objectif de cette thèse est l’application du modèle de second gradient dans le cadre de la mécanique de l’endommagement et des modèles de zones cohésives pour la modélisation de l’apparition et de la propagation de fissures dans les structures en béton.

Le modèle de second gradient sera ici en premier lieu utilisé pour la régularisation de la localisation des déformations dans le cas de quelques lois simples d’endommagement. On s’attachera à analyser le comportement du modèle avec ces lois, et notamment l’évolution de la localisation des déformations et des efforts dans le cas de la description du processus complet de fissuration. Différents cas d’essais conduisant à la localisation des déformations seront traités et mettront en avant les avantages et limitations du modèle. Les sollicitations de structures en béton faisant apparaitre des modes de localisation différents des cas observés dans les sols, des essais typiques de telles structures (poutres en flexion) sont modélisés ici afin de déterminer la capacité du modèle à reproduire les résultats expérimentaux.

Certaines limitations du modèle pour ce types de cas seront mises en évidence. Afin de décrire l’entièreté du processus de fissuration avec la méthode du second gradient, un modèle de zone cohésive et une méthode permettant d’effectuer une transition d’une description purement continue avec les modèles d’endommagement vers l’introduction d’une discontinuité seront présentés.

L’implémentation numérique dans un code éléments finis, pour les lois d’endommagement continus et pour le modèle de zone cohésive sera également discutée.

Organisation du mémoire

Ce mémoire est organisé en trois parties. Dans la première partie, une étude bibliographique des outils et méthodes permettant de modéliser l’apparition et la propagation de fissures dans les milieux quasi-fragiles est présentée. Cette partie bibliographique sera elle même composée de plusieurs chapitres. Dans le chapitre 1, les caractéristiques mécaniques du béton pertinentes à notre étude sont décrites. Dans le chapitre suivant, les outils généraux de la mécanique des milieux continus sont rappelés et la méthode des éléments finis est brièvement décrite. Au cha- pitre 3, on présente le cadre général de la mécanique de l’endommagement en se limitant à des lois simples, isotropes. Celles-ci conduisent naturellement à une localisation de la déformation qui doit être régularisée. Quelques méthodes de régularisation s’appliquant aux modèles d’en- dommagement sont évoquées. On détaille en particulier le cas du modèle de second gradient qui sera utilisé par la suite, dans le chapitre 4. Quelques résultats sont rappelés, et le problème de la discrétisation éléments finis est évoqué. On termine l’étude bibliographique par les modèles de zones cohésives, permettant de modéliser l’initiation et la propagation de fissures de façon discrète.

Dans la seconde partie de ce mémoire, le modèle de second gradient est appliqué pour des

lois de comportement et des problèmes typiques du béton. On commence dans le chapitre 6

par des cas de traction en dimension 1 avec des lois d’endommagement simples afin d’obtenir

Introduction générale 7 certains résultats analytiques et de mettre en évidence des caractéristiques du modèle pou- vant expliquer des résultats dans des cas plus complexes. La possibilité de l’introduction d’un endommagement sur la partie second gradient y est également discutée. On applique ensuite dans le chapitre 7 le modèle de second gradient à la modélisation de structures en béton pour des essais de flexion entaillés et pour une poutre armée. Les difficultés numériques rencontrées avec les modèles d’endommagement et qui sont liées aux choix fait pour la discrétisation sont détaillées et des solutions sont proposées au chapitre 8. On revient ensuite sur un cas de loca- lisation en bande de cisaillement (chapitre 9), puis, une analyse de la réponse du modèle pour une fissuration en mode I (chapitre 10) permet de mettre en évidence les limitations du modèle et d’expliquer certains résultats obtenus précédemment.

Dans la troisième partie, compte tenu des limitations exposées dans la partie précédente

une transition vers un modèle de zone cohésive est proposée. Dans le chapitre 11, la formulation

et la discrétisation du modèle cohésif pour un milieu second gradient et sous la forme d’un

élément d’interface est exposée. Celui-ci est utilisé pour une transition continu-discontinu dans

le chapitre suivant. L’application à des essais précédemment modélisés de façon purement

continue y est présentée.

Notations

Notations générales a: vecteur

a: tenseur d’ordre 2

a,a, ... : tenseurs d’ordre 3, 4 et supérieurs {a} : vecteur colonne

[a]: matrice

•^∗ : champs virtuels

Fonctions et opérateurs mathématiques

∇•: gradient d’un champ vectoriel ou tensoriel a⁰, a⁰⁰,... : dérivées premières, secondes et supé- rieurs pour une fonction scalaire

< a >+ : partie positive d’un nombre

J•K : saut d’un champ scalaire vectoriel ou tenso- riel

⊗: produit tensoriel

:: produit doublement contracté

∴: produit triplement contracté

Champs utilisés

u,u: champ de déplacement, déplacement 1D σ,σ: tenseur des contraintes, contrainte 1D ,: tenseur des déformations, déformation 1D h: tenseur des micro-déformations

Σ: tenseur (d’ordre 3) des doubles contraintes λ,λ: multiplicateurs de Lagrange

D : variable scalaire d’endommagement eq : déformation équivalente

Paramètres matériaux E,Gel : module de Young Gtg : module tangent ν : coefficient de Poisson

B : module élastique second gradient ft: contrainte limite de traction

κi : déformation équivalente élastique limite κc : déformation équivalente de rupture

Géométrie

Ω: partie continue du domaine Γ : Frontière du domaine

Γd: partie de la frontière où les efforts sont connus Γu: partie de la frontière où les déplacements sont connus

Γ⁺_coh,Γ⁻_coh : surfaces de la zone cohésive

Discrétisation ˆ

• : valeurs nodales

[N]: matrice des fonctions d’interpolation [B] : matrice des dérivées des fonctions d’interpo- lation

[K]: matrice tangente

η,ξ: coordonnées dans l’élément de référence WP I : poids des points d’intégration

Première partie

Etude bibliographique

Table des matières

1 Quelques aspects du comportement mécanique du béton 12

1.1 Le béton à différentes échelles . . . . 12

1.2 Comportement mécanique du béton . . . . 13

1.2.1 Traction / compression . . . . 14

1.2.2 Évolution et propagation des fissures . . . . 15

1.2.3 Effet d’échelle . . . . 16

1.3 Conclusion . . . . 18

2 Rappels généraux : modélisation du problème mécanique 19

2.1 Le principe des travaux virtuels . . . . 19

2.2 Lois de comportement . . . . 20

2.3 La mécanique linéaire de la rupture . . . . 20

2.4 Méthode des éléments finis : principes généraux . . . . 21

2.4.1 Discrétisation . . . . 21

2.4.2 Résolution du problème non linéaire . . . . 22

3 Description continue de la fissuration 24

3.1 Endommagement : principes généraux . . . . 24

3.2 Lois de comportement de la mécanique de l’endommagement . . . . 25

3.2.1 Cadre des lois utilisées . . . . 25

3.2.2 Quelques lois simples d’endommagement . . . . 26

3.3 La localisation des déformations . . . . 28

3.3.1 Cas 1D : Barre en traction . . . . 29

3.3.2 Analyse de la bifurcation . . . . 29

3.4 Régularisation du problème de localisation . . . . 31

3.4.1 Régularisation des variables locales . . . . 31

3.4.1.1 Non local intégral . . . . 31

3.4.1.2 Gradient explicite . . . . 33

3.4.1.3 Gradient implicite . . . . 33

3.4.2 Régularisation de l’endommagement avec level-set épaisse . . . . 34

3.4.3 Prise en compte du gradient de l’endommagement dans les équations du problème . . . . 35

3.4.4 Milieux à microstructure . . . . 35

3.4.4.1 Principe des puissances virtuelles pour un milieu à microstructure 36

TABLE DES MATIÈRES 11

4 Le modèle de second gradient 37

4.1 Principe des travaux virtuels pour le milieu second gradient . . . . 37

4.2 Loi de comportement second gradient . . . . 38

4.3 Cas de la barre 1D . . . . 39

4.4 Bifurcation avec un modèle de second gradient . . . . 42

4.5 Formulation éléments finis du second gradient . . . . 43

4.5.1 Continuité des champs de déplacements : les éléments finis second gra- dient de la littérature . . . . 43

4.5.2 Formulation mixte . . . . 43

4.5.2.1 Discrétisation . . . . 44

5 Description discrète de la fissuration 48

5.1 Lois cohésives . . . . 49

5.1.1 Cas du mode I . . . . 49

5.1.2 Extension aux modes mixtes . . . . 51

5.2 Modélisation d’un problème avec fissure cohésive dans le cadre de la méthode des éléments finis . . . . 52

5.2.1 Formulation en déplacement . . . . 52

5.2.2 Éléments finis d’interface . . . . 52

5.2.3 Traitement de la condition d’adhérence initiale pour les éléments finis d’interface . . . . 53

5.2.3.1 Pénalisation . . . . 54

5.2.3.2 Formulation mixte . . . . 55

5.2.3.3 Formulation Galerkin discontinue . . . . 56

5.2.4 Méthodes sans remaillage . . . . 58

5.2.4.1 Éléments à discontinuité intégrée . . . . 58

5.2.4.2 Méthode des éléments finis étendue . . . . 59

Chapitre 1

Quelques aspects du comportement mécanique du béton

Introduction

Le béton est un matériau de construction très largement utilisé (production annuelle équi- valente à

par habitant en France), à la fois relativement simple à mettre en œuvre mais complexe dans la caractérisation de son comportement. C’est un matériau composite et chacun de ses constituants influe sur la réponse globale aux sollicitations, qui elles mêmes peuvent être de différentes natures : hydriques, thermiques, mécaniques. La prise en compte de tous ces types de sollicitations est en dehors des objectifs de cette thèse, on se limitera ici au seul cas de chargements mécaniques. Ceux-ci peuvent également être de différentes natures : statiques (monotones ou cycliques), ou dynamiques. On considérera ici principalement des chargements statiques monotones. On fera de plus l’hypothèse d’un comportement indépendant du temps et nous négligerons de fait le fluage.

On présente dans ce chapitre quelques considérations générales sur le béton, pertinentes dans le cadre d’une modélisation se limitant à de tels cas.

1.1 Le béton à différentes échelles

La principale caractéristique du béton est d’être constitué de granulats liés entre eux par un liant, la pâte de ciment. Les granulats sont composés essentiellement de sable et de gravillons, tandis que la pâte de ciment est un mélange de chaux, silice et alumine partiellement hydratée.

A cela il convient d’ajouter les cavités remplies d’air présent dans le matériau. Ces différents composants et leurs combinaisons impliquent différentes échelles d’observations pertinentes par rapport au comportement mécanique du béton.

Figure

1.1 – Différentes échelles d’observations du béton [9]

Chapitre 1. Quelques aspects du comportement mécanique du béton 13 Au plus petit niveau d’observation, on retrouve la structure atomique des éléments consti- tuant le ciment et les granulats. La pâte de ciment, à une échelle située entre

et

laisse apparaitre un enchevêtrement de cristaux d’étringites en forme d’aiguilles et de C-H (calcium-hydroxide) de forme hexagonale. Le C-S-H (calcium-silicate-hydrate) cristallise en particule encore plus fine (moins de

constituants solides de la pâte de ciment. Celle-ci est également constituée de nombreux pores et vides.

A l’échelle du millimètre la structure inclusions - matrices des granulats et de la pâte de ciment apparait. Cette dernière ne peut cependant être considérée comme homogène à cette échelle. En effet, la différence d’hydratation de la pâte à proximité des agrégats induit un gradient de porosité de celle-ci. Cette caractéristique a des conséquences importantes sur le propriétés mécaniques du matériau et de l’initiation de la fissuration.

Figure

1.2 – Interface entre granulats et pâte de ciment [9]

A l’échelle supérieure, du millimètre au centimètre, c’est la distribution des granulats et des porosités qui devient observable. La distribution des granulats, c’est à dire la proportion des différentes tailles de granulats, a un impact direct sur la résistance du béton en modifiant le taux de porosité de celui-ci.

A l’échelle du mètre le béton peut être vu comme un matériau homogène, et c’est à ce niveau que sont conduites les études expérimentales visant à caractériser le comportement mécanique des structures. Il est à noter que cette échelle est parfois différente de l’échelle d’application pratique pour les éléments structuraux de grandes tailles, ce qui a des conséquences importantes du fait de l’effet d’échelle détaillé plus tard dans ce chapitre.

1.2 Comportement mécanique du béton

Nous nous intéressons ici à la réponse de spécimens de béton soumis à divers essais expé- rimentaux de chargements mécaniques. On cherche ainsi à caractériser la réponse du béton en tant que matériau. On ne s’occupera pas de la réponse thermique du matériau ou de problèmes de couplage avec des phases gazeuse ou liquide. On se place à l’échelle macroscopique, et le béton sera décrit comme un milieu homogène, dont le comportement (à cette échelle) peut éventuellement être éclairé par des phénomènes mésoscopiques (au niveau de l’interaction des granulats et particules avec la pâte de ciment).

Les grandeurs pertinentes sont principalement les contraintes et les déformations. On

cherche donc à déduire des réponses locales que l’on peut utiliser pour définir des lois de

comportement utilisables dans les modèles théoriques. Ces réponses ne sont pertinentes qu’à

Chapitre 1. Quelques aspects du comportement mécanique du béton 14 l’échelle d’un volume élémentaire représentatif, c’est à dire le plus petit volume possible dont la réponse est représentative d’une approche homogène [10].

1.2.1 Traction / compression

Une des principales caractéristiques mécaniques du béton est la différence de comportement en traction et compression (figure 1.3). La résistance en compression est souvent prise autour de 10 fois la résistance en traction et de nombreuses méthodes de dimensionnement ne prennent tout simplement pas en compte la résistance en traction.

Figure

1.3 – Contraintes maximales de rupture en état plan de contrainte [11]

Le comportement en traction est qualifié de quasi-fragile : lors d’un essai de traction uni- axial, la courbe contrainte déformation est initialement linéaire élastique, puis après un pic de contrainte devient fortement adoucissante (figure 1.4).

Figure

1.4 – Comportement uniaxial d’une éprouvette béton en traction [12]

La courbe contrainte-déformation obtenue à partir d’un essai de traction est difficilement

utilisable telle qu’elle pour la construction d’une loi de comportement dans un modèle théorique

continu. En effet, toute la partie adoucissante de la courbe est gouvernée par des phénomènes

de localisation, c’est à dire de forts gradients de déformation concentrés dans certaines parties

de l’éprouvette. Ainsi, si la déformation est mesurée à partir d’une jauge par exemple, celle-

ci devrait être placée dans la zone de localisation des déformations pour capter la partie

adoucissante de la courbe contrainte déformation, ce qui est en pratique compliqué (figure

1.5).

Chapitre 1. Quelques aspects du comportement mécanique du béton 15

Figure

1.5 – Comportement uniaxial du béton [9]

Le comportement du béton au niveau mésoscopique se caractérise par un processus de microfissurations se développant à partir de défauts, particulièrement à l’interface avec les grains, ou de microfissures pré-existantes (dues au séchage par exemple). Ces micro-fissures se développent sous le chargement mécanique, initialement de façon diffuse dans la structure. Si la structure est déchargée à ce point, on remarque que le module élastique du matériau est dégradé. Si on poursuit le chargement, les micro-fissures se rejoignent ensuite entre elles, dans des zones localisées, pour finalement former une macro fissure (figure 1.6).

Figure

1.6 – Initiation de la fissuration [13]

La détermination d’une loi de comportement contrainte-déformation dans le cadre d’une modélisation continue ne peut donc que difficilement se faire directement à partir de courbes obtenues expérimentalement. Le concept de volume élémentaire représentatif devient de moins en moins pertinent à mesure que la fissuration se développe. Les différents paramètres des lois de comportement, qu’il s’agisse des modèles d’endommagement continu (chapitre 3), ou des modèles de zones cohésives (chapitre 5) sont souvent déduits de résultats globaux (courbes force-déplacement, énergie de fissuration, etc.) obtenus à partir de séries de différents types d’essais expérimentaux.

1.2.2 Évolution et propagation des fissures

Lorsqu’une macro-fissure est présente et se propage dans une structure en béton, le phéno- mène de micro-fissuration se produit principalement à la pointe de celle-ci, lieu de concentration de contraintes, dans ce qu’on appelle la Fracture Process Zone (FPZ). C’est dans cette zone que se concentre les mécanismes non linéaires dus à des processus complexes de propagation, coalescence etc. des micro-fissures. La question de la taille de la FPZ est largement débattue, la définition même de ce qui constitue la FPZ restant floue et souvent dépendante de la technique d’observation expérimentale. Elle est parfois considérée comme une caractéristique du maté- riau. Dans la plupart des essais de laboratoire la taille de celle-ci est en tout cas généralement non négligeable devant la taille de la structure.

L’un des essais expérimentaux les plus communs pour déterminer les paramètres liés à la

fissuration dans le béton, est l’essai de flexion 3 points avec entaille.

Chapitre 1. Quelques aspects du comportement mécanique du béton 16

Figure

1.7 – Essai de flexion 3 points avec entaille

L’entaille permet de connaître a priori la position de la fissure dans l’éprouvette. La force appliquée est contrôlée à partir de la vitesse de l’ouverture de l’entaille, ceci pour obtenir une propagation de fissure stable. Il est ensuite possible de suivre la fissure sur la hauteur de l’éprouvette, par des techniques de corrélation d’images [14] notamment.

1.2.3 Effet d’échelle

Il est courant d’extrapoler des résultats expérimentaux à des structures de géométrie si- milaire mais dont les dimensions sont un multiple des dimensions de la structure utilisée lors de l’expérimentation. Dans de tels cas, il est nécessaire de prendre en compte le phénomène dit d’effet d’échelle. La définition de l’effet d’échelle nécessite au préalable la définition de la contrainte nominale σ

qui est une grandeur fonction du chargement appliqué P et de di- mensions caractéristiques de la structure. Pour des structures similaires dont l’épaisseur est constante mais les deux autres dimensions varient, on écrit [15] :

σ

P

bD (1.1)

où b est l’épaisseur et D une dimension caractéristique, la définition de σ

n’étant pas unique même pour une structure donnée. Alternativement la contrainte nominale peut être définie avec un facteur multiplicatif supplémentaire :

σ

c

P

bD (1.2)

où c

est choisi tel que σ

corresponde à une contrainte calculée selon une modélisation donnée (théorie des poutres, mécanique des milieux continus, etc...) en un point de la structure. Par exemple, si l’on considère le cas de poutre en flexion 3 points telle que représentée à la figure (1.8), on peut choisir la hauteur h comme dimension caractéristique de la poutre et écrire σ

:

σ

P

bh (1.3)

Alternativement, en gardant D

h et en choisissant : c

2h

(1.4)

alors σ

coïncide avec la contrainte maximale dans la poutre prédite par la théorie des poutres élastiques d’Euler-Bernouli.

La contrainte nominale ultime σ

est la contrainte nominale correspondant à la charge

ultime P

. Dans le cas de la poutre en flexion, une analyse élastique selon la théorie d’Euler-

Bernoulli prédit une contrainte σ

c

P

/bD (définie avec le c

de l’équation 1.4) égale

à la limite élastique du matériau. Si l’on considère deux poutres de dimensions S

, h

, b et

S

, h

, b tel que S

αS

et h

αh

, la contrainte nominale ultime reste la même. Une

analyse plastique, conduirait également à une contrainte σ

constante pour un rapport S/h

constant. Expérimentalement, ce n’est généralement pas le cas, et la déviation, engendrée par

Chapitre 1. Quelques aspects du comportement mécanique du béton 17

Figure

1.8 – Poutre en flexion (d’après [15])

un changement de taille de la structure (en conservant les rapports de longueur), entre la prédiction de la charge ultime obtenue par une théorie basée sur une contrainte ou déformation critique (sans longueur interne) et la charge ultime réelle est appelée effet d’échelle [15].

L’effet d’échelle dans le béton a plusieurs sources, mais la principale vient de l’énergie mise en jeu lors de la fissuration. A la différence des modèles basés sur une contrainte critique (sans longueur interne), la mécanique linéaire de la rupture (LEFM) prédit un effet d’échelle.

Cependant, dans le cas du béton, l’effet d’échelle observé expérimentalement dévie également de l’effet d’échelle prédit par la mécanique linéaire de la rupture. Ceci est du aux hypothèses de la LEFM qui ne sont en générale pas vérifiées dans les structures en béton, et en particulier à la présence d’une fracture process zone de taille non négligeable.

Figure

1.9 – Effet d’échelle et loi de Bazant (d’après [15])

L’effet d’échelle pour une structure réelle peut être approximée par la loi d’effet d’échelle de Bazant [15] :

σ

Bf

p1 +

D/D

(1.5)

où B est une constante adimensionnelle, f

est la résistance en traction du matériau et D

une constante de la dimension d’une longueur. B et D

dépendent des caractéristiques mécaniques du matériau (énergie de fissuration, dimensions de la FPZ...) et de la géométrie de la structure.

Cette loi est en général applicable pour des dimensions caractéristiques variant d’un facteur 20,

c’est-à-dire que si B et D

sont connus, elle doit permettre de connaitre la charge limite d’une

structure à partir des résultats d’un spécimen géométriquement identique mais de dimensions

20 fois plus petites.

Chapitre 1. Quelques aspects du comportement mécanique du béton 18

1.3 Conclusion

Le béton est un matériau composite, possédant une micro-structure complexe avec plu- sieurs phases interagissant entre elles à différentes échelles. La prédiction de la durabilité des structures doit en théorie prendre en compte ces différentes phases et leurs réponses pour divers types de sollicitations. Il est néanmoins possible en faisant des hypothèses simplificatrices, de modéliser, sous certaines conditions, le comportement du béton de façon relativement simple.

On se limitera ici en particulier à des sollicitations purement mécaniques et quasi-statiques

(on ne prend pas en compte le phénomène de fluage par exemple). L’anisotropie qui peut se

développer dans le béton avec l’apparition des micro-fissures ne sera pas non plus prise en

compte. Mais ces modèles simples, pour rester pertinent dans le cadre d’un problème de la

fissuration, doivent cependant pouvoir représenter correctement les phénomènes liés à celle-

ci, avec notamment la prise en compte d’une fracture process zone et l’existence d’un effet

d’échelle.

Chapitre 2

Rappels généraux : modélisation du problème mécanique

Introduction

Afin d’établir les notations qui seront utilisées par la suite dans ce mémoire nous rappelons ici quelques aspects de base de la modélisation du problème mécanique. Une partie au moins du processus de fissuration peut se modéliser dans un cadre purement continu à l’aide d’une description plus ou moins fine des champs locaux (sections 2.1 et 2.2). Le principe des travaux virtuels présenté en 2.1 permet une définition naturelle du modèle de second gradient utilisé ici (voir chapitre 4).

2.1 Le principe des travaux virtuels

Le principe des travaux virtuels (PTV ) postule [16] que dans un référentiel absolu, à chaque instant t et pour tout système, le travail virtuel des efforts appliqués au système, tant intérieurs que extérieurs, est nul quel que soit le mouvement virtuel considéré. Le travail virtuel étant donné par une forme linéaire continue du mouvement virtuel et l’espace des mouvements virtuels étant choisi en fonction de la description que l’on souhaite faire du milieu.

Dans le cas d’un milieu continu, de domaine

travail virtuel des efforts intérieurs

et travail virtuel des efforts extérieurs

. Il est ensuite nécessaire d’ajouter l’axiome de la nullité du travail des efforts intérieurs pour un mouvement de corps rigide et prendre pour l’expression de

:

Wi=− Z

Ω

w

dΩ (2.1)

où w

est le travail virtuel volumique des efforts intérieurs et est lui même une forme linéaire de l’espace des mouvements considérés.

Dans le cas de milieux continus classiques, le mouvement virtuel est simplement décrit par le champ de vecteur déplacement u. Le travail virtuel des efforts extérieurs est lui supposé provenir d’efforts à distance, qui s’appliquent sur l’ensemble du domaine

et d’efforts de contact, s’appliquant sur sa frontière

. Si l’on se restreint pour le travail virtuel des efforts à distance à une forme linéaire de u (dans le cas plus général elle peut également dépendre du premier gradient de celui-ci), on obtient l’expression du PTV :

Z

Ω

σ

dΩ =

Ω

f

u

dΩ +

Γ

t

u

dΓ (2.2)

Chapitre 2. Rappels généraux : modélisation du problème mécanique 20 où σ est le tenseur des contraintes de Cauchy, f est la densité d’effort volumique et t la densité d’effort surfacique. Le principe des travaux virtuels devant être vérifié pour tout u

, on en déduit les équations d’équilibre local :

– à l’intérieur du domaine :

div σ

+

f

sur

(2.3)

– sur ses bords :

σ

n

t sur

(2.4)

2.2 Lois de comportement

La loi de comportement du matériau se déduit du potentiel d’énergie libre massique ψ, dépendant de la partie symétrique du gradient du déplacement (hypothèse des petites pertur- bations)

u et des variables d’état, notées a, du matériau [10] :

σ

ρ ∂ψ(, a)

∂ (2.5)

Dans le cas de l’élasticité linéaire, ψ est donné par : ρψ

2

E

(2.6)

avec E, le tenseur de Hooke. Alternativement, on écrira parfois dans ce mémoire la loi de comportement sous forme incrémentale :

˙

σ

C

(2.7)

avec C le module tangent.

2.3 La mécanique linéaire de la rupture

Dans le cadre de la théorie de la mécanique linéaire de la rupture formulée par Griffith [1], on considère une structure parcourue par une fissure (ou un défaut) de dimensions données, mais par ailleurs constituée d’un matériau sain, élastique et fragile. La propagation de la fissure implique alors à la fois une augmentation de l’énergie de surface associée aux nouveaux bords de celle-ci, et une restitution d’énergie due à la redistribution des contraintes. On postule alors que la fissure va effectivement se propager lorsque le taux de restitution d’énergie par unité de surface créée lors de la propagation est égal au taux d’augmentation d’énergie provoqué par la création d’une même unité de surface. On note G ce taux de restitution d’énergie, défini par la variation d’énergie potentielle par rapport à la création (l’avancée) d’une fissure infinitésimale, et G

le taux de restitution d’énergie critique égal au travail nécessaire pour faire propager d’une unité de surface la fissure. Lorsque la condition suivante est rencontrée :

G

G

(2.8)

la fissure se propage. G étant une fonction de la taille et de la forme de la structure, de la longueur et de la position de la fissure préexistante et du chargement, cette théorie fournit ainsi un critère, à l’échelle de la structure, de propagation pour une fissure (ou un défaut) préexistante, qu’on considérera comme synonyme de ruine de la structure.

C’est donc une approche pour le dimensionnement conservative mais également simple et

robuste. On peut néanmoins citer plusieurs défauts liés à cette théorie : elle n’est premièrement

Chapitre 2. Rappels généraux : modélisation du problème mécanique 21 pas capable de traiter de l’apparition de la fissuration dans une structure saine sans défaut initial. Elle ne peut également pas prédire le trajet que prendra la fissure, et enfin elle ne prend pas correctement en compte le comportement non linéaire en pointe de fissure.

2.4 Méthode des éléments finis : principes généraux

L’équation (2.2) du principe virtuel doit être vérifiée pour tout champ de déplacement virtuel u

. Si l’on restreint les champs virtuels aux champs dit cinématiquement admissibles à

où les efforts ne sont pas connus, on peut alors écrire :

Z

Ω

σ

dΩ =

Ω

f

u

dΩ +

Γd

t

u

dΓ (2.9)

où

est la partie de la frontière pour laquelle les efforts t

de contact sont connus.

Figure

2.1 – Domaine

Les vecteurs des déplacements réels et virtuels u, u

et les coordonnées d’un point M x, sont exprimés dans une base

, e

u

u

(2.10a)

u

u

(2.10b)

x

x

(2.10c)

de même les composantes des tenseurs σ et

sont rangées dans des vecteurs colonnes :

σ

σ

σ

σ

(2.11a)

∇u={∇u}=

∂u

∂x

∂u

∂x

∂u

∂x

∂u

∂x

T

(2.11b) 2.4.1 Discrétisation

Le problème est discrétisé en un maillage contenant n

nœuds. On cherche une solution du problème en déplacement telle que :

{u}=

nn

X

k=1

N

u

u} (2.12)

où

u

sont les degrés de liberté des nœuds, N

les fonctions d’interpolation,

u} est le vecteur

Chapitre 2. Rappels généraux : modélisation du problème mécanique 22 de l’ensemble des degrés de liberté du problème, et

une matrice contenant les fonctions d’interpolation. On a également :

{u^∗}= [N]{ˆ

u

(2.13a)

{∇u}= [B]{ˆ

u} (2.13b)

où

est une matrice contenant les dérivées des fonctions d’interpolation. La forme discrète du travail virtuel des efforts internes s’écrit alors :

{ˆ

u

u

Ω

[B]^T{σ}dΩ

(2.14)

avec

le vecteur des forces nodales équivalentes des efforts intérieurs. L’intégrale de l’équation (2.14) est évaluée séparément sur un ensemble de n

sous domaines notés

:

. Sur chaque sous domaine, on se ramène à un élément de référence

en effectuant un changement de variable :

x

x

−→

ξ η

(2.15)

{ˆ

u

Ω

[B]^T {σ}dΩ ={ˆ

u

ne

X

e=1

Z

Ωe

[Be]^T {σ}dΩ

!

(2.16)

={ˆ

u

ne

X

e=1

Z

Ωref

[B_e]^T{σ}det(J)dξdη

!

(2.17) avec det(J

le déterminant du jacobien de la transformation :

det(J

∂x1

∂ξ

∂x1

∂x2 ∂η

∂ξ

∂x2

∂η

(2.18) Le travail virtuel des efforts extérieur est également discrétisé, et (2.9) devient alors :

{ˆ

u

u

(2.19) Celui-ci devant être vérifié pour tout u

on a :

{F_int}+{F_ext}= 0

(2.20)

2.4.2 Résolution du problème non linéaire

On cherche une solution de l’équation (2.20) pour un chargement donné. On suppose connue une approximation de la solution

u}

telle que :

{Fint}_i+{Fext}_i={Res({ˆ

u}

(2.21) où

u}

est le résidu de l’équation que l’on cherche à annuler. La méthode de Newton- Raphson consiste à effectuer une développement limité à l’ordre 1 du résidu pour trouver

u}

tel que :

{Res({ˆ

u}

u}

u}

(2.22)

Chapitre 2. Rappels généraux : modélisation du problème mécanique 23 avec :

{ˆ

u}

u}

u}

(2.23)

∂{Res({ˆ u}

∂{ˆ u}

(2.24) Où

est la matrice de rigidité tangente du système. On cherche à annuler

u}

on doit donc résoudre le système linéaire d’équation :

{Res({

u}

u}

(2.25)

Le résidu

u}

est ensuite évalué et une norme de celui-ci est comparée à un critère

de convergence donné. Si la valeur de la norme ne vérifie pas le critère, on cherche de la même

manière une nouvelle approximation de la solution

u}

.

Chapitre 3

Description continue de la fissuration

Introduction

Nous avons vu dans le chapitre 1 qu’au delà d’un certain chargement, les caractéristiques élastiques des structures en béton se dégradent. Ce phénomène lié à la microfissuration, conduit ensuite à une localisation des déformations puis éventuellement à l’apparition de macro-fissures.

L’essentiel de ce processus, en tout cas avant l’apparition de macro-fissures, peut être modélisé dans le cadre de la mécanique des milieux continus avec les modèles d’endommagement.

On s’intéressera ici uniquement à des approches purement macroscopiques et continues de l’endommagement. On exclut ainsi les modèles de changements d’échelles. C’est donc une approche phénoménologique, et tout le processus complexe de microfissurations est décrit par une variable d’état (scalaire, vectorielle ou tensorielle) et son évolution. Cette approche a été initiée par Kachanov en 1958 [2] puis reprise dans les années 1970 par Lemaitre et Chaboche dans un cadre thermodynamique [10].

Le phénomène de localisation des déformations, observable expérimentalement, est dans le cadre de la mécanique des milieux continus, une conséquence naturelle des lois d’endommage- ment (comme pour les lois plastiques) adoucissantes (le comportement adoucissant n’est par contre pas une condition nécessaire de l’apparition de la localisation). Ce phénomène nécessite cependant un traitement particulier dans le cadre continu pour conduire à une représentation réaliste. On présentera ici quelques unes des méthodes, dites de régularisation, qui permettent d’obtenir un problème mathématiquement bien posé et physiquement correct.

3.1 Endommagement : principes généraux

Les lois de comportement de type endommagement sont une façon de modéliser le processus de création, de croissance et coalescence des micro-fissures dans un solide tout en préservant le caractère continu de la description. Pour illustrer ceci, on considère (selon [10]) le cas d’une éprouvette de section S, de module de Young E, soumise à un effort de traction F . En dimension un, la contrainte dans la section est donnée par σ

F/S. Mais dans le cas où des micro-fissures sont présentes dans l’éprouvette, seule une partie de la surface de la section reprend les forces [10]. On note S

la surface qui reprend effectivement la force. La contrainte effective est alors définie par :

ˆ

σ

F

S

(3.1)

On définit l’endommagement comme le rapport de la surface "détruite" sur la surface totale.

Ainsi lorsque le matériau est sain, celui-ci vaut

et lorsque le matériau est rompu, celui vaut

Chapitre 3. Description continue de la fissuration 25

D

S

S (3.2)

Si l’on considère une éprouvette fictive de section S saine, soumise à la même force F , quelle doit être le module de Young E

du matériau pour que sa réponse (et donc sa déformation) soit la même que l’éprouvette endommagée ? L’égalité des forces nous donne :

SE

S E

(3.3)

E

D)E (3.4)

Figure

3.1 – Éprouvettes en traction endommagée et équivalente (d’après [10]) Lorsque les micro-fissures se développent, on a donc une augmentation de l’endommagement et une diminution de la raideur du matériau. Si l’on considère que la distribution des micro- fissures est isotrope, D ne dépend alors pas de l’orientation. On peut considérer l’éprouvette de la figure 3.1 comme un volume élémentaire représentatif (VER) et on généralise directement la loi de comportement d’un matériau endommagé isotrope en deux dimensions avec la variable scalaire D définie ici. Cependant dans le cas de modélisations plus fines, l’endommagement ne se développe pas nécessairement de façon isotrope et celui-ci doit être décrit par une variable tensorielle.

3.2 Lois de comportement de la mécanique de l’endommage- ment

3.2.1 Cadre des lois utilisées

Nous nous limiterons dans le cadre de ce mémoire à des lois d’endommagement simples, c’est à dire isotropes et ne prenant pas en compte d’éventuels effets de fermeture de fissure.

Nous ne considèrerons pas non plus de couplage thermique ou avec la plasticité. Sous ces hypothèses, on peut écrire le potentiel d’énergie libre massique sous la forme :

ρψ

2

D)E

(3.5)

La force thermodynamique liée à l’endommagement Y est appelée taux de restitution de densité d’énergie élastique, elle est donnée par :

Y

∂ψ

∂D

2

E

(3.6)

Chapitre 3. Description continue de la fissuration 26

L’énergie dissipée dans le processus d’endommagement sur un domaine

est donnée par : G

Z

Ω

Z D 0

Y dDdΩ (3.7)

Selon les modèles utilisés, l’évolution de l’endommagement peut être piloté par le taux de restitution d’énergie [17] ou une autre grandeur. En particulier dans le cadre des matériaux standards généralisés, on fait l’hypothèse de l’existence d’un potentiel de dissipation convexe tel que Y appartienne à son sous différentiel ce qui permet de vérifier a priori la positivé de la dissipation intrinsèque volumique. Nous ne nous placerons cependant pas dans ce cadre, les modèles utilisés ici définissant simplement l’évolution de l’endommagement à partir d’une mesure de déformation équivalente.

3.2.2 Quelques lois simples d’endommagement

Les lois d’endommagement utilisées ici sont volontairement simples, il s’agit en effet d’une première approche sur l’application de modèle d’endommagement avec le modèle de second gradient détaillé au chapitre 4.

Il est d’abord nécessaire de définir un domaine élastique dans lequel l’endommagement n’évolue pas. Comme mentionné précédemment, l’évolution de l’endommagement sera ici une fonction d’une déformation équivalente (scalaire)

et le domaine élastique est définie par une fonction seuil telle que :

f

, κ) =

κ (3.8) où κ est une variable interne égale à la valeur maximale entre une valeur seuil κ

et la valeur maximale de la déformation équivalente au cours du temps :

κ

max(κ

, max

t (_eq))

(3.9)

Lorsque la limite du domaine de réversibilité est atteinte, la fonction seuil est égale à 0 et l’endommagement peut augmenter. Lorsque l’on décharge, on quitte la surface du domaine et l’endommagement n’évolue plus. Les déformations ne peuvent être en dehors du domaine délimité par f . On traduit ceci par les conditions de Kuhn-Tucker :

f

κ

f κ

(3.10)

Enfin, l’endommagement évolue en fonction de la variable interne κ : D

D(κ) et on a en particulier D(κ

d’évolution est donnée par :

D

κ

κ

κ

κ

κ

κ

(3.11)

où κ

correspond donc à la déformation équivalente seuil au delà de laquelle le matériau com- mence à endommager et κ

la déformation au delà de laquelle les contraintes ne sont plus transmises (σ

valeur, le matériau est considéré comme complètement détruit.

Alternativement, il peut être intéressant de définir une évolution de l’endommagement pour laquelle la contrainte (dans le cas

ce cas on peut prendre [18] :

D

κ

κ

α

αe

(3.12)

Chapitre 3. Description continue de la fissuration 27

Figure

3.2 – Courbe contrainte - déformation en 1D pour la loi (3.11)

où α est un paramètre gouvernant la contrainte finale et β un paramètre gouvernant la pente initiale de la partie adoucissante de la courbe contrainte déformation.

Les équations (3.11) et (3.12) sont indépendantes de la définition de

. Celle-ci représente dans l’évolution de l’endommagement, la somme des contributions des différentes composantes du tenseur des déformations. Une déformation équivalente couramment utilisée pour représen- ter de manière simple le comportement du béton, parfois appelée déformation équivalente de Von Mises modifiée, est donnée par [18] :

2η(1−2ν) + 1 2η

s

(η−1)²

I

(1−2ν)² + 12ηJ2

(1 +

ν)

(3.13)

ici le paramètre η représente le rapport des résistances en compression et en traction. I

est le premier invariant du tenseur des déformations et J

le deuxième invariant de la partie déviatorique du tenseur des déformations. Pour η

on retrouve l’équivalent en déformation du critère de Von Mises.

Figure

3.3 – Loi (3.12) avec la déformation équivalente (3.13) : courbes contrainte-déformation en traction - compression 1D avec E

GP a, κ

a) α

β

et η

De telles lois ne permettent cependant pas de différencier le comportement en traction et

en compression, seule la déformation équivalente introduit une différence de seuil dans les cas

de compression et de traction. Les formes de la courbe contrainte déformation en compression

et en traction sont les mêmes à un facteur de proportionnalité près (figure 3.3). Afin de repré-

senter une différence de réponse, la loi proposée par Mazars [19] sépare les contributions de la

compression et de la traction dans la définition de l’endommagement. Ces contributions sont

notées d

et d

respectivement et on a :

Chapitre 3. Description continue de la fissuration 28

D

γd

γ

(3.14) avec γ dépendant de la déformation équivalente, de la partie positive des déformations princi- pales <

>

et des déformations principales créées par les contraintes principales positives

:

γ

<

>

(3.15)

l’évolution de d

et d

est donnée par :

d

κ

A

κ

A

exp(B

κ

(3.16) d

κ

A

κ

A

exp(B

κ

(3.17) et la déformation équivalente par :

3

X

i=1

h_ii²₊

(3.18)

où A

, B

, A

et B

sont des paramètres matériaux et γ un coefficient réalisant le couplage entre traction et endommagement.

Figure

3.4 – Loi Mazars : courbes contrainte-déformation en traction 1D avec E

GP a, κ

a) influence de B

pour A

b) influence de A

pour B

(d’après [19])

.

3.3 La localisation des déformations

Le comportement adoucissant du matériau, qu’il soit dû à l’endommagement ou à la plasti-

cité, conduit en fait à un problème mal posé pour un milieu classique tel que défini précédem-

ment. On parle de localisation des déformations, lorsque celles-ci passent d’une distribution

relativement homogène à une distribution en bande de forts gradients. Ce phénomène s’observe

expérimentalement sur des structures en béton (et autres matériaux avec un comportement

adoucissant), et conduit ensuite à l’apparition de macro-fissures. Dans le cas d’un modèle de

Chapitre 3. Description continue de la fissuration 29 milieux continus classiques (sans introduction d’une longueur interne dans le modèle), on peut montrer que la largeur de ces bandes est indéterminée, ce qui peut conduire à une dissipation d’énergie nulle à la ruine et contredit les résultats expérimentaux.

3.3.1 Cas 1D : Barre en traction

Afin d’illustrer le phénomène de localisation dans le cas de modèles sans régularisation, on considère le cas d’une barre 1D soumise à un déplacement imposé à l’une de ses extrémités et bloquée en déplacement à l’autre [5] [20] [21] [22] [23] [24].

Figure

3.5 – Barre en traction : a) Définition du problème b) Loi de comportement L’équilibre de la barre impose une contrainte constante le long de celle-ci. Tant que dans l’histoire du chargement la déformation n’a pas dépassé la valeur κ

, il n’y pas d’ambiguïté et la déformation est la même dans toute la barre (point

dans la figure 3.5 b). Si la barre est chargée d’avantage, au moment où la déformation atteint κ

, on se retrouve alors à un point de bifurcation (voir 3.3.2) et l’unicité de la solution est perdue, chaque point de la barre pouvant alors soit décharger élastiquement (chemin

de solutions est infini et le problème est mal posé. Lorsque la barre n’est pas homogène et que le point de changement de pente est atteint par un seul point de la barre, l’endommagement en ce point atteint immédiatement la valeur de 1 et la barre est complètement fracturée (rupture fragile). Le reste des points décharge élastiquement et l’énergie dissipée est donc nulle.

Dans le cadre d’une modélisation éléments finis avec des lois de comportement sans lon- gueur interne, les déformations vont cette fois se localiser dans un seul élément. Ceci implique une dissipation non nulle, mais en revanche une dépendance pathologique au maillage : la zone de la localisation dépend de la taille des éléments. Cette propriété a cependant été exploitée, en choisissant la taille des éléments du maillage telle que l’énergie dissipée lors de l’endomma- gement soit égale à la dissipation observée expérimentalement. La modélisation sous-jacente du milieu n’est donc pas modifiée, mais on tire parti de la méthode numérique pour retrouver des résultats plus proches de l’expérimentation. C’est une approche très pratique mais elle implique des maillages réguliers et est limitée au cas où la zone de localisation est connue à l’avance. De plus on peut ainsi retrouver des résultats globaux (courbes force - déplacement etc.) corrects mais pas locaux : le nombre, l’espacement etc. des fissures n’est pas connu.

3.3.2 Analyse de la bifurcation

On s’intéresse ici aux conditions rendant possible l’apparition de bandes de localisation dans

un solide. Cette approche a été développée dans les années 1970 dans le cas quasi statique par

Rice [25], Rudnicki [4] et Hill et Hutchinson [3]. De manière générale, la bifurcation est définie

comme la transition entre un chemin fondamental et un chemin alternatif. Dans le cas de

la barre 1D, le chemin fondamental correspond au cas de déformation homogène, et le cas

de la localisation des déformations est un mode de bifurcation. Rice [26] considère un solide

Chapitre 3. Description continue de la fissuration 30 infini, dont les conditions limites au loin sont telles que la contrainte σ

et le gradient du déplacement

y soient constants. On suppose également que le champ de vitesse u

y soit continu. Les taux de contraintes et de gradient du déplacement y sont initialement considérés comme homogènes de valeurs σ

et

u

et on cherche la condition d’existence d’une autre solution pour laquelle le champ de contrainte et de gradient de déplacement soient les mêmes, mais telle que les taux de ces contraintes et gradient de déplacement prennent les valeurs σ

et

∇

u

constantes dans une bande de normale n et les valeurs σ

et

u

en dehors (figure 3.6).

Figure

3.6 – Mode de bifurcation en bande de localisation dans un solide infini La continuité de u

implique que son gradient dans la bande s’écrive sous la forme :

∇

u

u

g

n (3.19)

où g est un vecteur quelconque. L’équilibre doit également être respecté partout, et en parti- culier sur les bords de la bande. Ceci implique :

˙

σ

n

σ

0

n

(3.20)

Si l’on considère que le comportement du matériau est le même à l’intérieur et à l’extérieur de la bande, on a de plus (en petites déformations) :

˙

σ

C

u

et σ

C

u

(3.21) avec C le module tangent de la loi de comportement. L’équation (3.20) combinée avec la loi de comportement donne finalement :

(n·

C

n)

g

(3.22)

On trouve une solution non triviale pour :

det(n

C

n) = 0 (3.23)

C’est la condition (nécessaire) d’apparition d’une bande de localisation, on parle alors de perte d’ellipticité. Cette condition a été obtenue dans le cas d’un solide infini. Dans le cas d’un domaine fini il est plus difficile de postuler a priori le mode de bifurcation, mais la condition de localisation donnée par l’équation (3.23) reste valable au niveau local. On a également postulé que le comportement était le même à l’intérieur et à l’exterieur de la bande, or on a vu dans le cas de la barre en traction que les points de celle-ci pouvaient soit décharger élastiquement soit continuer en charge. En considérant ce cas, avec décharge élastique hors de la bande et charge dans la bande, le critère de bifurcation devient alors :

det(n

C

n) <

(3.24)