5.2.1 Formulation en déplacement
On considère un solide de domaine Ω parcouru par une fissure possédant une partie cohé-sive. La frontièreΓ du domaine comprend la partieΓdoù sont appliqués les efforts extérieurs de surface, la partieΓu où les déplacements sont imposés etΓcohla surface de la zone cohésive.
On aΓ = ΓF∪Γu∪Γcoh.Γcohcomprend elle même les deux faces opposées de la zone cohésive : Γ+coh etΓ−coh.
Figure 5.6 – Solide parcouru par une fissure cohésive
Le principe des travaux virtuels pour un milieu classique, en prenant en compte ces diffé-rentes surfaces, s’écrit alors : L’équilibre de la zone cohésive donne t+ = −t− et dans le cas de petites déformations on a Γ+coh= Γ−coh= Γcoh. On note le saut de déplacement virtuel :Ju∗K=u∗(Γ+coh)−u∗(Γ−coh). Sous l’hypothèse des petites déformations les faces Γ+coh etΓ−coh sont confondues et on a :
Z
Dans le cas d’une formulation éléments finis classique en déplacement, le terme des puis-sances virtuelles liées à la zone cohésive dans l’équation (5.11) peut être discrétisé classiquement en interpolant le champs de déplacement de part et d’autres de la fissure. Le terme de zone cohésive correspond alors à un élément d’interface (placé entre les éléments de volumes
clas-Chapitre 5. Description discrète de la fissuration 53 siques) comprenant les deux bords de la fissure, le champ de déplacement étant discontinu entre ceux-ci. Si l’on n’a pas recours à des méthodes de remaillage, cela suppose soit de connaitre à l’avance le trajet de la fissuration pour y placer les éléments d’interface dans le maillage, soit de disposer ces éléments entre chaque éléments de volume [82]. Dans le deuxième cas, le nombre de degrés de liberté supplémentaires introduits par les éléments cohésifs devient important, et le trajet de la fissuration peut tout de même être contraint par la forme du maillage, puisqu’il est limité aux bords des éléments de volume [83] [84].
Figure 5.7 – Schématisation de la zone cohésive modélisée avec des éléments d’interface L’expression du déplacement sur les faces de l’élément d’interface est donnée par :
{u}(Γ±coh) = [N] {ˆu}(Γ±coh) (5.12) L’expression de la puissance virtuelle des efforts internes de l’élément est donnée en isolant la contribution de la zone cohésive dans l’expression des puissances virtuelles (5.10) :
Z
L’expression des forces nodales de l’élément d’interface cohésif est donc : Z On reste ici dans le cas général des grandes transformations, les contributions des deux faces sont intégrées séparément. Puisque les normales des deux faces ne sont pas nécessairement les mêmes, il peut alors être utile de définir un repère local moyen(en, et)dans lequel sont exprimés les composantes normales et tangentielles du saut de déplacement (voir figure 5.7).
La discrétisation donnée ici, en supposant que les éléments d’interface sont présents dans le maillage avant que la fissure ne soit nécessairement ouverte, pose le problème du traitement de la condition d’adhérence initiale. En effet, pour une loi classique telle que celles évoquées précédemment, la zone cohésive n’est "activée" qu’au moment où la contrainte critique est atteinte. Avant cela, le saut de déplacement doit être nul entre les faces de l’élément. L’im-position de cette condition d’adhérence n’est pas nécessairement triviale et on donne dans la section suivante 5.2.3 une revue de la littérature sur ce point.
5.2.3 Traitement de la condition d’adhérence initiale pour les éléments finis d’interface
Pour une loi cohésive, une contrainte initiale "d’activation" ft non nulle pour un saut de déplacement nul (lois dites extrinsèques, voir figure 5.8 a)) correspond à une raideur initiale infinie, rendant impossible l’utilisation de méthodes de type Newton-Raphson pour résoudre
Chapitre 5. Description discrète de la fissuration 54 le système global. Ce problème du traitement de l’élément d’interface lorsque celui-ci est en condition d’adhérence initiale (avant l’activation de la zone cohésive) a fait l’objet de nombreux travaux et différentes méthodes ont été proposées. On en présente ici quelques unes.
Figure 5.8 – Lois cohésivesa) extrinsèqueb)intrinsèque
5.2.3.1 Pénalisation
La façon la plus simple de régulariser le problème tout en gardant une formulation en dé-placement, est d’introduire une raideur initiale non infinie dans la loi (figure 5.8 b)). La raideur initiale peut avoir une signification physique (dans le cas de matériaux composites par exemple lorsque la zone cohésive représente un interface entre des inclusions [72]), mais dans le cas d’un matériau quasi-fragile, celle-ci est uniquement une conséquence du traitement numérique et revient à traiter la condition initiale d’adhérence par pénalisation (de façon similaire au trai-tement du contact par pénalisation). Elle doit donc être la plus élevée possible afin d’éviter d’augmenter de façon non physique la souplesse globale de la structure et d’imposer au mieux la condition d’adhérence initiale. Cette raideur ne peut cependant pas être choisie trop éle-vée sous peine d’obtenir une matrice de raideur globale mal conditionnée et des difficultés de convergence avec un algorithme de type Newton-Raphson. De plus, lorsqu’un schéma d’inté-gration de Gauss est utilisé pour l’élément d’interface, une valeur trop importante de la raideur conduit également à des phénomènes d’oscillation de la contrainte sur la face cohésive dans la phase précédant la fissuration [83]. Un schéma d’intégration de type Newton-Cotes permet néanmoins d’améliorer la précision [85]. Dans le cas de simulation en dynamique la raideur initiale provoque aussi des problèmes de réflexion partielle d’ondes [86]. Acarie et Monerie [87]
montrent également qu’un modèle de loi de type intrinsèque est moins stable et plus sujet à des problèmes de saut de solution qu’un modèle extrinsèque équivalent possédant les mêmes paramètresGc etft[87].
Dans le cas où les éléments cohésifs sont placés entre chaque élément de matière, des critères sur la densité du maillage sont proposés par [88] et [89] afin de limiter l’augmentation de la souplesse apportée par la raideur factice des éléments cohésifs avant la fissuration. Ces critères prennent la forme générale :
CNLmesh
E >quantitée fixée (5.15)
AvecCN la raideur initiale,Lmeshune dimension caractéristique du maillage etEle module de Young du matériau non fissuré. Blal et al. [90] ont utilisé une approche d’homogénéisation pour justifier de façon théorique la forme de l’équation 5.15. Ce type de critère n’est néanmoins valable que pour des maillages réguliers.
Chapitre 5. Description discrète de la fissuration 55 Dans tous les cas le choix de la raideur de pénalisation reste un compromis entre une bonne précision de la modélisation de la phase précédant l’ouverture des éléments cohésifs, et une minimisation des défauts liés à une raideur élevée (problèmes de convergence, oscillation des contraintes...) [55].
5.2.3.2 Formulation mixte
Pour éviter le recours à la pénalisation, le problème peut être modifié en choisissant une formulation mixte, c’est à dire une formulation pour laquelle les degrés de libertés liés aux déplacements ne sont plus les seuls inconnues du problème, permettant ainsi une résolution globale du système avec les méthodes classiques (Newton-Raphson etc.). (Remarque : d’après la définition de Zienkiewicz [58], dans le cadre de la méthode des éléments finis, on parle de formulation mixte lorsque une partie des degrés de liberté du problème peuvent être éliminés tout en gardant un problème bien posé).
Formulation de l’élément d’interface en contrainte Cazes et al. [91] proposent une formulation mixte pour laquelle on prend comme inconnue le déplacement sur les éléments de volume et les efforts cohésifs dans l’interface. La formulation du problème donnée par l’équation (5.11) doit alors être modifiée pour ajouter un terme imposant l’égalité entre le saut de déplacement calculé à partir de l’interpolation du déplacement sur les bords des éléments de volumes adjacents et le saut de déplacement obtenu à partir de la loi cohésive (en fait l’inverse de la loi cohésive), on obtient alors :
Z La contrainte cohésive correspond en fait ici à un multiplicateur de Lagrange lié à l’imposi-tion de l’égalité des sauts de déplacements. Le problème est ensuite discrétisé avec le champ de déplacements comme inconnues nodales sur les éléments de volumes et le champ de contraintes sur l’élément d’interface. Lors de la résolution numérique du problème, les degrés de libertés en contrainte sur les éléments d’interface sont calculés puis le champ de contraintes est comparé sur chaque point d’intégration au critère d’activation de la zone cohésive. Si celui-ci est activé, le saut de déplacements est calculé via la loi de traction-séparation (en fait son inverse), sinon il est nul, ce qui nous donne JuK(t). La dérivée de ce terme par rapport aux degrés de liberté des contraintes est nulle lorsque l’élément d’interface est en condition d’adhérence (au lieu du terme infini pour une discrétisation en déplacement). Cependant, lorsque la zone cohésive est complètement ouverte et qu’elle ne transmet plus de contrainte (JuK>JucK), la souplesse de-vient infinie et on retrouve un problème similaire à la formulation en déplacement lorsque l’on est en adhérence. Les auteurs proposent de régler cette difficulté en introduisant un change-ment de variable, la contrainte cohésive étant remplacée par une contrainte modifiée fonction croissante du saut de déplacement de la zone cohésive et dont la souplesse n’est jamais infinie.
Méthode de décomposition - coordination Lorentz [92] propose une formulation simi-laire à la formulation de Cazes et al. mais introduit un troisième champ δ correspondant au saut de déplacement dans l’interface. De même que dans [91], l’égalité entreδet le saut calculé à partir de l’interpolation deu est imposé par des multiplicateurs de Lagrange (correspondant ici aussi aux efforts cohésifs), mais dans ce casδest gardé comme inconnue du problème et n’est
Chapitre 5. Description discrète de la fissuration 56 pas obtenu à partir de la loi de comportement. Cette dernière est imposée à l’aide d’un terme additionnel imposant l’égalité entre les multiplicateurs de Lagrange et la contrainte cohésive calculée à partir deδ.
L’équation (5.20) peut ensuite être résolue localement ce qui permet d’éliminer δ des équa-tions globales du système données par (5.18) et (5.19) qui peuvent ainsi être résolues par un algorithme de type Newton-Raphson.
Formulation mixte sur l’ensemble du domaine Bruggi et al proposent à l’inverse de formuler le problème en choisissant le champ de contrainte sur le domaine non fissuré avec le saut de déplacements comme inconnus sur la zone de discontinuité [93] [94]. Ce type de for-mulation a l’avantage de donner une bonne approximation du champ de contrainte (comparé à une formulation en déplacement sur les éléments de volume), ce qui permet lorsque couplé à une méthode de remaillage d’évaluer de façon plus précise la position des points du domaine où le critère d’activation de la zone cohésive est vérifié, et de connaitre correctement l’orientation de celle-ci lorsque l’on se base pour cela sur les directions principales des contraintes.
Dans tous les cas, les formulations mixtes du problème avec interface cohésive ont le désa-vantage d’introduire des degrés de libertés supplémentaires en plus de ceux déjà rajoutés par la présence de l’interface. Dans le cas ou les éléments d’interface sont placés entre chaque éléments de volumes cela peut parfois s’avérer prohibitif en terme de coût de calcul.
5.2.3.3 Formulation Galerkin discontinue
La méthode Galerkin Discontinue (discontinuous Galerkin ou dG) est une sous classe de la méthode des éléments finis pour laquelle les fonctions d’interpolation sont choisies discontinues entre les éléments, la continuité des champs, par exemple du déplacement pour une formulation en déplacement, y est imposé de façon faible. Mergheim et al. [95] ont proposé d’utiliser les propriétés de cette méthode pour imposer la continuité du déplacement avant l’activation de la loi cohésive. Depuis cette approche a été reprise dans le cas dynamique par Seagraves et al.
[96] ainsi que pour des éléments poutres par Becker et Noels [97].
Cette méthode fait intervenir deux formulations distinctes : une pour traiter l’adhérence initiale grâce à la méthode Galerkin Discontinue et l’autre dans le cas d’une fissure cohésive ouverte, avec une formulation classique de la loi d’interface. Zienkiewicz et al [98] ont fait le lien entre la méthode Galerkin Discontinue et l’imposition d’une continuité par multiplicateur de Lagrange. En effet, dans le cas de l’adhérence initiale, on peut imposer sous forme faible une condition de saut nulle avec :
Z
Γcoh
λ∗·JuKdΓ = 0 (5.21) Où λ∗ sont les multiplicateurs de Lagrange liés à la condition d’adhérence.Comme on l’a remarqué précédemment, ceux-ci sont ici identifiables aux efforts de tractions surΓcoh, c’est à direσ+ n surΓ+coh etσ− nsurΓ−coh, avec σ+ etσ− le tenseur des contraintes calculé surΓ+coh
Chapitre 5. Description discrète de la fissuration 57 etΓ−coh respectivement etnla normale à l’interface (avecn=n+=−n−où n+etn− sont les normales extérieures àΓ+coh etΓ−coh). Afin de faire intervenir les grandeurs des deux domaines, on prend simplement la moyenne notée hσ·ni = (σ+ n+σ− n)/2, l’équation (5.21) devient ainsi :
Z
Γcoh
hσ(u∗)·ni ·JuKdΓ = 0 (5.22) et dans le cas de l’élasticité linéaire, en notantE le tenseur de Hooke, nous obtenons :
Z
Γcoh
n· hE :u∗iJuKdΓ (5.23)
Le problème est ainsi formulé uniquement en terme de déplacement. Finalement, pour un domaineΩséparé en deux (Ω = Ω1∪Ω2) par une surface de discontinuité potentielleΓcoh en état d’adhérence, la formulation faible dG est donnée par :
Z
où θ est un terme de pénalisation ajouté pour rendre la formulation stable mais qui ne doit pas nécessairement être choisi très grand [98].
Il est à noté que dans la formulation proposée par Mergheim et al.[95] les termes liés à la méthode Galerkin discontinue sont évalués sur les faces des éléments de volume disposés de part et d’autre du trajet potentiel de la fissuration. Alternativement, il est possible de discrétiser ces termes indépendamment sur des éléments d’interface, la difficulté étant alors d’évaluer le tenseur des contraintes sur l’élément d’interface, ce qui peut nécessiter d’étendre la connectivité de l’élément aux nœuds des éléments de volume adjacents [96].
La transition entre la formulation en phase d’adhérence initiale et la formulation en fis-suration cohésive proprement dite est gérée par une formulation hybride et un facteur α qui prend la valeur 0 ou 1 en fonction de l’activation ou non de la zone cohésive. La formulation hybride est donnée par :
Le facteur αprenant la valeur 1lorsque la contrainte sur les bords de l’interface atteint la contrainte d’ouverture ft, on retrouve alors la formulation classique de la zone cohésive, qui prend le relai de la formulation dG après l’activation.α étant évalué au niveau des points d’in-tégration, cette méthode permet d’avoir un élément d’interface qui est en condition d’adhérence sur une partie de son domaine et cohésif sur l’autre partie.
Comparé à la formulation mixte, la formulation Galerkin discontinue de l’élément d’inter-face a l’avantage de ne pas ajouter de degrés de liberté supplémentaires (en plus du dédouble-ment des nœuds sur l’interface). En revanche, on note que le terme (5.23) limite l’application à une loi élastique linéaire sur le domaineΩ, ce qui est le cas de la plupart des problèmes cohésifs classiques, mais empêche l’utilisation de cette formulation dans le cas d’une transition d’une loi
Chapitre 5. Description discrète de la fissuration 58 continue non linéaire (comme l’endommagement) vers un modèle de zone cohésif. Des formu-lations dG ont cependant été établies dans le cas de la plasticité [99] et de l’endommagement avec une régularisation à gradient explicite [34].
5.2.4 Méthodes sans remaillage
5.2.4.1 Éléments à discontinuité intégrée
Dans le cas des éléments à discontinuité intégrée, le saut de déplacement est introduit à l’intérieur des éléments du maillage parcouru par la fissure cohésive via des degrés de liberté supplémentaires. Par exemple, en dimension 2 pour l’élément triangulaire à fonction d’inter-polation linéaire, le saut de déplacement est constant dans l’élément et les degrés de liberté supplémentaires sont au nombre de deux : saut de déplacement normal et saut de déplacement tangentiel [100], [101] (voir figure 5.9).
Figure5.9 – Elément à discontinuité intégré [101]
Le saut de déplacement peut être relié via la loi de traction-séparation aux efforts cohésifs agissant sur les faces de la discontinuité. Il est alors possible d’exprimer via l’équilibre statique les efforts cohésifs en fonction du tenseur des contraintes à l’intérieur des éléments. Cette équation peut être exprimée en faisant intervenir uniquement les degrés de libertés de l’élément, donnant ainsi une relation entre les degrés de liberté de saut et les degrés de libertés de déplacements nodaux classiques. Cette relation est alors résolue localement, et au niveau global seuls apparaissent les degrés de liberté classiques. L’équation d’équilibre locale de la zone cohésive, elle, dépend du choix fait pour la description du saut de déplacement. Jirasek propose une classification en trois catégories des éléments à discontinuité intégrée de la littérature [102] : – Lorsque les degrés de liberté supplémentaires interviennent uniquement dans le calcul de la déformation, l’équilibre statique à l’intérieur de l’élément est bien vérifié, en revanche les équations de compatibilité de la déformation ne sont pas respectées. Ce type de formulation est nomméestatically optimal symmetric.
– Lorsque les degrés de liberté supplémentaires interviennent également dans l’interpola-tion du champ de déplacement, la compatibilité est bien vérifiée mais pas l’équilibre de la zone cohésive. Jirasek parle alors de formulationkinematically optimal symmetric.
– Dans la troisième catégorie les degrés de liberté supplémentaires interviennent dans l’in-terpolation du champ de déplacement réel et de la déformation, respectant ainsi la com-patibilité comme dans le cas précédant. En revanche, les fonctions d’interpolation du champ virtuel sont choisies telles que l’équilibre soit bien vérifié. Le désavantage étant alors que la formulation ne conduit pas à une matrice tangente symétrique. Cette for-mulation est ditestatically and kinematically optimal nonsymmetric.
Les degrés de libertés de saut étant purement locaux (propres aux éléments), ils peuvent être ajoutés au cours du calcul lorsque le critère d’activation de la zone cohésive est vérifiée sans impacter directement l’algorithme de résolution du système global. Les éléments à discontinuité intégrée ne requièrent donc pas de traitement spécifique de la phase précédant l’activation de
Chapitre 5. Description discrète de la fissuration 59 la zone cohésive. De plus, la direction de propagation de celle-ci n’est pas contrainte par le maillage. En revanche, la déformation dans les deux parties d’un élément traversé par une discontinuité n’est pas calculée de façon indépendante.
5.2.4.2 Méthode des éléments finis étendue
La méthode des éléments finis étendus (X-FEM) permet (entre autres) de traiter la pro-pagation de discontinuité indépendamment du maillage en généralisant les fonctions de forme de la discrétisation éléments finis d’après la méthode de la partition de l’unité [103]. L’idée est d’incorporer dans l’interpolation des champs, des fonctions permettant une bonne approxima-tion de la soluapproxima-tion pour le problème traité. L’interpolaapproxima-tion éléments finis est enrichie par les fonctions supplémentaires dans les parties du domaine où elles sont pertinentes. Ces fonctions sont multipliées par les fonctions d’interpolations classiques de sorte que leur support est local.
Dans le cas d’une formulation en déplacement, l’approximation de u prend la forme générale [104] [105] :
Où Ji est un ensemble d’entier indiquant pour chaque nœud i quelles sont les fonctions d’enrichissement Gj utilisées. Sur les nœuds non enrichis on a Ji = ∅ et on retrouve l’in-terpolation éléments finis classique. Les dij sont les degrés de libertés associés aux fonctions d’enrichissement.
La méthode X-Fem a d’abord été utilisé pour la propagation de fissure dans le cadre de modèles de Griffith [104] [105]. Dans ce cas, les fonctions d’enrichissement doivent pouvoir décrire la discontinuité et le champ de déplacement en point de fissure. Ainsi, sur les nœuds complètement traversés par une discontinuité, l’interpolation est donnée par :
{u}=
nn
X
i=1
Ni(x) ({u}ˆ i+H(x){d}i) (5.27) où H(x) est une fonction de saut définie en fonction d’un système de coordonnées curvilignes de la fissure et telle qu’elle soit égale à 1 d’un côté de la fissure et −1 de l’autre. {d} sont les degrés de liberté liés au saut. En pointe de fissure, les fonctions d’enrichissement doivent
Ni(x) ({u}ˆ i+H(x){d}i) (5.27) où H(x) est une fonction de saut définie en fonction d’un système de coordonnées curvilignes de la fissure et telle qu’elle soit égale à 1 d’un côté de la fissure et −1 de l’autre. {d} sont les degrés de liberté liés au saut. En pointe de fissure, les fonctions d’enrichissement doivent