4.5.1 Continuité des champs de déplacements : les éléments finis second gradient de la littérature
On rappelle ci dessous l’écriture du principe des puissances virtuelles pour un milieu second gradient : Par hypothèse, le champ de déplacement (virtuel ou réel), dans la formulation second gra-dient issue du principe des puissances virtuelles est deux fois continument dérivable (continuité C2) [16]. Dans une formulation approchée éléments finis du problème, il est cependant simple-ment nécessaire que le champ de déplacesimple-ment approximé soit de classe Cm−1, avecm le plus grand ordre de dérivation apparaissant dans l’expression de la puissance virtuelle du système [58]. Ceci implique donc, pour la théorie du second gradient l’utilisation d’éléments finis uti-lisant des fonctions d’interpolation C1. De tels éléments ont été utilisés dans le cas 1D par Chambon et al. [5], mais sont beaucoup plus problématiques dans les cas 2D et3D. En deux dimensions, les éléments typeC1développés initialement dans le cadre de la théorie des plaques minces de Kirchhoff, imposent en général d’importantes restrictions aux niveaux du maillage pour les éléments quadrangulaires [58]. On peut néanmoins citer les travaux de Fischer et al.
[59] pour l’utilisation de tels éléments dans le cadre de milieux second gradient.
4.5.2 Formulation mixte
Une façon de contourner le problème de la continuité du champ gradient de déplacement est d’utiliser une formulation mixte et d’interpoler le champ gradient indépendamment du champ de déplacement [46], [60]. Dans ce cas, le champ de déplacementuet son gradient, noté hsont tous les deux approximés par des fonctions de continuitéC0, la formulation faible du problème ne faisant alors plus apparaitre que des dérivées premières. Cette dernière est obtenue, de façon équivalente, soit à partir des formes fortes des équations d’équilibre du milieu second gradient [60], soit directement à partir du principe des puissances virtuelles pour un milieu micromorphique soumis à une contrainte cinématique [6]. Dans ce dernier cas, on écrit :
Z auquel on ajoute la contrainte cinématique sous forme faible :
Z
Ω
τ∗ : (h− ∇u) dΩ (4.20)
Le champ τ∗ représente alors le champ de multiplicateur de Lagrange lié à la contrainte cinématique. Cette approche a initialement été appliquée à des milieux de type Cosserat dans le cadre d’une formulation variationnelle par Herrmman [61].
Dans le cas de milieux second gradient, nous avons vu précédemment (cf. 4.1) que les efforts extérieurs surfaciques appliqués sur Γdevaient être réécrits par rapport à la définition plus générale des milieux à microstructure, afin de garantir l’indépendance des définitions des efforts et doubles efforts surfaciques. Le terme des puissances virtuelles des efforts surfaciques dans (4.19) devient ainsi [60] [62] :
Z
Γ
t u∗+T h∗n+ (Σn)t: (h∗t − ∇tu∗)dΓ (4.21)
Chapitre 4. Le modèle de second gradient 44 où les efforts t et T sont maintenant identiques à la formulation (4.18) et où l’on a utilisé la décomposition de ∇u∗ eth en parties normales et tangentielles :
∇u=∇nu⊗n+∇tu (4.22)
h=hn⊗n+h
t (4.23)
avec hn=h n
Le terme supplémentaire introduit ici dans la puissance virtuelle des efforts extérieurs (équation (4.21)) s’annule lorsque la contrainte cinématique est parfaitement respectée, et peut-être considéré comme négligeable lorsque celle-ci est introduite de façon faible. Sur les sous-domaines de la surface où les conditions limites spécifient le champ de déplacement et son gradient (efforts et doubles efforts surfaciques t et T inconnus), il suffit pour garantir l’annulation du terme supplémentaire, de les spécifier tels que [60] :
u= ˜u et h= ˜hn⊗n+∇tu˜ (4.24) où u˜eth˜n sont spécifiés indépendamment et∇tu˜ est déduit de la donnée deu.˜
Sur les domaines de la surface où les conditions limites se font sur les efforts et doubles efforts surfaciques (donnée detetT), il peut être nécessaire de conserver le terme supplémentaire et d’imposer sur les champs réels de manière faible l’égalité qu’il implique :
Z
Γ
(Σ∗n)t: (ht− ∇tu)dΓ = 0 (4.25) Σ∗nétant le multiplicateur de Lagrange associé à la condition sur les bords.
Alternativement, la contrainte cinématique (4.1) peut être imposée par pénalisation, en spécifiant une "loi de comportement" surτ telle que :
τ =C(h− ∇u) (4.26)
avec C le coefficient de pénalisation devant être choisi très grand (la contrainte est satisfaite lorsque C → ∞). Cette dernière approche est celle retenue par Enakoutsa et Leblond [63] et Hirschberger et al. [64]. Elle présente l’avantage par rapport aux multiplicateurs de Lagrange de ne pas introduire de degrés de liberté supplémentaires. En revanche le facteur de pénalisa-tion C est souvent difficile à fixer. Il doit être suffisamment élevé pour imposer correctement l’égalité mais rester en même temps suffisamment faible pour éviter un mauvais conditionne-ment de la matrice tangente [65].
Enfin, Fernandes et al [66] combinent les deux approches, multiplicateurs de Lagrange et coefficient de pénalisation (formulation Lagrangienne augmentée) afin d’améliorer les résultats numériques obtenus avec les multiplicateurs de Lagrange seuls. Ce point sera discuté dans la suite de ce chapitre pour le cas d’une loi d’endommagement.
4.5.2.1 Discrétisation
Pour la discrétisation élément finis, le choix du type d’interpolation des deux champs doit être guidé, entre autre par la contrainte qui les relie (4.27).
h− ∇u= 0 (4.27)
Chapitre 4. Le modèle de second gradient 45 Il est naturel de choisir une interpolation pour le champ h qui soit d’un ordre inférieur à celle du champ u puisque le premier doit être égal au gradient du second. Il est en outre souhaitable dans une telle formulation mixte de limiter le nombre de degrés supplémentaires.
Dans sa thèse, Fernandes [67] remarque que dans le cas d’éléments quadrangulaires, lorsque les champsusont interpolés dans l’élément de référence par des fonctions quadratiques de type Serendipity (cette remarque restant valide pour une interpolation de type Lagrange) c’est à dire choisies dans l’espace des fonctions polynomiales défini par la base :
<1 ; ξ ; η ; ξ2 ; ξη ; η2 ; ξ2η ; ξη2 > (4.28) et les champs hinterpolés linéairement, la contrainte (4.27) ne peut être satisfaite de manière exacte. En effet, la dérivée du champu est alors approximée dans la base :
<1 ; ξ ; η ; ξ2 ; ξη ; η2 > (4.29) Or cette base n’est évidemment pas entièrement comprise dans la base d’approximation du champhsi celle-ci est linéaire. Ce n’est en revanche pas le cas des éléments triangulaires qua-dratiques, pour lesquels la dérivée du champuest approximée dans une base du premier ordre.
Dans le cas où la contrainte est imposée par multiplicateurs de Lagrange, il faut également faire un choix sur l’interpolation de ceux-ci. Puisqu’aucune dérivée de ces termes n’est présente dans la formulation faible donnée par (4.19) et (4.20), il est possible ici de se contenter d’une in-terpolation de typeC−1 (champ discontinu entre éléments). La formulation mixte introduisant dès le départ de nombreux degrés de libertés supplémentaires pour l’interpolation du champ h, il peut être intéressant de garder les multiplicateurs de Lagrange constants sur l’élément et ainsi limiter à 4le nombre de degrés de liberté liés à ce champ. Il peut en résulter cependant un mauvais respect de la contrainte cinématique, ce point sera discuté dans la partie II.
Matsushima et al [46] font ainsi le choix de multiplicateurs constants pour un élément quadratique sur le champ u, interpolé sur 8 noeuds (interpolation de type serendipity) et linéaire sur le champh.
Suivant le même type de formulation mixte avec multiplicateurs de Lagrange, Shu et al. [60]
ont proposé 6 éléments différents (3 triangulaires et 3 quadrangulaires) avec différents types d’interpolation. Ils recommandent l’utilisation d’éléments quadrangulaires avec une interpola-tion quadratique à 9 noeuds pour le champ u (fonctions d’interpolations de type Lagrange) et 4 pour les champs h (linéaire), et des multiplicateurs de Lagrange constants sur l’élément.
Pour un élément triangulaire équivalent, c’est à dire quadratique en u et linéaire en h, avec multiplicateurs de Lagrange constants, ils arrivent en revanche à la conclusion que celui-ci est peu précis dans le cas de problèmes de solides incompressibles.
Fernandes [67] compare lui 3 types d’éléments triangulaires quadratiques pour lesquels l’ordre d’interpolation des multiplicateurs de Lagrange est de 0, 1 ou 2. Il suggère également l’ajout d’un terme de pénalisation pour l’application de la contrainte (4.27). Sur la base d’un essai biaxial, il montre que les performances de ces éléments sont sensiblement les mêmes en terme de précision lorsque l’on fait intervenir le terme de pénalisation, les courbes globales des forces déplacements, et les distributions des bandes de cisaillement étant les mêmes. Le choix de l’élément doit donc se faire ici sur la base du coût de calcul et c’est donc l’élément avec les multiplicateurs discontinus entre éléments qui est retenu par Fernandes [66]. Cet élément est a priori identique à l’élément triangulaire déconseillé par Shu el al. [60] mis à part l’ajout du terme de pénalisation. On peut supposer que dans ce cas le manque de précision de cet élément constaté par Shu et al. est ici compensé par l’ajout du terme de pénalisation.Les différents éléments proposés par Matsushima et al [46], Shu et al [60] et [67] sont résumés dans le tableau (4.6).
Chapitre 4. Le modèle de second gradient 46
Figure 4.6 – Résumé des éléments mixte second gradient de la littérature
Dans la suite de cette étude nous utiliserons pour les calculs numériques l’élément de Matsushima et al [46], déjà présent dans le code élément finis utilisé (Lagamine). Il possède un nombre raisonnable de degrés de liberté et la forme quadrangulaire peut-être un avantage pour la discrétisation de certains problèmes.
Chapitre 4. Le modèle de second gradient 47
Conclusion
Parmi les modèles présentés au chapitre 3 régularisant la localisation des déformations, le modèle de second gradient possède des caractéristiques intéressantes. D’une part, parce que l’introduction de terme de gradient supérieur y est justifié physiquement par une description de la microstructure (bien qu’il reste à justifier la forme que prend cette description) et d’autre part parce que le modèle permet d’utiliser telles quelles les lois de comportement développées dans un cadre classique (ce qui est un avantage notamment pour l’implémentation dans un code éléments finis). La théorie du second gradient dans sa forme présentée ici a jusque là été utilisée principalement pour modéliser des sols, et nous souhaitons ici déterminer son applicabilité pour les structures en béton.
La modélisation continue et les méthodes de régularisation qui y sont associées ne sont cependant pas la seule façon de traiter du problème de la fissuration dans les solides. Nous présentons donc dans le chapitre suivant les modèles de zones cohésives, issu de la mécanique de la rupture mais qui possèdent en plus, à la différence de celle-ci, la capacité de représenter de façon discrète le processus de la fissuration, de l’initiation à la propagation.
Chapitre 5
Description discrète de la fissuration
Introduction
Si on abandonne l’approche continue, une façon naturelle de modéliser la fissuration est de considérer celle-ci de façon discrète, comme discontinuité de déplacements, dans un matériau non endommagé, comme dans le cas de la mécanique linéaire de la rupture.
Le modèle de zone cohésive peut être considéré comme une extension de la théorie de Griffith. Initialement développé par Barenblatt [68] et Dugdale [69] ce modèle représente le comportement en pointe de fissure par une loi reliant la contrainte au saut de déplacement dans le cas de métaux ductiles. Ce concept a ensuite été développé et appliqué aux matériaux quasi-fragiles et plus particulièrement au béton par Hillerborg, qui fait le lien avec la mécanique linéaire de la rupture et de son taux de restitution d’énergie critiqueGc. Cette approche permet de modéliser la zone en pointe de fissure, appeléefracture process zone(FPZ), dans laquelle des microssures coalescent pour ensuite former une fissure macroscopique. Cette zone est supposée suffisamment petite par rapport à la taille de la structure dans la mécanique linéaire de la rupture pour ne pas être prise en compte, mais dans le cas de matériaux tels que le béton cette hypothèse est souvent invalidée. Plutôt que de modéliser cette zone de façon continue, on la représente ici par une fissure fictive, ou zone cohésive, sur les faces de laquelle des contraintes sont toujours transmises. Ces contraintes sont reliées au saut de déplacement dans la zone cohésive par une loi dite de traction-séparation (figure 5.1).
Figure 5.1 – Loi cohésive
De façon générale la fissure commence à se propager quand une certaine mesure de la contrainte atteint une valeur critique ft dans le matériau. Lorsque la fissure s’ouvre, les contraintes ne sont pas initialement nulles, mais diminuent progressivement jusqu’à ce qu’une ouverture critique[uc]soit atteinte, au delà de laquelle la fissure est considérée comme totale-ment formée et ne transmet alors plus d’efforts.
Chapitre 5. Description discrète de la fissuration 49
Figure 5.2 – Schéma de fracture process zone et de sa représentation par une zone cohésive (d’après [70] et [71])
Dans le cas d’une fissure en mode I, cette loi relie la contrainte normale à l’ouverture normale des lèvres de la fissure. La loi cohésive peut également représenter les modes II et III en reliant les contraintes et ouvertures dans les directions tangentielles. En introduisant une contrainte ft d’activation de la zone cohésive, le modèle permet de modéliser l’initiation de la fissure, même sans défaut initial. Enfin, le lien avec la mécanique de la rupture est fait en notant que le travail nécessaire pour former une fissure d’une unité de surface est donné par :
Gc= Z JucK
0
σdJuK (5.1)
On notera qu’ici, à la différence de la théorie de Griffith, le critère de propagation de la fissure ne se fait plus à l’échelle de la structure mais au niveau local.
5.1 Lois cohésives
De nombreuses lois cohésives sont proposées dans la littérature, et représentent différents phénomènes dans différents formalismes. Dans le modèle de Barenblatt [68], la loi cohésive représente les forces d’attraction à un niveau atomique ou moléculaire en pointe de fissure.
Dans le cas du béton, la zone cohésive représente le processus de micro-fissurations de la FPZ, mais le concept de zone cohésive est également largement utilisé dans le cas de matériaux composites où il peut servir par exemple à représenter un interface entre la matrice et une inclusion [72].
5.1.1 Cas du mode I
Le modèle de zone cohésive a initialement été formulé pour des ouvertures de fissures se limitant au mode I [73]. Dans ce cas les paramètres du modèle se réduisent essentiellement aux grandeurs Gc,ft et JucK plus une forme de loi spécifique (linéaire, exponentielle, etc.) reliant ces grandeurs entre elles.
Les paramètresGcetftsont mesurables expérimentalement, mais la forme de la loi cohésive et le paramètre d’ouverture maximale JucK sont plus difficiles à déterminer. Il a été suggéré initialement que cette forme jouait un faible rôle dans la réponse globale d’une structure et qu’à paramètresGcetftégaux les réponses étaient sensiblement les mêmes mais cette hypothèse est remise en cause [74]. La forme de la loi traction-séparation n’est que difficilement déductible d’essais expérimentaux donnant directement une relation entre l’ouverture de fissure et la contrainte tels que des tests de traction stable. Pour le béton, il est en fait particulièrement difficile dans de tels cas d’obtenir une seule fissure bien localisée. Même lorsque des défauts sont introduits dans l’éprouvette, la fissuration tend à se faire de façon non symétrique [71].
Chapitre 5. Description discrète de la fissuration 50 La forme de la loi cohésive peut alors être déterminée par analyse inverse sur des essais de fissuration moins directs mais mieux contrôlés.
Pour le béton, la première loi traction-séparation a avoir été proposée est celle de Hiller-borg [73] qui a fait le choix le plus simple d’une loi affine. L’idée étant alors essentiellement d’introduire un taux de restitution d’énergie critique et de le relier à une contrainte limite de traction, le saut de déplacement critique étant alors directement déterminé par la donnée deft
etGc. On peut également définir une longueur interne caractéristique du modèle définie par : lch= EGc
ft2 (5.2)
Cette longueur interne est commune aux différentes formes de lois puisqu’elle ne dépend que du module de Young E du matériau sain, de l’énergie de fissuration et de la contrainte maximale de traction. Elle est liée à la taille de la FPZ qui dans le cadre de ce modèle est donnée par la longueur de la zone de fissure transmettant des contraintes. Dans le cas d’une loi affine par exemple Cusatis et Schauffert [75] ont montré que cette taille tend vers une constante lorsque la structure est suffisamment large.
Petersson [76] a lui proposé une forme de loi bilinéaire (figure 5.3 b) comme approximation du comportement de la "fracture process zone". Ce modèle a ensuite été largement repris du fait de sa simplicité et de sa versatilité.
Figure 5.3 – a) loi affine, b) loi bilinéaire
Physiquement, la première partie de la courbe représente alors essentiellement les effets liés à l’apparition de microfissures dans la FPZ alors que la deuxième partie représente plutôt les effets de la coalescence de celles-ci et du blocage des grains (interlock effects). Au niveau de la réponse de la structure, Planas, Elices et al. [77] ont montré queft et la pente initiale étaient prépondérants dans le comportement global de celle-ci lorsque la taille de la FPZ n’est pas négligeable devant la taille de la structure. On définit ainsi une énergie de fissuration initiale Gci correspondant à l’air sous la courbe de la première partie de la loi bilinéaire (voir figure 5.3 b) et de façon équivalente une seconde longueur interneli donnée par :
li= EGci
ft2 (5.3)
Lorsqu’au contraire la structure est suffisamment grande, on retrouve l’hypothèse de la mécanique linéaire de la rupture et c’estGcqui est prépondérant [77], [78]. De même que pour la loi affine, la taille de la FPZ tend également vers une constante lorsque la structure est suffisamment grande. Elle dépend toute fois également du point de changement de courbe et donc plus uniquement de lch.
Chapitre 5. Description discrète de la fissuration 51 5.1.2 Extension aux modes mixtes
Formulé initialement pour des ouvertures en mode I, le modèle de zones cohésives peut facilement être généralisé aux modes II et III. La zone cohésive transmet alors des contraintes normales et tangentielles dépendant des ouvertures dans ces deux directions. Soitnla normale extérieure d’une face de la zone cohésive nommée Γ+coh, on note σ la valeur de la contrainte normale etτ le terme de contrainte tangentielle, l’effort cohésif surΓ+cohpeut donc être exprimé par :
t+=t=σn+τ (5.4)
Figure 5.4 – Zone cohésive : cas général 2D
Il est alors courant de définir une contrainte et un saut de déplacement équivalent (5.5a), (5.5b), pour exprimer les critères d’activation de la zone cohésive (5.6a) et de facturation complète (5.6b). On fait ainsi implicitement le choix d’une même forme de loi pour les modes I et II, ce qui peut-être discuté, mais permet de garder un nombre raisonnable de paramètres dans le modèle.
teq=teq(σ, τ) (5.5a)
JueqK=JueqK(JunK,JutK) (5.5b)
teq =ft (5.6a)
JueqK≥JucK (5.6b)
En fonction de l’expression que prend teq, différent types de critères peuvent être exprimés pour l’initiation de la fissuration, parmi lesquels :
– Coulomb [79]
teq =σ+α||τ|| (5.7)
– Elliptique : [80]
teq= q
hσi2+(α||τ||)2 (5.8)
– Rankine - Tresca :
teq=max(σ, α||τ||) (5.9)
Ces critères peuvent être représentés dans l’espace de (σ, τ) par la frontière d’un domaine à l’intérieur duquel les contraintes sont admissibles (figure 5.5).
Chapitre 5. Description discrète de la fissuration 52
Figure 5.5 – 2D : Critères d’activation de la zone cohésive : a) Coulomb, b) Elliptique, c) Rankine-Tresca (d’après [81])