Essai de flexion entaillé

7.2.1 Dispositif expérimental

Il s’agit ici d’un essai de flexion 3 points avec entaille sur une série de poutres en béton non armé. Afin de faire apparaitre l’effet d’échelle, trois tailles de poutres de dimensions pro-portionnelles sont testées. Dans l’essai expérimental le chargement appliqué est contrôlé par l’ouverture de l’entaille (NMOD : Notch Mouth Openning Displacement), et la poutre repose sur des appuis simples. Ce test est issu du projet ANR Mefisto et les résultats expérimentaux sont issus de la thèse de Y. Alam [14]. La définition de la géométrie des trois types de poutres D1,D2 etD3est donnée dans la figure 7.5 et le tableau 7.3.

Figure 7.5 – Essai de flexion 3 points avec entaille : définition de la géométrie

Chapitre 7. Application à des essais sur des structures en béton 83

Dimensions des spécimens D1 D2 D3 unité

Poutre Longueur L 40 80 160 cm

Portée S 30 60 120 cm

Hauteur h 10 20 40 cm

Épaisseur b 10 10 10 cm

Entaille Largeur e 3 3 3 mm

Profondeur a 2 4 8 cm

Table7.3 – Essai de flexion entaillé : Dimensions 7.2.2 Modélisation éléments finis

L’essai est modélisé en deux dimensions en faisant l’hypothèse des déformations planes. La structure est maillée à l’aide des éléments second gradient à 9 nœuds [46]. Le calcul est réalisé en imposant un déplacement sur la partie supérieure de la poutre via une zone élastique. La géométrie de l’essai étant symétrique, on maille une moitié de poutre en imposant une condition de symétrie sur l’axe centrale (figure 7.6). Ces conditions s’appliquent ici sur le déplacement mais également sur son gradient [118], sur l’axe de symétrie nous avons :

u1 = 0 (7.1a)

h₂₁= ∂u2

∂x₁ = 0 (7.1b)

Figure 7.6 – Essai de flexion 3 points avec entaille : Conditions de symétrie

Les appuis simples sont modélisés en bloquant le déplacement vertical sur un nœud. Le maillage est gardé quasiment identique (de dimensions proportionnelles) pour les 3 poutres D1,D2etD3, seule la zone autour de l’entaille variant légèrement, les dimensions de l’entaille étant constantes pour les 3 types de poutres. Les maillages pour les 3 poutres sont donnés à l’échelle à la figure 7.7

7.2.3 Calage des paramètres matériaux

Les paramètres matériaux n’étant pas imposés par le benchmark, nous avons décidé de caller la courbe numérique de la poutre D2 sur la courbe expérimentale en faisant varier les paramètres des lois de comportement. Les paramètres trouvés seront ensuite utilisés pour les modèles D1 et D3 sans calage supplémentaire.

Les paramètres retenus en première approche pour la loi Mazars sont ceux de Alam et al.

[119], qui ont effectué un calage de ces mêmes essais par un algorithme d’optimisation pour

Chapitre 7. Application à des essais sur des structures en béton 84

Figure7.7 – Essai de flexion 3 points avec entaille : Maillages des poutres D1, D2 et D3 une loi Mazars non locale intégrale. Le paramètre restant alors à déterminer pour le calibrage de notre modèle sur la courbe force – ouverture de l’entaille est le module B de la loi second gradient. Nous montrons (figure 7.8) que ce module influence essentiellement (du moins au niveau global) la valeur maximale de la force.

Figure 7.8 – Essai de flexion 3 points avec entaille : Influence du module second gradient Le comportement post-pic n’est ici clairement pas modélisé correctement. Quelque soit la valeur du module de la loi second gradient (et quelque soit le couple At, Bt de la loi Mazars) la courbe force - ouverture d’entaille se termine en palier sans adoucissement. Le calibrage s’est donc fait essentiellement sur cette valeur de « pic ». Les valeurs finalement retenues sont résumées dans le tableau 7.4.

Nous montrons ci-dessous (figure 7.9) les courbes force – ouverture d’entaille obtenues avec le modèle numérique pour les trois spécimens de poutres étudiés et la comparaison avec les résultats expérimentaux.

7.2.4 Modélisation de l’effet d’échelle

Les paramètres du calage de la poutre D2 donnent de bons résultats dans le cas de la poutre D3 pour la valeur de réaction maximale. Les résultats sont moins bons en ce qui concerne la poutre D1. Afin de faire apparaitre la reproductibilité de l’effet d’échelle nous donnons également la courbe contrainte nominale – ouverture de l’entaille pour les trois spécimens

Chapitre 7. Application à des essais sur des structures en béton 85

Paramètres matériaux Grandeurs Valeur Unité Paramètres élastiques Module de Young E 30 GPa

Coefficient de Poisson ν 0.20 -Loi Mazars Déformation initiale κi 0.036 %

Traction At 0.78

-Bt 5089

-Compression Ac

-Bc

-Loi second gradient Module élastique B 0.26 MN

Table7.4 – Essai de flexion 3 points avec entaille : Paramètres des lois de comportement

Figure7.9 – Essai de flexion 3 points avec entaille : Courbes force - ouverture d’entaille pour les poutresD1,D2 etD3

(figure 7.10), la contrainte nominale étant ici définie par : σ_N = 3P S

2bh² (7.2)

avec P la valeur de maximale du chargement appliqué (valeur pic) pour chaque poutre, la hauteur hétant prise comme dimension caractéristique de la poutre.

Figure 7.10 – Essai de flexion 3 points avec entaille : Effet d’échelle

Chapitre 7. Application à des essais sur des structures en béton 86 Cette courbe montre que le modèle produit bien un effet d’échelle (la contrainte nominale maximale est différente pour des dimensions de poutres différentes) quoique différent de celui obtenus expérimentalement pour la poutre D1. On compare également les résultats numériques à la loi d’effet d’échelle de Bazant [15] rappelée ici :

σ_N = Bf_t p1 +D/D0

(7.3) Les termesBf_tetD₀ sont ici ceux déduit des résultats expérimentaux (voir [119]) avecD=h la dimension caractéristique (figure 7.11).

Figure 7.11 – Essai de flexion 3 points avec entaille : Comparaison des résultats avec la loi Bazant

Bien entendu, les paramètres matériaux ont été ici simplement choisis en première approche, il s’agit ici de montrer qu’un effet d’échelle est bien produit par l’utilisation du second gradient.

On a également montré que le paramètreB de la loi second gradient, en agissant sur la valeur pic de la courbe globale force - déplacement et sur la taille de la zone de localisation influençait cet effet d’échelle. Néanmoins, le modèle souffre à ce stade de problèmes, notamment d’ordre numérique, qu’il convient de résoudre avant de pouvoir effectuer une calibration plus poussée des différents paramètres matériaux.

7.2.5 Distribution de l’endommagement

Si l’on examine les cartes d’endommagement (figure 7.12), on se rend compte que celui-ci n’est pas distribué de façon continue. On trouve au contraire des changements brusques et importants dans la valeur deDet ce même dans la partie proche de la pointe de l’entaille. Ainsi, même pour des chargements importants nous obtenons dans les zones les plus endommagées des points d’intégration où la valeur de D est très différente de 1 donnant ainsi à la structure une rigidité supplémentaire. Ce point est examiné dans le chapitre suivant.

Chapitre 7. Application à des essais sur des structures en béton 87

Figure 7.12 – Essai de flexion 3 points avec entaille (poutre D2) : Distribution de l’endom-magement à NMOD = a)50 µm, b) 75 µmet c)100µm

Chapitre 8

Problèmes numériques liés à la formulation mixte

8.1 Oscillation du champ d’endommagement

Les résultats des simulations des essais présentés en 7.1 et 7.2 font apparaitre une oscil-lation du champ de déformation au sein des bandes de localisation. On remarque toutefois que le problème semble correctement régularisé, avec une localisation en bandes de largeurs indépendantes du maillage (bien que le nombre de bande varie avec le maillage, comme noté précédemment).

Figure 8.1 – Champs11

Figure 8.2 – Champsh11

En fait, les valeurs de certaines composantes de la déformation, calculées à partir du

gra-Chapitre 8. Problèmes numériques liés à la formulation mixte 89 dient du champ u aux points d’intégration, oscillent autour de la valeur correspondante du champh à laquelle elles devraient être égales. Ce phénomène est illustré dans le cas de l’essai de flexion 3 points (voir 7.1) dans les figures 8.1 et 8.2 pour les composantes11 eth11.

On a ici dans les bandes de localisation un champ de déformation qui est principalement 1D, les composantes₁₂et₂₂étant faibles par rapport à₁₁. La figure 8.2 fait bien apparaitre la localisation en bande du champ h11. En revanche 11 qui n’est pas nécessairement continu, au contraire deh11, oscille au sein de ces bandes. L’endommagement étant ici calculé à partir de la partie positive des déformations, celui-ci varie brusquement au sein des éléments (figure 8.3).

Figure 8.3 – Champs d’endommagement et points d’intégration en charge

Dans la bande de localisation, pour un élément donné, une partie des points d’intégration se retrouve en charge (l’endommagement augmente) et d’autres en décharge élastique. La figure 8.4, donnant le champ h₁₁ interpolé et le champ ₁₁ calculé à partir de la dérivée de l’interpolation du champ u₁ sur un élément de la bande de localisation, montre clairement l’origine du problème.

Il apparait ici, qu’en moyenne sur l’élément, l’égalité est bien respectée mais que les valeurs prises par₁₁ au niveau des points d’intégration partent dans des directions opposées de part et d’autre de l’élément. Dans la formulation faible du problème, l’égalité des deux champs est imposée par le terme :

Z

Ω

λ^∗(∇u−h)dΩ (8.1)

Chapitre 8. Problèmes numériques liés à la formulation mixte 90 Et la formulation discrétisée, avec λ^∗ constant sur l’élément de domaine Ωe :

Z d’interpolation de h et des gradients des fonctions d’interpolation de u. L’intégration sur les points de Gauss de l’élément des forces nodales associées à l’égalité des deux champs donne :

Z avec W_{P I} le poids des points d’intégration du schéma de Gauss, et det(J) le déterminant de la transformation de l’élément parent à l’élément réel. On voit donc comment dans un schéma d’intégration à 4 points de Gauss un champ tel que celui de la figure 8.4 peut donner des forces nodales nulles, avec par exemple :

[B_u]{ˆu} −[N_h]{ˆh}

Dans le cas d’une loi d’endommagement le solide reste compressible, une sous-intégration de l’élément n’est donc pas nécessaire. On constate cependant que les résultats sont similaires pour une intégration complète 3×3de l’élément.