Les essais de flexion, pour les poutres entaillées (sections 7.2 et 8.3), et pour la poutre armée (section 7.1 et 8.2) ayant pour mécanisme principal de rupture des propagations de fissures en mode I, on y retrouve des résultats similaires à l’essai qui vient d’être décrit, notamment en terme de distribution de l’endommagement.
On redonne ici (figure 10.11) une partie des résultats donnés en 8.2 pour l’essai de flexion 3 points sur la poutre en béton armé. On observe ici que les bandes de localisation ont tendance à s’étaler et fusionner jusqu’à ce que l’endommagement atteigne l’ensemble de la poutre. La localisation en bande n’est alors plus visible.
Figure 10.11 – Essai de flexion 3 points : évolution du champs d’endommagement Pour des niveaux de chargement plus faibles, on retrouve des distributions d’endomma-gement dans les "bandes" similaires au cas de l’éprouvette trapézoïdale. On obtient ainsi des bandes de localisation avec une distribution "conique" de l’endommagement. En effet, les fibres inférieures de la poutre, plus sollicitées, présentent un étalement de l’endommagement plus im-portant que les fibres supérieures. Lorsque le chargement augmente, cet étalement s’étend sur la hauteur des bandes jusqu’à ce que les bandes fusionnent entre elles.
La précédente analyse de l’essai de fissuration en mode I explique également la raideur résiduelle importante constatée (figures 7.3 et 8.6). Celle-ci est due aux efforts second gradient qui continuent à être transmis malgré le développement de l’endommagement.
Conclusions
L’analyse de quelques cas d’application du modèle de second gradient sur des essais de flexion avec loi d’endommagement a montré que celui-ci était mal adapté pour ce type de problèmes, dans sa forme utilisée ici (lois 1er et2nd gradient découplées, loi second gradient élastique linéaire). Ce type d’essais est caractérisé par l’apparition de fissures en mode I. Or, dans de tels cas, une fissure "ouverte" se propage dans la structure, et on a donc une zone complètement endommagée précédée d’une "fracture process zone" dans laquelle l’endomma-gement passe de 0 à 1. Le modèle de second gradient utilisé ici ne permet pas de représenter correctement des situations d’endommagement proche ou égal à 1, d’une part parce que la zone de localisation continue à s’étendre et d’autre part car des efforts importants sont tou-jours transmis au travers de la fissure via les termes second gradient. Plusieurs pistes peuvent être explorées pour lever les limitations du modèle :
– L’utilisation d’une loi second gradient autre que élastique linéaire : La loi élastique permet d’introduire une forme de pénalisation sur la localisation des déformations, mais son effet devient problématique lorsque la localisation devient trop importante. L’utilisation d’une fonction d’endommagement agissant à la fois sur la loi premier gradient et la loi second gradient et conservant les rapports des modules gouvernant la taille de la zone de localisation, permet d’obtenir une longueur de localisation fixe mais ne permet pas de résoudre le problème de transmissions d’efforts dûs aux termes de second gradient.
Cependant, d’autres possibilités peuvent être explorées, avec par exemple différentes sortes de couplages entre les parties premier et second gradient. La forme de ces lois, et du couplage des deux parties, restent à définir.
– La transition vers un fissure discrète : le modèle de second gradient permettant de traiter l’apparition de la localisation mais pas les cas de localisations trop importantes, il est naturel dans ce cas d’effectuer une transition vers un modèle de fissure discrète via des éléments cohésifs. Il est alors nécessaire de déterminer le critère de transition et les caractéristiques d’une zone cohésive dans un milieu second gradient. Ce point sera exploré dans la partie suivante.
Troisième partie
Applications du modèle de second
gradient avec élément cohésif
Table des matières
Introduction 112
11 Formulation de l’élément d’interface cohésif second gradient 113 11.1 Formulation . . . 113 11.2 Formulation mixte . . . 114 11.3 Discrétisation . . . 115 11.3.1 Interpolation du champ de déplacement . . . 115 11.3.2 Interpolation du champ de gradient . . . 116 11.3.3 Interpolation de la géométrie et définition du repère local . . . 116 11.3.4 Forces nodales équivalentes . . . 117 11.4 Phase d’adhérence . . . 118
12 Transition continu - discontinu 120
12.1 Les paramètres du modèle de transition . . . 121 12.1.1 Partie premier gradient . . . 121 12.1.2 Partie second gradient . . . 122 12.2 Aspects numériques . . . 123 12.2.1 Évaluation de l’endommagement . . . 123 12.2.2 Transition au cours du calcul . . . 123 12.3 L’essai de fissuration en mode I . . . 124 12.3.1 Modèle . . . 124 12.3.2 Résultats . . . 125 12.4 Essai de flexion entaillé . . . 127
Conclusions et perspectives 130
Introduction
Nous avons vu au chapitre 4 et à la partie II les problèmes qui se posent dans le cadre d’une loi d’endommagement régularisée avec le modèle de second gradient. En particulier, la propagation de fissure en mode I n’est pas satisfaisante. Le second gradient introduit en effet des efforts supplémentaires qui peuvent être importants dans les bandes de localisation, même lorsque l’endommagement atteint sa valeur critique dans celles-ci. On constate également un étalement de l’endommagement qui ne reste pas confiné dans une bande de dimension fixe.
Il est nécessaire d’apporter des modifications au modèle afin de répondre à ces deux pro-blèmes pour que celui-ci soit applicable aux cas de structures en béton. La modification de la forme de la loi second gradient est une des pistes possibles mais reste pour l’instant un pro-blème ouvert. Nous choisissons plutôt ici une solution ad hoc mais relativement naturelle qui est la transition vers une discontinuité forte, à l’instar de divers travaux pour d’autres types de méthodes de régularisation [70], [81],[101], [109], [110] [111] [112] .
Parmi les différentes approches de la transition continu - discontinu pour les modèles d’en-dommagement, certains auteurs proposent le passage à une fissure complètement formée (saut de déplacement sans transmission d’efforts entre les faces) lorsque l’endommagement devient égal ou très proche de 1 afin notamment de résoudre les problèmes d’étalement de la bande de localisation dans le cas de modèles à gradient implicite [111]. A l’inverse, d’autres auteurs proposent de pouvoir faire la transition vers une discontinuité avant que la valeur finale de l’endommagement soit atteinte (voir [70], [112]). Dans ce cas, des efforts sont toujours trans-mis à travers la bande de localisation, et le passage vers la discontinuité doit se faire avec un modèle cohésif.
Dans notre cas cette discontinuité doit également pouvoir au départ transmettre des efforts, quand bien même l’endommagement serait proche de1au moment de la transition, du fait des termes second gradient. La transition vers une discontinuité forte se fera donc avec un modèle de zone cohésive.
La transition d’un modèle continu d’endommagement vers un modèle cohésif permet alors de combiner les avantages des deux approches. Le modèle continu permet de capter la transi-tion d’un endommagement diffus vers un endommagement localisé, et de prédire le trajet et l’orientation de la fissure. Le modèle cohésif permet de palier aux défauts de la méthode de régularisation et d’effectuer la transition vers une fissure pleinement formée.
Phénoménologiquement, la transition vers une fissure cohésive peut se justifier comme la transition d’une micro-fissuration localisée mais non complètement coalescée vers une macro-fissure transmettant des efforts via des effets decrack bridging.
On détaille dans cette partie la formulation d’un élément d’interface cohésive dans le cas d’un milieu second gradient. On détaillera également la transition entre le modèle d’endom-magement et le modèle de zone cohésive. Enfin on traitera 2 cas d’applications basés sur les essais décrit dans la partie II.
Chapitre 11
Formulation de l’élément d’interface cohésif second gradient
Introduction
Comme nous l’avons détaillé au chapitre 5, plusieurs choix sont possibles quand à la for-mulation du modèle de zone cohésive dans le cadre d’un code éléments finis. Lorsque le trajet de la fissure est connu à l’avance, le modèle de zone cohésive peut être discrétisé sous la forme d’éléments d’interfaces placés au préalable dans le maillage [91] [92] [94] [96]. Alternativement, lorsque le trajet n’est pas connu à l’avance, les éléments d’interface peuvent être introduits au fur et à mesure de la propagation via une méthode de remaillage [80] [121]. Les méthodes sans remaillage telles que X-FEM [106] [107] et les éléments à discontinuité intégrée [100] [102]
traitent plus naturellement de la propagation de discontinuités et semblent bien adaptés pour ce type de problème. Néanmoins, le choix qui est retenu ici, essentiellement par contrainte de temps, est celui de l’élément d’interface, placé préalablement dans le maillage entre les éléments surfaciques. Il faudra donc également formuler le traitement de la phase d’adhérence initiale garantissant la continuité du champ de déplacement et de son gradient à travers l’élément d’interface avant l’activation de la zone cohésive proprement dite.
11.1 Formulation
On reprend ici le problème traité à la section 5.2.1 d’un solide de domaine Ωparcouru par une fissure cohésive de facesΓ+cohetΓ−coh (figure 11.1). Dans le cas d’un milieu second gradient la formulation faible du problème donne :
Z Γ−coh respectivement. tdest la densité d’effort surfacique imposé surΓd le bord du domaine où ils sont connus.u∗ est le champ de déplacement virtuel et ∇n• désigne la dérivée normale.
En particulier le terme des efforts intérieurs de la zone cohésive est donné par : Wint=−
Chapitre 11. Formulation de l’élément d’interface cohésif second gradient 114
Figure 11.1 – Solide parcouru par une fissure cohésive