Nous reproduisons ici l’essai de traction unidimensionnel avec cette fois la loi d’endom-magement de Mazars [19]. La solution analytique du problème n’est alors plus connue mais
Chapitre 6. Application à un problème de traction unidimensionnel 69 certains résultats obtenus avec la loi bilinéaire peuvent tout de même être utilisés comme estimations. Les quelques résultats numériques présentés précédemment pour le cas de la loi bilinéaire étaient effectués dans un code 1D avec des éléments de continuitéC1, nous effectuons ici les calculs dans le code 2D Lagamine avec les éléments mixtes à 9 noeuds. Il a été montré par Matsushima et al. [46] que ces éléments permettaient pour la loi bilinéaire de retrouver les résultats de la solution analytique et du code 1D avec élémentsC1 (dans le cas de grandes déformations). Le test de traction est reproduit en choisissant les paramètres matériaux et conditions limites appropriées, c’est à dire un coefficient de Poisson égale à 0, blocage des degrés de libertés "2D" (u2, v22 et v12) et en imposant un déplacement u1 = U en bout de barre.
Figure 6.5 – Essai uniaxial avec les éléments 2D
6.3.1 Évolution de la taille de la zone de localisation
Nous présentons ici les résultats de calcul avec la loi de Mazars pour une barre maillée avec 50 éléments et les paramètres du tableau 6.1
Géométrie et paramètres matériaux Grandeurs Valeur Unité
Dimension Longueur L 0.20 m
Paramètres élastiques Module de Young E 37.2 GPa
Loi d’endommagement Déformation initiale κi 0.09 % Forme de la courbe At 0.99
Bt 6800
Loi second gradient Module élastique B 0.15 GN
Table6.1 – Essai de traction 1D : Paramètres
La localisation est provoquée en affaiblissant un élément central de la barre (diminution de la déformation initiale d’endommagement κi de 5%). Cela nous permet également de nous assurer que le mode de localisation sera de type "dur mou dur". Les paramètres du problème, et notamment la longueur de la barre sont ici choisis afin d’éviter l’apparition de snap-back, l’essai étant simplement piloté en déplacement. La forme de la courbe contrainte déformation associée aux paramètres matériaux est donnée figure 6.6.
Il n’existe pour ce type de loi pas de solution analytique mais la longueur de la zone de localisation peut être estimée à partir de la longueur d’onde donnée par [24] :
λ= 2π s−B
Gtg
(6.14) où Gtg est le module tangent de la partie adoucissante de la loi premier gradient. Celui-ci est
Chapitre 6. Application à un problème de traction unidimensionnel 70
Figure 6.6 – Courbe contrainte - déformation
variable au cours du chargement et on s’attend donc à observer une évolution de la taille de la zone de localisation. En particulier pour les paramètres utilisés, dans la partie adoucissante, le module tangent commence par augmenter (en valeur absolue) puis diminue, la longueur de la zone de localisation doit donc décroître avant d’augmenter. Lorsque l’endommagement tend vers 1, le module tangent devient proche de0 et la longueur de bande croît jusqu’à atteindre la longueur de la barre. L’évolution de la zone de localisation est donnée à la figure 6.7 pour 15 pas de chargement après l’apparition de la localisation. La diminution initiale n’apparait pas clairement lorsque l’on s’intéresse à la distribution des déformations, mais est claire avec l’indicateur d’endommagement, égal à1 lorsque celui-ci augmente, et0 lorsqu’il n’évolue pas.
Nous donnons également à la figure 6.8 les courbes globales force - déformation moyenne (égale au déplacement imposé divisé par la longueur de la barre).
0
Figure 6.7 – Essai uniaxial : évolution de la zone de localisation sur15 pas de chargement
Chapitre 6. Application à un problème de traction unidimensionnel 71
Figure 6.8 – Essai uniaxial : courbe globale Effort - déformation moyenne 6.3.2 Évolution des efforts
On donne à la figure 6.9 l’évolution des effortsN,σ et−Σ0 au centre de la barre en fonction de la déformation moyenne. On constate que comme dans le cas de la loi bilinéaire l’effort N dans la barre diminue lentement malgré des contraintesσ faibles.
Figure 6.9 – Essai uniaxial : Evolution des effortsN,σ et−Σ0
6.3.3 Tirage aléatoire et changement de mode de localisation
Dans le cas d’essais comme celui-ci, pour lequel un mode de déformation homogène est possible, une alternative à l’affaiblissement des paramètres mécaniques d’un élément afin de provoquer la localisation est d’effectuer un tirage aléatoire sur l’initialisation du champ de vitesse (ou de déplacement) dans l’algorithme de Newton-Raphson [115]. Cette technique a été appliquée dans le cas du modèle second gradient pour un essai de compression biaxial avec une loi élasto-plastique par Chambon et al. [57] et dans le cas de l’essai de traction présenté ici avec la loi Mazars par Kotronis [7].
Nous rappelons simplement ici qu’il n’est évidemment pas possible avec un tel tirage aléa-toire de contrôler le type de localisation obtenue lorsque plusieurs solutions sont possibles (on peut par contre choisir une initialisation particulière, non aléatoire mais non homogène, qui est connue pour provoquer un certain mode de localisation), ce qui est généralement le cas avec le modèle de second gradient et pour ce type de problème [5], [57]. De plus, le mode de localisation peut changer au cours de l’essai [56].
Chapitre 6. Application à un problème de traction unidimensionnel 72 Nous donnons ci-dessous les résultats du test 1D avec les paramètres du tableau 6.2 en utilisant le tirage aléatoire peu après le pic d’effort maximal, pour un déplacement imposé correspondant à une déformation moyenne de 1.1 10−4, soit légèrement après le pic de la courbe globale force déplacement. Celle-ci et le profil de convergence pour les incréments de chargement à partir du tirage sont donnés figures 6.10 et 6.11 respectivement. L’initialisation aléatoire y est marquée en rouge et le tirage aléatoire en bleu. Des difficultés de convergence sont associées à celle-ci mais une convergence classique est retrouvée dans les pas suivants.
Géométrie et paramètres matériaux Grandeurs Valeur Unité
Dimension Longueur L 1 m
Paramètres élastiques Module de Young E 30 GPa
Loi d’endommagement Déformation initiale κi 0.1 % Forme de la courbe At 0.5
Bt 20000
Loi second gradient Module élastique B 0.37 GN
Table6.2 – Essai de traction 1D : Paramètres
Figure 6.10 – Essai uniaxial : Courbe globale effort - déformation moyenne
Figure 6.11 – Essai uniaxial : Profil de convergence à partir du tirage aléatoire L’évolution de la distribution de l’indicateur d’endommagement (figure 6.12) fait ici
appa-Chapitre 6. Application à un problème de traction unidimensionnel 73 raitre un changement de mode de localisation, passant d’un type "mou dur mou dur -mou" à un type "dur - mou - dur". Ce changement de mode se traduit dans la courbe globale par un changement de pente et par des difficultés de convergence (figure 6.10, incrément de chargement correspond au nombre total d’itérations entre 70 et 100). Une convergence normale est retrouvée une fois que le nouveau mode de localisation est trouvé.
0 0.2
0.4 0.6
0.8
1 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1
Evolution x(m)
Indicateur
0 0.2
0.4 0.6
0.8
1 9 10 11 12 13 14 15
0 1
Evolution x(m)
Indicateur
Figure 6.12 – Essai uniaxial : Évolution de la distribution de l’indicateur d’endommagement à partir du tirage aléatoire
Chapitre 6. Application à un problème de traction unidimensionnel 74