ANN´EE UNIVERSITAIRE 2010/2011 Session 1 d’Automne
Parcours : Math´ematiques et Informatique MHT53 UE MHT531 : Algorithmique alg´ebrique 1
Responsable : M. Jean-Paul Cerri Date : 13/12/2010. Dur´ee : 1h30.
Documents autoris´es : notes de cours.
(le sujet comporte 2 pages)
Exercice 1. Soitpun nombre premier et soitnun entier strictement positif.
L’objectif est de calculer
S = X
x∈Z/pZ
xn.
1. Que vautS lorsque p−1 divise n ?
2. On suppose maintenant quep−1 ne divise pas n. On note r le reste de la division euclidienne de n par p−1.
2.a. Montrer qu’il existe a ∈Z/pZ, a6= 0, tel que ar−16= 0.
2.b. Montrer que φ: x7→ax est une bijection deZ/pZ dans lui-mˆeme.
2.c. En d´eduire que
S=ar X
x∈Z/pZ
xn
et calculer S.
3. Retrouver directement ce r´esultat en utilisant le fait que (Z/pZ)∗ est cyclique.
Exercice 2. On d´esire r´esoudre dansC∗4 le syst`eme
(S1)
x+y+z+t = 0
1
x +y1 +1z + 1t = 0 x2+y2+z2+t2 = 10 x4+y4+z4+t4 = 26.
1. Montrer que (x, y, z, t) est solution de (S1) si et seulement six, y, z et t sont les racines d’un polynˆome de degr´e 4 `a pr´eciser.
2. Trouver toutes les solutions du syst`eme (S1).
Exercice 3. Soient α, β ∈C, respectivement racines des polynˆomes P etQ appartenant `a Z[X].
1. Montrer que α+β est racine du polynˆome
R(Y) = ResX P(X), Q(Y −X) . 2. En d´eduire que α+β annule aussi un polynˆome deZ[X].
3. Trouver un polynˆome deZ[X] annulant 31/2+ 51/3.
