FACULTE DES SCIENCES Departement de Mathematiques et Informatique SMAI Semestre 2 Algebre 2 Contr^ol Final Annee 2009/2010 Duree 3 heures

FACULTE DES SCIENCES Departement de Mathematiques

et Informatique

SMAI Semestre 2 Algebre 2 Contr^ol Final Annee 2009/2010

Duree 3 heures Session ordinaire du printemps 2010

Les Problemes I, II , III, IV et V sont independants Solution

I Decomposer en elements simples. dans R(X) la fraction : F = X⁵+ 1

X(X²+ 1)² Reponse :

F = Q + a

X + b + cX

X² + 1 + d + eX (X²+ 1)²

Q quotient de la division euclidienne de X⁵+ 1 par X(X²+ 1)² = X⁵+ : : :, soit Q = 1

a = XF jX=0 = 1

On pose h = X²+ 1 ! h²F = X⁵+ 1

X = X(h 1)²+ 1

X = X( 2h + 1) + 1 + O(h²) X

h²F = X²( h + 1) + X + O(h²)

X² = (h 1)( 2h + 1) + X + O(h²)

h 1 = 3h 1 + X + O(h²) h 1

X 1 + 3h 1 + h

X 1 + (1 X)h 1 X (2 + X)h (2 + X)h

. . .

D'ou

F = 1 X h²

X + 2 h + : : : Donc

F = 1 + 1

X + 1 X

(X²+ 1)²

X + 2 X² + 1 Autre methode : (Par l'identite de Besout)

On cherche U; V 2 R [X] tel que UX + V (X² + 1) = 1 ! U = X et V = 1, ecrivons

F = b + cX

X²+ 1 + d + eX

(X²+ 1)² + : : :

On a (X² + 1)²F = A=Q A = X⁵ + 1 Q = X. Alors d + eX reste de UA = U(X⁵+ 1) = X⁶ X par X²+ 1 ! d + eX = 1 X

On a A (d+eX)Q = X⁵+1 (d+eX)X = (X²+1)(X³ X +1) = (X²+1)A2 ! b + cX = reste de UA₂ = U(X³ X + 1) = X⁴+ X² X par X²+ 1 ! b + cX =

X 2

II On considere dans l'espace vectoriel R³ le systeme :

S = ((1; 1; 1); (1; 0; 1); (3; 2; 1); (3; 1; 1)) 1 Donner le rang de S (Justier votre reponse)

Reponse : Methode 1 : On resoud le systeme lineaire :

x₁(1; 1; 1) + x₂(1; 0; 1) + x₃(3; 2; 1) + x₄(3; 1; 1) = 0

() 8<

:

x1+ x2+ 3x3+ 3x4 = 0 x₁+ 2x₃+ x₄ = 0

x1+ x2 x3+ x4 = 0

() 8<

:

x₁ = x₂ 3x₃ 3x₄ (1) ( x2 3x3 3x4) + 2x3+ x4 = 0

( x2 3x3 3x4) + x2 x3 + x4 = 0

() 8<

:

x1 = x2 3x3 3x4 (1) x₂ x₃ 2x₄) = 0

2x2+ 2x3+ 4x4 = 0

() 8<

:

x₁ = x₂ 3x₃ 3x₄ (1) x2 = x3 2x4 (2) 2( x₃ 2x₄) + 2x₃+ 4x₄ = 0

() 8<

:

x₁ = x₂ 3x₃ 3x₄ (1) x2 = x3 2x4 (2) 0 = 0

Deux inconnues eliminees ! rang(S ) = 2

x1; x2 inconnues eliminees ! ((1; 1; 1); (1; 0; 1)) base de vect(S )

S = f( 2x₃ x₄; x₃ 2x₄; x₃; x₄) [ x₃; x₄ 2 Rg

v3 v4

x₁ = 2x₃ x₄ x2 = x3 2x4

En lisant verticalement ce tableau !

v₃ = 2v₁+ v₂

v₄ = v₁ + 2v₂

Autre methode : (Par le theoreme de la base incomplete)

On a (v1; v2) libre (car non proportionnels), et (v1; v2; v3) lie car ;

1 1 3 1 0 2 1 1 1

=

1 1 3 1 0 2 0 1 1

=

1 1 3

0 1 1

0 1 1

= 0 Donc v₃ 2 vect(v₁; v₂)

et on a (v1; v2; ; v4) lie car :

1 1 3 1 0 1 1 1 1

=

1 1 3 1 0 1 0 1 2

=

1 1 3

0 1 2

0 1 2

= 0 Donc v₄ 2 vect(v₁; v₂)

Donc (v1; v2) base de vect(S ) et par suite rang(S ) = 2

Autre methode : Soit MB(S ) la matrice de S dans la base canonique de R³ M_B(S ) =

0

@ 1 1 3 3

1 0 2 1 1 1 1 1

1 A

On ramene MB(S ) a une matrice echelonnee par des operations elementaires : 0

@ 1 1 3 3

1 0 2 1 1 1 1 1

1 A

0

@ 1 1 3 3 1 0 2 1 0 1 1 2

1 A

0

@ 1 1 3 3

0 1 1 2

0 1 1 2

1 A

0

@ 1 1 3 3

0 1 1 2

0 0 0 0

1 A

Donc rang(S ) = 2 2 Donner une base de vect(S )

Reponse : La premiere et la deuxieme metode ci-dessus donne (v1; v2) comme base de vect(S ). On peut aussi verier que comme le rang est 2, tous les choix de deux parmis v1; v2; v3; v4 donne une base de vect(S ) .

3 Donner la decomposition des autres elements de S dans la base ci-dessus.

Reponse : Selon la base choisie on trouve : v3 = 2v1+ v2

v₄ = v₁+ 2v₂ v1 = 2=3v3 1=3v4

v2 = 1=3=v3+ 2=3v4

v2 = 2v1+ v3

v4 = 3v1+ 2v3

v₂ = 1=2v₁+ 1=2v₄ v3 = 3=2v1+ 1=2v4

v₁ = 2v₂+ v₄ v3 = 3v2+ 2v4

v₁ = 1=2v₂+ 1=2v₃ v4 = 3=2v2+ 1=2v3

III Soit E un espace vectoriel de dimension ni. Soit f 2 L (E) un endomorphisme de E.

1 Montrer que Im(f f) Im(f)

Reponse : Soit y 2 Im(f f), y = f f(x) x 2 E, donc y = f(f(x)), donc y = f(x⁰) x⁰ 2 E, donc y 2 Im(f)

2 Montrer que Ker(f) Ker(f f)

Reponse : Soit x 2 Ker(f), donc f(x) = 0, donc f(f(x)) = f(0) = 0, donc f f(x) = 0, donc x 2 Ker(f f)

On suppose que

E = Ker(f) + Im(f) 3 Montrer que E = Ker(f) Im(f)

Reponse : On a dim(Ker(f)+Im(f)) = dim(E) = dim(Ker(f))+dim(Im(f)) (par le theoreme du rang). D'apres une caracteristisation des sommes directes (cf cours), si F₁; F₂; : : : ; F_ksont des sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension nie :

dim(F₁+ F₂+ : : : + F_k) =X

i

dim(F_i) =) F₁+ F₂+ : : : + F_k directe

on en deduit que E = Ker(f) Im(f)

4 Soit x 2 Ker(f f), montrer que f(x) 2 Ker(f) \ Im(f)

Reponse : x 2 Ker(f f) donc f(f(x)) = 0, donc f(x) 2 Ker(f), par denition de Im(f) on a f(x) 2 Im(f), donc f(x) 2 Ker(f) \ Im(f) 5 En deduire que Ker(f) = Ker(f f)

Reponse : On a montrer que Ker(f) Ker(f f), par la question precedente si x 2 Ker(f f) on a f(x) 2 Ker(f)\Im(f), or la somme Ker(f)+Im(f) est directe, donc Ker(f) \ Im(f) = f0g, donc f(x) = 0, donc x 2 Ker(f), donc Ker(f f) Ker(f), nalement on a Ker(f) Ker(f f) et Ker(f f) Ker(f), donc Ker(f f) = Ker(f)

6 Montrer que Im(f) = Im(f f)

Reponse : On a montrer que Im(f f) Im(f) , on a dim(Im(f f)) = dim(E) dim(ker(f f)), par la question precedente Ker(f) = Ker(f f), donc dim(Im(f f)) = dim(E) dim(ker(f)) = dim(Im(f)), on a donc Im(f f) Im(f) et dim(Im(f f)) = dim(Im(f)), comme Im(f) est de dimension nie, on en deduit que ,Im(f f) = Im(f)

7 Inversement si Im(f) = Im(f f) montrer que E = Ker(f) + Im(f)

Reponse : Supposons Im(f) = Im(f f). Soit x 2 E, on f(x) 2 Im(f), donc f(x) 2 Im(f f), donc il existe x⁰ 2 E tel que f(x) = f(f(x⁰)), c'est-a- dire :f(x) f(f(x⁰)) = 0, donc f(x f(x⁰)) = 0, donc x f(x⁰) 2 Ker(f), posons x⁰⁰ = x f(x⁰), on a x = x⁰⁰+ f(x⁰) et x⁰⁰2 Ker(f) et f(x⁰) 2 Im(f), donx x 2 Ker(f) + Im(f), donc E = Ker(f) + Im(f)

IV Soit f : R³ ! R² (x; y; z) ! (2x + y + z; x + 2y + z) 1 Montrer que f est lineaire

2 Ecrire la matrice de f dans la bases (canoniques) B = ((1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)) et B⁰ = ((1; 0); (0; 1))

Reponse :

MBB⁰(f) =

2 1 1 1 2 1

3 Soit B2 = ((1; 0; 0); (1; 1; 0); (1; 1; 1)). Montrer que B2 est une base de R³ Reponse : B₂ est libre car :

1 1 1 0 1 1 0 0 1

= 1 6= 0

Comme c'est un systeme de trois vecteurs de R³, ceci sut pour qu'il soit une

base

4 Ecrire la matrice de f dans les bases B2 et B⁰ Reponse :

MB2B⁰(f) =

2 3 4 1 3 4

5 Donner la matrice de passage de B a B₂

Reponse :

P_BB2 = 0

@ 1 1 1 0 1 1 0 0 1

1

A

6 Verier la formule de changement de base entre MBB⁰(f) et MB2B⁰(f) Reponse :

MB2B⁰(f) = MBB⁰(f)PBB2

2 3 4 1 3 4

=

2 1 1 1 2 1

0@ 1 1 1 0 1 1 0 0 1

1

A

V Soit dans M3(R) la matrice :

0

@ 2 1 1 1 2 1 1 1 2

1 A

1 Justier que le polyn^ome caracteristique de A est PA= (X 4)(X 1)² Reponse :

PA=

2 X 1 1

1 2 X 1

1 1 2 X

=

4 X 1 1

4 X 2 X 1

4 X 1 2 X

= (4 X)

1 1 1

1 2 X 1

1 1 2 X

= (4 X)

1 1 1

0 1 X 0

1 1 2 X

= (4 X)

1 1 1

0 1 X 0

0 0 1 X

= (4 X)(1 X)² ou encore :

PA= X³+ tr(A)X² 2X + det(A) tr(A) = 2 + 2 + 2 = 6

₂ = 2 1

1 2 +

2 1 1 2

+ 2 1

1 2

= 3 + 3 + 3 = 9

det(A) =

2 1 1 1 2 1 1 1 2

=

2 1 1 1 2 1 0 1 1

=

0 3 1

1 2 1

0 1 1

= 4 Donc

PA= X³+ 6X² 9X + 4 1 est racine de PA

PA= (X 1)( X² 3X + 4) = (X 1)(X 1)(4 X) 2 Donner les valeurs propres de A

Reponse : sp(A) = f1; 4g 3 Donner les vecteurs propres de A

Reponse :

Ker(A 4I3) = vect 0

@ 1 11

1 A

Ker(A I3) = vect 0

@ 0

@ 1 01

1 A ;

0

@ 1 01

1 A

1

A

4 Justier que A est diagonalisable.

Reponse : PAest scinde et pour chaque valeur propre de A on a dim(Ker(A In)) = m

5 Donner une matrice P 2 M3(R) inversible et une matrice D 2 M3(R) diagonale tel que P ¹AP = D

Reponse :

P = 0

@ 1 1 1

1 1 0

1 0 1

1

A D =

0

@ 4 0 0 0 1 0 0 0 1

1 A