Exercice 1 : Quelques limites pour s’´echauffer (20 minutes) (41/2 points) Calculer les limites des suites suivantes, d´efinies pour tout entiern, lorsqu’elles existent : 1

TS6 DS 1 28 septembre 2018 Dur´ee 115 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : Quelques limites pour s’´echauffer (20 minutes) (4¹/₂ points) Calculer les limites des suites suivantes, d´efinies pour tout entiern, lorsqu’elles existent :

1. u_n= n²−3n+ 5 2n³−5n²+ 2

2. vn=n−(−1)ⁿ 3. wn= 5ⁿ−2ⁿ

Solution: R´edaction `a voir dans le cours.

1. lim

n→+∞un= 0 2. lim

n→+∞v_n= +∞ (Comparaison) 3. lim

n→+∞w_n= +∞ (factorisation par 5ⁿ)

Exercice 2 : Une jolie r´ecurrence (10 minutes) (2 points)

Montrer par r´ecurrence que pour tout entier n,

n

X

k=0

k(k+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2)

3 .

Solution: Pour tout entiern, on appelleP(n) :

n

X

k=0

k(k+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2)

3 ..

Initialisation : Pour n= 0,P0

k=0k(k+ 1) = 0 et 0×1×2 3 = 0.

Donc P(0) est vraie.

H´er´edit´e : Soitn un entier tel queP(n) est vraie. MontronsP(n+ 1).

n+1

X

k=0

=

n

X

k=0

k(k+ 1) + (n+ 1)(n+ 2).

Donc

n+1

X

k=0

= n(n+ 1)(n+ 2)

3 +3(n+ 1)(n+ 2)

3 .

Donc

n+1

X

k=0

= n(n+ 1)(n+ 2) + 3(n+ 1)(n+ 2)

3 .

Donc

n+1

X

k=0

= (n+ 3)(n+ 1)(n+ 2)

3 .

Donc P(n+ 1) est vraie.

Conclusion : Pour tout entier n,P(n) est vraie.

Exercice 3 : Une premi`ere ´etude de suite (30 minutes) (4 points) On consid`ere la suite (un) d´efinie par

u₀ = 0 et, pour tout entier naturel n, u_n+1=u_n+ 2n+ 2.

1. Calculeru1 etu2.

2. On d´efinit, pour tout entier naturel n, la suite (v_n) par :v_n=u_n+1−u_n.

(a) Exprimer vn en fonction de l’entier natureln. Quelle est la nature de la suite (vn) ? (b) On d´efinit, pour tout entier naturel n, Sn=

n

X

k=0

vk=v0+v1+· · ·+vn. D´emontrer que, pour tout entier natureln, S_n= (n+ 1)(n+ 2).

TS 6 DS 1 Page 2 sur 4 (c) D´emontrer que, pour tout entier natureln, S_n=u_n+1−u₀, puis exprimer u_n en fonction de n.

Solution:

1. u₁ =u₀= 2×0 + 2 = 2 et u₂ =u₁+ 2×1 + 2 = 6.

2. On d´efinit, pour tout entier naturel n, la suite (v_n) par :v_n=u_n+1−u_n= 2n+ 2.

(a) v_n+1−v_n= 2(n+ 1) + 2−2n−2 = 2. Donc (v_n) est une suite arithm´etique de raison 2 et de premier termev0 = 2

(b) On d´efinit, pour tout entier naturel n, S_n=

n

X

k=0

v_k=v₀+v₁+· · ·+v_n.

S_n=

n

X

k=0

v_k=v₀+v₁+· · ·+v_n= (n+1)v₀+n(n+ 1)

2 ×r= 2(n+1)+n(n+1) = (n+1)(n+2) (c) D´emontrer que, pour tout entier natureln, Sn = un+1−u0, puis exprimer un en fonction

de n.

Sn= (u1−u0) + (u2−

u1) +· · ·+ ( un−

un−1) + (un+1−

un) =un+1−u0

Sn−1 =un−u0 ⇐⇒un=Sn−1+u0 =n(n+ 1) + 0 =n(n+ 1)

Exercice 4 : Un probl`eme un peu plus long (40 minutes) (6<sup>1</sup>/<sub>2</sub> points) On consid`ere deux suites (un) et (vn) :

• la suite (un) d´efinie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n: u_n+1= 2u_n−n+ 3 ;

• la suite (v_n) d´efinie, pour tout entier naturel n, parv_n= 2ⁿ. Partie A : ´Etude de la suite (un)

1. D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier naturel n, on a u_n= 3×2ⁿ+n−2.

2. D´eterminer la limite de la suite (un).

3. Compl´eter l’algorithme suivant sur l’´enonc´e pour d´eterminer le rang du premier terme de la suite sup´erieur `a 1 million.

n←0 u←1 Tant que . . .

n←. . . u←. . . Fin de Tant que Solution:

1. Pour tout entier natureln, on nommeP(n) : u_n= 3×2ⁿ+n−2. Initialisation : Pour n= 0,u0 = 1 et 3×2⁰+ 0−2 = 1.

DoncP(0) est vraie.

H´er´edit´e : Soit nun entier tel que P(n) est vraie montronsP(n+ 1).

P(n) est vraie doncun= 3×2ⁿ+n−2.

Doncu_n+1 = 2×(3×2ⁿ+n−2)−n+ 3 = 3×2ⁿ⁺¹+ 2n−4−n+ 3 Doncu_n+1 = 3×2ⁿ⁺¹+n−1.

TS 6 DS 1 Page 3 sur 4 DoncP(n+ 1) est vraie.

Conclusion : Pour tout entiern,P(n) est vraie.

2. 2>1 donc lim

n→+∞2ⁿ= +∞. Par somme lim

n→+∞un= +∞

3.

n←0 u←1

Tant queu <10⁶ n←n+ 1

u←2u−(n−1) + 3 Fin de Tant que

Partie B : ´Etude de la suite un

v_n

1. D´emontrer que la suite u_n

vn

est d´ecroissante `a partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 4, on a : 0< n 2ⁿ 6 1

n. D´eterminer la limite de la suite

un

v_n

.

Solution:

1. Pour tout entiern, un

v_n = 3 +n−2 2ⁿ . un+1

vn+1

−un

vn

=

3 +n−1 2ⁿ⁺¹

−

3 +n−2 2ⁿ

= n−1−2(n−2)

2ⁿ⁺¹ = −n+ 3

2ⁿ⁺¹ est du signe de−n+ 3.

Donc un+1

v_n+1 − un

v_n <0 sin >3.

La suite est donc d´ecroissante `a partir du rang 3.

2. D’apr`es l’encadrement donn´e, pour tout entiern>4, 3−₂n−1¹ <3 + n 2ⁿ − 2

2ⁿ 63 +_n¹ −₂²n. Or lim

n→+∞

1

n = 0 et lim

n→+∞

2

2ⁿ = 0, donc d’apr`es le th´eor`eme des gendarmes, on a lim

n→+∞

u_n vn

= 3

Exercice 5 : Prise d’initiative (15 minutes) (3 points)

Dans cette exercice, toute trace de rechercher est valoris´ee.

On h´esitera pas `a conjecturer le r´esultat demand´e mais aussi `a indiquer r´esultat pertinent On consid`ere la suite (un) d´efinie par :







u0 = 1 et, pour tout entier natureln, un+1 =

n+ 1 2n+ 4

un.

On d´efinit la suite (v_n) par : pour tout entier naturel n, v_n= (n+ 1)u_n.

La feuille de calcul ci-contre pr´esente les valeurs des premiers termes des suites (un) et (vn), arrondies au cent-milli`eme.

D´eterminer la limite de la suite (u_n).

TS 6 DS 1 Page 4 sur 4

A B C

1 n u_n v_n

2 0 1,000 00 1,000 00

3 1 0,250 00 0,500 00

4 2 0,083 33 0,250 00

5 3 0,031 25 0,125 00

6 4 0,012 50 0,062 50

7 5 0,005 21 0,031 25

8 6 0,002 23 0,015 63

9 7 0,000 98 0,007 81

10 8 0,000 43 0,003 91

11 9 0,000 20 0,001 95

Solution:

On conjecture d’abord que la suite tend vers 0.

On observe que la suite (vn) semble g´eom´etrique de raison ¹₂. Montrons-le !

v_n+1= (n+ 2)u_n+1 = (n+ 2)

n+ 1 2n+ 4

u_n= (n+ 1)u_n

2 = ¹₂v_n.

Donc (vn) est bien g´eom´etrique de raison ¹₂ et de premier termev0 =u0= 1.

Donc pour tout entier natureln,v_n= ¹₂ⁿ etu_n=

1 2 n

n+ 1. 0< ¹₂ <1 donc lim

n→+∞

1 2

n= 0 donc par quotient lim

n→+∞u_n= 0.