Dvt 227 Differentielle de la composee

227 Fonctions de plusieurs variables: dvées partielles, différentiabilité, f° composées, f° C

¹

, exemples.

Composition Monier 4 p.230

Prop 3 Prop 3Prop 3

Prop 3: Soient E, F, G des ℝ-evn, U⊂E=ℝⁿ, V⊂F=ℝ^p deux ouverts, et deux applications f U: ⊂E→F, g V: ⊂F→G=^q vérifiant f U

( )

⊂V . Soit a∊U.

Si f est différentiable en a, et g différentiable en f a

( )

, alors g f U: →Gest différentiable en a et:

( )

_{a f a( ) a}

d gf =dg df . (M4 p230).

Attention, Monier fait la démo pour des fonctions de classe C¹, il faut donc l'adapter.

I. Démonstration.

A. Définition des voisinages de travail.

Posons U0 =

{

h∈ⁿ/a+h∈U

}

(voisinage de a dans U) et V0 =

{

k∈^p / f a

( )

+k∈V

}

(voisinage de f(a) dans V)

B. Traduction de la différentiabilité de f et g.

f est différentiable en a, donc (pour traduire le o

(

h

)

) : Il existe ε₁:U₀ →^ptq ₁

( )

0

lim 0

h

ε h

→

= , et:

( ) ( ) ( )

( )

0

,

_a

.

1

U

o h

h U f a h f a df h h ε h

∈

 

∀ ∈  +  = + +

 

gest différentiable en a, donc: Il existe ε₂:V₀ →^qtq ₂

( )

0

lim 0

k

ε k

→

= , et:

( ) ( )

_{( )}

( ) ( )

( )

0

,

_{f a}

.

2

V o k

k V g f a k g f a dg k k ε k

∈

 

 

∀ ∈ + = + +

 

 

(*)

C. Appliquons g à l'égalité qui définit la différentielle de f en a.

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

0

1

1

(1)

,

.

.

a U

o h

a

U f U V o h

f U V

h U

f a h f a df h h h

g f a h g f a df h h h

ε

ε

∈

∈ ∈ ⊂

∈ ⊂

∀ ∈

 

+ = + +

 

 

 

 

 

 

+ = + +

   

   

 

 

où (1) est égal à f(a+h) – f(a), qui appartient à V0. En effet : f(a)+[f(a+h)-f(a)] = f(a+h) ∊ f(U) ⊂ V.

On a donc bien le droit d'écrire l'égalité précédente.

Il vient, en appliquant (*):

( )

_{( )}

( ( )

1

( ) ) ( )

1

( )

2

( ( )

1

( ) )

( )

_{f a a a}

.

_a

gof a + h = g f a + dg df h + h ε h + df h + h ε h ε df h + h ε h

Puis, par linéarité de

dg

_{f a( )}:

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( )

1 1 2 1

( )

_{f a a f a a}

.

_a

L h h

gof a h g f a dg df h h dg h df h h h df h h h

α

ε ε ε ε

+ = + + + + +

On compose ici des DL d'ordre 1

D. remarquons que l'on a bien une partie linéaire.

Posant

L h U : ∈

0

dg

_{f a( )}

df

_a

( ) h ∈

^q

On a bien L linéaire (par composition d'appliactions linéaires).

227 F° de plusieurs vbles: dvées partielles, diff

^té

, f° composées, f° C

¹

, exemples.

Composition Monier 4 p.230

E. Montrons que αααα(h) est une application convenable.

Considérons, pour tout h∊U0,

α ( ) h = h dg

_{f a( )}

( ε

1

( ) h ) + df

_a

( ) h + h ε

1

( ) h . ε

2

( df

_a

( ) h + h ε

1

( ) h )

. On a: dfa∈L

(

^{n, p}

)

et dgf a_{( )}∈L

(

^p,q

)

. Or, en dimension finie, toute application linéaire est continue.

Donc (Cf. Caractérisation des applications linéaires continues):

( )( )

tq: ⁿ, _a .

A ⁺ h df h A h

∃ ∈ ∀ ∈ ≤ , et:

(

( )

) ^{( )}

tq: ^p, .

f a

B ⁺ k dg k A k

∃ ∈ ∀ ∈ ≤

D'où:

dg

_{f a( )}

( ε

1

( ) h ) ≤ B . ε

1

( ) h

,

et:

df

_a

( ) h + h ε

1

( ) h ≤ df

_a

( ) h + h ε

1

( ) h ≤ A h + h . ε

1

( ) h ≤ h . ( A + ε

1

( ) h )

. On a donc:

( )

_{( )}

( ( ) )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 1 2 1

1 1

.. . .. .

a

.

a

f a

B h h A h

h h dg h df h h h df h h h

ε ε

α ε ε ε ε

 

 

 

≤ ≤ +

= + + +

^.

D'autre part, comme on a:

( ) ( ) ( )

0

1 1

0

2 2

0

lim 0 (car est linéaire en dim. finie donc continue en 0) lim 0 (par définition de et produit par qui est cont. en 0) lim 0 (par définition de )

a a

h

h

k

df h df

h h h

k

ε ε

ε ε

→

→

→

=

=

=

 

 

 

,

par somme puis composition, on a bien: ₂

( ( )

₁

( ) )

0

lim _a 0

h

df h h h

ε ε

→

+ = .

Ce qui montre que α est bien de la forme α

( )

h = h .ε

( )

h , avec ε :U₀ →^q tel que

( )

0

lim 0

h

ε h

→

= .

Finalement, on a, pour tou h∊U0:

( ) ( ) ( )

( )

( ) .

o h

gof a + h = g f a + L h + h ε h

, et en appliquant la définition de la différentiabilité, on conclut que:

g f

est différentiable en a, et

d g ( f )

a

= dg

f a_{( )}

df

a