POLYNOMES - Partie 2

Gasmi.B 2019/2020

POLYNOMES - Partie 2

1 Fonction polynôme

1.1 Fonction polynôme de degré n

Définition 1

On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction P définie sur R de la forme : P(x) =a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a_px^p+· · ·+a₂x² +a₁x+a₀

ä a₀, a₁, . . ., an sont appelés coefficients deP ä Le termea_px^p un monôme de degré p ä n=deg(P)

Exemple 1

Ô La fonctionP définie par P(x) = 7x⁶−5x⁴+ 3x−11 est une fonction polynôme de degré 6 Ô La fonction affineax+b aveca6= 0 est une fonction polynôme de degré 1

Ô La fonction constantekavec k6= 0 est une fonction polynôme de degré 0 Ô La fonctionQdéfinie par : Q(x) =x³+x+ 1

x n’est pas une fonction polynôme Soient P et Q des fonctions polynômes non nulles, alors :

© deg(P Q) =deg(P) +deg(Q)

© deg(P +Q)≤max[deg(P) ; deg(Q) ]

Soient P et Q des fonctions polynômes non nulles, alors :

© deg(P Q) =deg(P) +deg(Q)

© deg(P +Q)≤max[deg(P) ; deg(Q) ] Remarque 1

L’inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s’annuler

1.2 Egalité de deux polynômes

Théorème 1

Soient P et Qdeux fonctions polynômes, P =Qsignifie que : ã deg(P) =deg(Q)

ã les coefficients des termes de même degré de P et Qsont égaux

1

1.3 Racine d’un polynôme Gasmi.B 2019/2020

Cas particulier :P = 0 est le polynôme nul, ce qui signifie que tous ses coefficients sont nuls Exemple 2

Ô Les deux polynômesQ(x) = (x²+√

2x+ 1)(x²−√

2x+ 1)et P(x) =x⁴+ 1sont égaux : Q(x) = (x²+√

2x+ 1)(x²−√

2x+ 1)

=x⁴−√

2x³+x²+√

2x³−2x²+√

2x+x²−√ 2x+ 1

=x⁴+ 1 Q(x) =P(x)

Ô Les polynômes P(x) = 2x²−3x+ 4 et R(x) =ax² +bx+c sont égaux pour a = 2 b =−3 c= 4

1.3 Racine d’un polynôme

Définition 2

On appelle racine d’une fonction polynôme P toute solution x₀ de l’équation P(x) = 0

Exemple 3

Ô Les racines de la fonction polynômeP définie sur Rpar : P(x) = (x−1)(x+ 3)(x−2)sont −3,1 et 2

Ô Les fonctions polynômes du1^er degréax+badmettent toutes une seule racinex0=−b a

Ô Certaines fonctions polynômes n’ont aucune racine réelle. Par exemple x²+ 1 qui est strictement positif

Remarque 2

Une fonction polynôme sans racine réelle est nécessairement de signe constant

Théorème 2

Une fonction polynôme P de degré n à coefficients réels possède au plus n racines réelles

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