SUPPORT DE L’ANNÉE Vacances de la Pâques
S UPPORT DE L ’ ANNÉE - Partie 2 : R OBUGLASS
1 Présentation du système - rappel (Partie 1)
2 Vérification des exigences Id 1.2.1 et Id 1.2.2 relatives au temps de mise en œuvre et à la vitesse d’impact de l’outil sur la surface vitrée
Q - 1:Écrire la fermeture géométrique du cycle CABC sous forme vectorielle en fonction de a, b, c, d etλ.
AC# »+CB# »=AB# » ⇒ a.Y#»p−b.Z#»p+c.#»Y3+d.#»Z3=λ(t).#»Y1
Q - 2:Dessiner les figures de changement de base planes correspondant aux rotations d’anglesθ1etθ3.
−
→yp
−
→zp
−
→x1 −→xp
−
→y1
−
→z1
θ1 θ1
−
→yp
−
→zp
−
→x3 →−xp
−
→y3
−
→z3
θ3 θ3
−
→y1
−
→z1
−
→x3 →− x1
−
→y3
−
→z3
θ3−θ1
θ3−θ1
Q - 3:Projeter l’expression obtenue précédemment dans la baseBp.
a+c.cos(θ3)−d.sin(θ3) = λ(t).cos(θ1)
−b+c.sin(θ3)+d.cos(θ3) = λ(t).sin(θ1)
Q - 4:On considère que la brosse est en contact avec la surface vitrée pourθ3 =0. Pour cette valeur deθ3, en déduire l’expression deλen fonction uniquement des longueurs a, b, c et d.
λ2 = a2+b2+c2+d2+2.a.(c.cos(θ3)−d.sin(θ3))−2.b.(c.sin(θ3)+d.cos(θ3))
θ3=0 ⇒ λ = p
a2+b2+c2+d2+2.a.c−2.b.d= p
(a+c)2+(b−d)2
Q - 5:Effectuer l’application numérique en considérant la longueur(d−b)négligeable devant(a+c).
sid−ba+c ⇒ λ ≈ a+c=360+40=400 mm sinonλ = p
(360+40)2+(120−130)2≈400,12 mm
Q - 6 :En position haute, la longueur λ vaut 380 mm. En déduire la course totale du vérin entre les deux positions extrêmes. Conclure par rapport à l’exigence de temps de mise en œuvre.
c=400−380=20 mm. Or ˙λ=4 mm/s. Le temps de mise en œuvre est donc de 5 s.
Le temps de mise en œuvre ne doit pas dépasser 6 s. Le critère est donc respecté.
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Q - 7:Déterminer les vecteurs vitesse de rotationΩ#»(1/5)etΩ#»(3/5). Ω#»(1/5) =Ω#»(1/p)+
Ω#»(p/5)=θ˙1.#»
Xp et Ω#»(3/5) =Ω#»(3/p)+
Ω#»(p/5)=θ˙3.#»
Xp Q - 8:Donner l’expression du vecteur vitesse#»
V(I,4/5)et de sa projection sur #»
Z3.
#»V(I,4/5) = #»
V(I,4/3)+ #»
V(I,3/5)=#»
V(D,4/3)+# » ID∧
Ω#»(4/3)+
#»
V(C,3/5)+ # »
IC∧Ω#»(3/5) =(r4.#»
Zp−e.#»
Y3+ f.#»
Z3)∧θ˙3.#»
Xp
= (r4.#»
Yp+e.#»
Z3+ f.#»
Y3).θ˙3 ⇒ #»
V(I,4/5).#»
Z3 =(r4.sin(θ3)+e).θ˙3
Q - 9:Définir le mouvement du solide 2 par rapport au solide 1. En déduire l’expression du vecteur vitesse
#»V(B,2/1).
Le solide 2 est en translation de direction#»
Y1par rapport au solide 1.
#»V(B,2/1)= #»
V(B/1)−
#»
V(B/2)=
"
d dt
# » AB
#
1
=
"
d dt
λ(t).#»
Y1
#
1
=λ(t).˙ #»
Y1 Q - 10:Donner les expressions des vecteurs vitesse #»
V(B,1/5)et #»
V(B,3/5).
#»V(B,1/5) =
#»
V(A,1/5)+ # »
BA∧Ω#»(1/5) =−λ.#»
Y1∧θ˙1.#»
X1=θ˙1.λ.#»
Z1
#»V(B,3/5) =
#»
V(C,3/5)+ # »
BC∧Ω#»(3/5) =−(c.#»
Y3+d.#»
Z3)∧θ˙3.#»
X3=θ˙3.(c.#»
Z3−d.#»
Y3)
Q - 11:Écrire la relation de composition des vitesses en B. Projeter cette relation vectorielle dans la baseB3
de manière à déterminer deux relations liantλ,λ,˙ θ1,θ3,θ˙1etθ˙3.
#»V(B,2/1)+ #»
V(B,1/5)=
#»
V(B,2/3)+ #»
V(B,3/5) ⇒ λ(t).˙ #»
Y1+θ˙1.λ.#»
Z1=θ˙3.(c.#»
Z3−d.#»
Y3)
λ.˙ cos(θ3−θ1)+θ˙1.λ.sin(θ3−θ1) = −d.θ˙3
−λ.˙ sin(θ3−θ1)+θ˙1.λ.cos(θ3−θ1) = c.θ˙3
Q - 12:Déterminer la valeur de la composante normale de la vitesse d’impact. Conclure par rapport à l’exi- gence de vitesse d’impact.
#»V(I,4/5) =(r4.sin(θ3)+e).θ˙3 =e.θ˙3=223×0,035=7,8 mm/s
La vitesse d’impact est bien trop grande. Il faut prévoir un amortisseur en fin de course du vérin.
3 Vérification de l’exigence Id 1.1.3 relative à l’adhérence en phase de changement de trajectoire
Q - 13:DéterminerΩ#»(5/0)en fonction de R et V0, puis les vitesses de A1et A2liées au porteur 5 par rapport à la surface vitrée 0 en fonction de V0, D, d, e et R.
V0.#»
Yp= #»
V(C,5/0)=#»
V(I50,5/0)+ # »
CI50∧Ω#»(5/0)=R.#»
Xp∧ω50.#»
Zp=−R.ω50.#»
Yp ⇒ Ω#»(5/0) =−V0 R.#»
Zp
#»V(A1,5/0) = #»
V(C,5/0)+ # »
A1C∧Ω#»(5/0) =V0.#»
Yp+(D.#»
Xp−(e+d).#»
Yp)∧ω50.#»
Zp
= (V0−D.ω50).#»
Yp−(e+d).ω50.#»
Xp=V0.
"
1+ D R
.#»
Yp+ e+d R .#»
Xp
#
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#»V(A2,5/0) = V#»(C,5/0)+A# »2C∧Ω#»(5/0) =V0.#»Yp+(−D.#»Xp−(e+d).#»Yp)∧ω50.#»Zp
= (V0+D.ω50).#»
Yp−(e+d).ω50.#»
Xp=V0.
"
1− D R
.#»
Yp+ e+d R .#»
Xp
#
Q - 14:Montrer que #»
V(A1,5/0) = #»
V(A0
1,5/0).
#»V(A1,5/0)= #»V(A0
1,5/0)+ # »
A1A01∧Ω#»(5/0)or (A1A01)kΩ#»(5/0) ⇒ # »
A1A01∧Ω#»(5/0)= #»
0 ⇒ #»V(A1,5/0) = #»V(A0
1,5/0)
Q - 15:Déterminer #»
V(A0
1,14/5) en fonction de la vitesse de rotation ω1 de la roue motrice 12 par rapport au
porteur 5 et de son rayon r. On aΩ#»(12/5) =−ω1.#»
Xpavecω1>0.
#»V(A0
1,14/5)=
#»
V(A0
1,14/12)+
#»
V(A0
1,12/11)+#»
V(A0
1,11/5)=#»
V(A1,12/5)+ # »
A01A1∧Ω#»(12/5)=r.#»
Zp∧(−ω1.#»
Xp)=−r.ω1.#»
Yp Q - 16:En déduire #»
V(A0
1,5/0)en fonction de #»
V(A0
1,14/0), de r et deω1.
#»V(A0
1,5/0)= #»
V(A0
1,14/0)− #»
V(A0
1,14/5)= #»
V(A0
1,14/0)+r.ω1.#»
Yp
Q - 17:Déterminer la norme de la vitesse de glissement #»
V(A0
1,14/0)en fonction de V0, d, e et R.
#»V(A0
1,14/0)= #»V(A0
1,14/5)+ #»V(A0
1,5/0)=−r.ω1.Y#»p+V#»(A1,5/0) =V0.
"
1+ D R
.Y#»p+e+d R .#»Xp
#
−r.ω1.Y#»p
⇒ ω1= V0 r .
1+ D R
et #»
V(A0
1,14/0)=V0.e+d R .#»
Xp ⇒
V#»(A0
1,14/0)
=V0.e+d R
Q - 18:Déduire de la question précédente, la valeur minimale du rayon de braquage minimum Rminqui satisfait l’exigence d’adhérence.
L’exigence relative à la vitesse de glissement maximale impose différentiel maximal de 20% par rapport à la vitesse nomi- nale. Ainsi :
e+d
R ≤0,2 ⇒ R≥ e+d
0,2 = 350+70
0,2 =2100 mm=2,1 m
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