EDO et Modélisation
INSA - 3BIM
Mercredi 27 janvier 2016 - Durée : 2h
Ceci est une épreuve individuelle. Seules la calculatrice et une feuille A4 recto-verso manuscrite originale sont autorisées pendant l’épreuve.
Sans préjuger des sanctions prises ultérieurement, toute tentative de copie pendant l’épreuve sera sanctionnée par la répartition des points de la plus mauvaise copie entre le copieur etle copié.
Vous veillerez par ailleurs à soigner vos graphiques.
Lisez bien l’énoncé jusqu’au bout, certaines questions sont indépendantes des précédentes.
1 Modélisation de la dynamique de deux populations en interaction (14 points)
John Beddington, en 1975, propose de modéliser la dynamique de deux populations en interaction avec le modèle suivant1 :
˙
x=rx−1+bx+cyaxy
˙
y=−my+e1+bx+cyaxy
On supposera que tous les paramètres du modèle sont strictement positifs et que a−rc >0.
1. De quelle interaction s’agit-il ? Justifier.
2. Montrez que les points d’équilibre sont (0,0) et (x∗, y∗). Montrez que y∗ = remx∗ et donnez l’expression dex∗. Précisez les conditions éventuelles sur les paramètres pour que(x∗, y∗) fasse sens biologiquement.
3. Déterminez la matrice jacobienne du système.
1. Beddington J. 1975. Mutual interference between parasites or predators and its effect on searching efficiency. J.
Anim. Ecol. 44 :331–340.
1
Bio-Informatique et Modélisation - INSA de Lyon
4. En déduire la nature du point d’équilibre (0,0).
5. Montrez que la matrice jacobienne au point d’équilibre(x∗, y∗) s’écrit : A∗ = 1
(1 +bx∗+cy∗)2
abx∗y∗ −ax∗(1 +bx∗) aey∗(1 +cy∗) −acex∗y∗
6. Montrez quedet(A∗) =a2ex∗y∗.
7. Calculez tr(A∗). Que pouvez-vous en conclure ?
On suppose désormais, et pour toutes les questions qui suivent, que b = ec.
8. Soit la fonctionH(x, y) = acln(1 +bx+cy)−mln(x)−rln(y).
Montrez que la fonctionH(x, y) est une intégrale première pour le modèle de Beddington.
9. En supposant que H(x, y) admet un extremum au point d’équilibre (x∗, y∗), que pouvez-vous conclure quant à la nature de(x∗, y∗) lorsqueb=ec?
10. En supposant que les conditions d’application du théorème de Poincaré-Andronov-Hopf sont réunies, que pouvez-vous en conclure ?
On choisit le plan de phase (x,y).
11. Déterminez les isoclines nulles verticales. Vous préciserez leurs équations et justifierez de leur courbe représentative dans le plan de phase.
12. Déterminez les isoclines nulles horizontales. Vous préciserez leurs équations et justifierez de leur courbe représentative dans le plan de phase.
13. Justifiez le sens des vecteurs vitesse.
14. Dessinez le portrait de phase avec quelques trajectoires bien choisies.
15. Pour une condition initiale (ε, ε) avec ε > 0 et proche de 0, représentez graphiquement les chroniquesx(t) ety(t).
Colle EDO I - Page 2/ 3 - 1ersemestre 2015/2016
Bio-Informatique et Modélisation - INSA de Lyon
2 Innovons ! (6 points)
On considère dans cet exercice le système dynamique défini par : x˙ =x−y−ax(x2+y2)
˙
y=x+y−ay(x2+y2) avec a∈R.
1. Commençons aveca= 0.
Précisez la nature du point d’équilibre.
Résoudre complètement le système pour la condition initiale (x0, y0).
2. Désormaisa6= 0.
Ré-écrire le système en coordonnées polaires.
3. Concluez quant à la possibilité de voir apparaître un cycle limite (précisez sa nature). Appuyez- vous sur des portraits de phase bien choisis.
4. Proposez un diagramme de bifurcation récapitulatif.
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