EDO et Modélisation

EDO et Modélisation

INSA - 3BIM

Lundi 13 janvier 2012 - Durée : 2h

Ceci est une épreuve individuelle. Seules la calculatrice et une feuille A4 recto-verso manuscrite originale sont autorisées pendant l’épreuve. Sans préjuger des sanctions prises ultérieurement, toute tentative de copie pendant l’épreuve sera sanctionnée par la répartition des points de la plus mauvaise copie entre le copieur etle copié.

Vous veillerez par ailleurs à soigner vos graphiques.

Lisez bien l’énoncé jusqu’au bout, certaines questions sont indépendantes des précédentes.

Exercice 1

On considère la fonction H(x, y) = ¹₂x²y.

1. Représenter sur le même graphique les courbes de niveau0,1,−1,2,−2de la fonctionH. En déduire l’allure de l’ensemble des courbes de niveau deH.

2. On considère le système différentiel suivant : x˙ =−x

˙ y= 2y

Montrer que la fonction H(x, y) est une intégrale première pour ce système. En déduire l’allure des solutions du système.

3. Retrouver ce même dessin en faisant une étude qualitative du système (isoclines, équilibres, flèches dans les différents secteurs).

4. Choisir un point (x0, y0) quelconque du premier quadrant (x0 >0, y0 >

0) et calculer la solution (x(t), y(t)) du système issue de ce point en résolvant explicitement le système. Préciser l’évolution au cours du temps que ce système prévoit s’il représente la dynamique de deux populations.

1

INSA de Lyon

Exercice 2

On considère le système suivant :

x˙ =αx−y−αx(x²+y²)

˙

y=x+αy−αy(x²+y²) avec α∈R.

1. Montrer que (0,0)est le seul point d’équilibre du système.

2. Déterminer la nature de(0,0)lorsque α >0 etα <0.

3. Que se passe-t-il lorsqueα = 0?

4. On considère α 6= 0. Passer le système en coordonnées polaires. Que pouvez-vous en déduire ? Justifier.

Exercice 3

On modélise la dynamique de deux populations en interaction avec le système d’équations suivant :

( x˙ =rx−_1+bx+cy^axy

˙

y=−my+e_1+bx+cy^axy avec a, b, c, e, r, m >0.

1. Donner les hypothèses biologiques sous-jacentes aux équations ci-dessus et discuter de leur réalisme biologique. Identifier la fonction réponse Φ(x, y). De quel type d’interaction s’agit-il ?

2. Déterminer les points d’équilibre du système. Préciser les conditions sur les paramètres pour assurerx^∗>0 ety^∗>0.

3. Calculer la matrice jacobienne du système. En déduire la nature de(0,0).

4. Montrer que A_(x^∗_,y^∗₎=

rbx^∗ 1+bx^∗+cy^∗

−m e

1+bx^∗ 1+bx^∗+cy^∗

er_1+bx^1+cy∗+cy^{∗ ∗} −m_1+bx^cy∗^∗+cy^∗

! . 5. Montrer que det(A_(x^∗_,y^∗₎)>0.

6. Calculer tr(A_(x^∗_,y^∗₎). Que pouvez-vous en déduire ? 7. On suppose que b=ec.

SoitH(x, y) =eax−mlnx+ay−rlny−bx−cy+ ln(bx+cy) Sans faire les calculs correspondants, expliquez comment vous montre- riez queH(x, y) est une intégrale première pour le système.

8. En admettant que H(x, y) est une intégrale première pour le système, expliquer quelle serait la démarche à suivre pour démontrer qu’il existe des centres autour de(x^∗, y^∗) lorsque b=ec.

- Page 2/ 3 -

INSA de Lyon

9. Enoncer dans le cas général les conditions d’application du théorème de Poincaré-Andronov-Hopf. En admettant qu’elles soient réunies pour le système considéré, de quelle type de bifurcation s’agit-il ?

10. Déterminer les isoclines horizontales et verticales. Justifier de leur posi- tion relative.

11. On suppose queb < ec. Dresser le portrait de phase, en justifiant le sens des vecteurs vitesse. Dessiner quelques trajectoires bien choisies.

12. Pour l’une des trajectoires précédentes que vous choisirez, donneren la justifiant l’allure des chroniques correspondantes.

- Page 3/ 3 -