Convergence et estimation (DS de l’année 2019-2020)

Convergence et estimation (DS de l’année 2019-2020)

Problème 1 (EDHEC 2012)

On désigne parλ, un réel strictement positif et on considère la fonctionf, définie sur R, par : f :x7→λ|x|e^{−λ x2}

1. a) Montrer quef est paire.

b) Établir que l’intégrale Z +∞

0

f(x) dxconverge et donner sa valeur.

c) Montrer que la fonction f peut être considérée comme densité d’une variable aléatoire X que l’on suppose, dans la suite, définie sur un certain espace probabilisé(Ω,A,P).

2. a) Justifier la convergence de l’intégrale Z +∞

0

x f(x) dx.

b) En déduire que la variable aléatoireX possède une espérance, notéeE(X), et donner sa valeur.

3. a) Montrer, grâce à une intégration par parties, que l’intégrale Z +∞

0

x²f(x)dxconverge et donner sa valeur.

b) En déduire que la variable aléatoireX possède une variance, notéeV(X), et donner sa valeur.

4. On pose Y = X² et on admet que Y est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l’espace probabilisé(Ω,A,P).

a) Donner l’expression de la fonction de répartition F_Y de la variable aléatoire Y à l’aide de la fonction de répartitionF_X de la variable aléatoireX.

b) Déterminer une densitéf_Y deY, puis vérifier queY suit la loi exponentielle de paramètreλ.

c) Retrouver alors sans calcul la valeur deV(X).

5. Soit U une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur[0,1[.

a) On poseW =−1

λ ln(1−U) et on admet que W est une variable aléatoire.

Déterminer la fonction de répartition deW et en déduire la loi suivie par la variable aléatoire W.

b) En déduire une fonction Scilabdont l’en-tête est function z = SimuVaX(lambda) qui simule la v.a.r.|X|.

Vérifier que la probabilité que X prenne des valeurs positives est égale à la probabilité que X prenne des valeurs négatives.

En déduire une fonctionScilab, utilisantrand(), dont l’en-tête estfunction x = SimuX(lambda) qui simule la v.a.r.X.

On suppose, dans la suite, que le paramètre λ est inconnu et on souhaite l’estimer en utilisant la loi de Y.

On désigne parnun entier naturel supérieur ou égal à2et on considèrenv.a.r.Y1,. . .,Yn, supposées définies sur (Ω,A,P). On suppose qu’elles sont indépendantes et de même loi queY.

6. On considère des réels x₁, . . ., x_n strictement positifs, ainsi que la fonction L, à valeurs dans R, définie sur ]0,+∞[par : ∀λ∈ ]0,+∞[,L(λ) =

n

Q

k=1

f_Y(x_k).

a) ExprimerL(λ), puisln L(λ)

en fonction deλ,x₁,. . .,x_n.

b) On considère la fonctionϕ, définie pour tout réel λde ]0,+∞[par : ϕ(λ) =n ln(λ)−λ

n

P

k=1

x_k. Montrer que la fonctionϕ admet un maximum, atteint en un seul réel que l’on noteraz et que l’on exprimera en fonction dex1,. . .,xn.

Que peut-on dire dez pour la fonctionL?

7. On pose dorénavant, toujours avec nsupérieur ou égal à 2 ,Zn= n

n

P

k=1

Y_k .

On admet queZn est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur l’espace probabilisé(Ω,A,P).

La suite (Z_n)_n>2 est appelée estimateur du maximum de vraisemblance pour λ.

a) Pour toutn∈N^∗, on définit la v.a.r.Sn par : Sn=

n

P

k=1

Yk. On admet le résultat suivant :

Soient X et Y deux v.a.r. à densité indépendantes définies sur le même espace probabilisé, de densités respectivesfX etfY telles quefX etfY soient bornées.

Alors la v.a.r.X+Y est une v.a.r. à densité et une densité deX+Y est donnée par la fonction hdéfinie sur Rpar :

h:x7→

Z +∞

−∞

f_X(t)f_Y(x−t) dt

En utilisant la propriété admise, montrer que, pour tout n ∈ N^∗, la v.a.r. Sn est une v.a.r. à densité et admet pour densité la fonctionf_n définie par :

f_n:t7→







0 sit <0 λⁿ

(n−1)! tⁿ⁻¹e^−λt sit>0 b) Soit n >2. En remarquant que

Z +∞

0

fn−1(t) dt = 1, montrer que Zn possède une espérance et :E(Z_n) = n

n−1 λ.

c) Seulement pour les cubes: Déterminer un estimateurZ_n⁰ , fonction simple deZ_n qui soit un estimateur sans biais deλ.

Problème 2 (EDHEC 2019)

Partie 1 : Étude de quelques propriétés d’une variable aléatoire X Dans cet exercice,θ (theta) désigne un réel élément de

0,1

2

.

On considère la fonction f définie par :f :x7→





 1 θ x^1+1θ

si x>1 0 si x <1 1. Montrer que f peut être considérée comme une densité.

On considère dans la suite une variable aléatoireX de densitéf et on noteF sa fonction de répartition.

2. Montrer que X possède une espérance et une variance et les déterminer.

3. Déterminer, pour tout réel x, l’expression deF(x) en fonction dex etθ.

4. a) Montrer que l’équationF(x) = 1

2 possède une seule solution, notée M_e, que l’on déterminera.

b) Montrer :∀x∈

0,1 2

,2^x(1−x)61.

c) ComparerE(X)etM_e.

5. Soit aun réel supérieur ou égal à 1etb un réel strictement positif.

a) Montrer :P[X>a] [X > a+b]

= a

a+b ¹_θ

.

b) Déterminer la limite de cette quantité lorsqueatend vers+∞. Interpréter cette dernière valeur si l’on admet que la variableX représente la durée de vie d’un certain appareil.

Partie 2 : Simulation de X

6. On pose Y = ln(X) et on admet que Y est une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que X. On noteGsa fonction de répartition.

a) Pour tout réelx, exprimer G(x) à l’aide de la fonction F.

b) En déduire queY suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

7. On rappelle qu’enScilab, la commandegrand(1, 1, 'exp', 1/lambda)simule une variable aléa- toire suivant la loi exponentielle de paramètre λ. Écrire des commandes Scilabutilisant grand et permettant de simuler X.

Partie 3 : Estimation d’un paramètre

On suppose dans la suite que le paramètre θ est inconnu et on souhaite en trouver une estimation ponctuelle puis par intervalle de confiance.

On considère pour celanvariables aléatoiresY₁,. . .,Y_ntoutes définies sur le même espace probabilisé, mutuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi queY.

8. On pose T_n= 1 n

n

P

i=1

Y_k.

a) Justifier queT_n est un estimateur deθ.

b) Tn est-il un estimateur sans biais deθ?

c) Calculer le risque quadratique deT_n en tant qu’estimateur de θ.

Tn est-il un estimateur convergent deθ?

9. a) Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variableT_n. b) Établir l’inégalité :

∀ε >0, P [θ∈[Tn−ε, Tn+ε]]

> 1− θ² n ε²

c) En utilisant le fait queθ6 1

2, déterminer un intervalle de confiance pourθau niveau de confiance 90%lorsque l’on choisitn= 1000.

Problème 3 (HEC 2015)

Dans tout le problème :

• Toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur le même espace probabilisé (Ω,A,P).

• On considère une variable aléatoire X à valeurs strictement positives suivant la loi exponentielle de paramètre λ(avecλ >0), de densitéfX définie par :

f_X :x7→

( 0 six60 λe^{−λ x} six >0

Partie I. Comparaison de deux estimateurs de 1 λ

L’objectif de cette partie est de comparer deux estimateurs sans biais et convergents du paramètre inconnu 1

λ.

Pournentier deN^∗, soit(X₁, X₂, . . . , X_n)unn-échantillon de variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes et de même loi que X.

On pose pour tout n∈N^∗ :Yn=

n

P

i=1

Xi,Xn= 1

n Yn etMn= max(X1, X2, . . . , Xn).

1. Rappeler sans démonstration les valeurs de l’espérance E(X), de la variance V(X) ainsi que l’ex- pression de la fonction de répartition FX de la variable aléatoireX.

2. Calculer E Xn

et V Xn

. En déduire que Xn est un estimateur sans biais et convergent du paramètre 1

λ.

3. a) Montrer qu’une densitéfMn de Mnest donnée par : fMn :x7→

( nλe^−λx(1−e^−λx)ⁿ⁻¹ six >0

0 six60

b) Établir pour toutn∈N^∗, l’existence de l’espérance E(Mn)de la variable aléatoire Mn. c) En posantz= 1−e^−λx, justifier pour touta >0, l’égalité :

Z _a

0

xe^−λx(1−e^−λx)ⁿ⁻¹ dx = −1 λ²

Z 1−e^−λa 0

zⁿ⁻¹ ln(1−z) dz

d) En déduire que l’on a :E(Mn) =−n λ

Z 1 0

zⁿ⁻¹ ln(1−z) dz.

e) Montrer que la fonctionz→(1−z) 1−ln(1−z)

définie sur l’intervalle[0,1[, est une primitive de la fonctionz→ln(1−z).

À l’aide d’une intégration par parties, en déduire pour toutn∈N^∗ une relation entre E(M_n+1) etE(M_n).

f ) On pose pour toutn∈N^∗ :un=

n

P

j=1

1

j. Déduire de la question précédente :E(Mn) = 1 λ un.

4. On pose pour tout n∈N^∗ :M_n⁰ = M_n

u_n etv_n= Pn j=1

1

j².On admet :V(M_n) = 1 λ² v_n. a) CalculerE(M_n⁰) etV(M_n⁰).

b) Justifier la convergence de la suite de terme généralv_n. Déterminer lim

n→+∞u_n.

c) Déduire des questions 4.a) et4.b) que M_n⁰ est un estimateur sans biais et convergent du para- mètre 1

λ.

d) SoitQla fonction polynomiale définie surR par :Q(x) =

n

P

j=1

x− 1

j 2

. À l’aide de l’étude deQ, établir l’inégalité : u²_n6n v_n.

e) Comparer alorsV(M_n⁰) etV X_n

. Conclure.

Partie II. Un exemple.

Les notations et le contexte sont ceux de la partie I.

Dans cette partie, on suppose que la durée de vie (en heures) d’un composant électronique est une variable aléatoire X à valeurs strictement positives suivant la loi exponentielle de paramètre λ(avec λ >0).

On suppose qu’en cas de panne, le composant électronique est immédiatement remplacé par un com- posant neuf dont la durée de vie est indépendante et de même loi que celle des composants précédents.

Pour j∈N^∗, on note Xj la variable aléatoire égale à la durée de vie du j^ème composant.

Pour n entier de N^∗, on constitue ainsi un n-échantillon (X₁, X₂, . . . , X_n) de variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes et de même loi que X.

On note(x₁, x₂, . . . , x_n) la réalisation dun-échantillon (X₁, X₂, . . . , X_n) et on pose :x_n= 1 n

n

P

i=1

x_i. 5. a) Donner une interprétation de 1

λ. Dans quelle unité s’exprime 1 λ?

b) Soitp∈]0,1[. Déterminer en fonction depetλ, l’unique réelhppour lequel on a :P([X > hp]) = p.

c) Proposer un estimateurH_n sans biais et convergent pour le paramètreh_p. d) On suppose que sur un échantillon de 100 composants, on a obtenu :

100

P

i=1

xi = 10⁵ heures.

Donner une estimation deh¹

2

(on donne ln(2)'0,7).

6. On admet sans démonstration que pour tout n∈N^∗, la fonction de répartition FYn de la variable aléatoireYn est donnée par :

F_Yn :x7→







1−e^−λx

n−1

P

k=0

(λ x)^k

k! si x >0

0 sinon

Soitt >0un réel fixé etN(t)la variable aléatoire égale au nombre de pannes dans l’intervalle[0, t[.

a) Déterminer la loi de la variable aléatoireN(t).

b) Donner une estimation « naturelle » du nombre moyen de pannes dans l’intervalle[0, t[.

7. L’objectif de cette question est de déterminer un intervalle de confiance asymptotique du paramètre inconnu 1

λ au niveau de confiance1−α (0< α <1).

a) Soit Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et soit t₁ et t₂ deux réels vérifiantΦ(t₁) = 1− α

2 etΦ(t₂) = α

2. Montrer :t₂ =−t₁. b) On pose :Rn=√

n λ Xn−1

. Justifier que la suite de variables aléatoires(Rn)n∈N^∗ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

c) En déduire : lim

n→+∞P([−t₁ 6Rn6t1]) = 1−α.

d) Déterminer un intervalle de confiance asymptotique de 1

λ au niveau de confiance1−α.

e) Que se passe-t-il lorsqueα est proche de 0 ou lorsqueα est proche de 1 ?

f ) Pourα= 0,05, on donne :t₁ '2. Montrer qu’avec l’échantillon de la question5.d), la réalisation de l’intervalle de confiance asymptotique de 1

λ au niveau de confiance 0,95 est :

833,1250 . Partie III. Un résultat asymptotique

Les notations et le contexte sont ceux des parties précédentes.

Pour tout n∈N^∗, on poseT_n=M_n−1

λ ln(n) et on note F_Tn la fonction de répartition de T_n. 8. a) Montrer que pour toutx réel, on a :FTn(x) =

FX

x+1

λ ln(n) n

.

b) Pour chaque réel x fixé, déterminer un entier naturel N_x (qui dépend de x) tel que pour tout entiern>N_x, on a :x+ 1

λ ln(n)>0.

En déduire que pour tout entiern>N_x, on a :F_X

x+ 1 λ ln(n)

= 1−e^−λx n . c) Montrer que pour toutx réel, on a : lim

n→+∞F_Tn(x) = exp −e^−λx

=e^−e−λx. 9. Soit F la fonction définie sur Rà valeurs réelles telle que : F(x) = exp −e^−λx .

a) Justifier queF est de classeC^∞surRet montrer queF réalise une bijection deRsur l’intervalle ]0,1[.

b) En déduire queF est la fonction de répartition d’une variable aléatoireT admettant une densité fT continue surRque l’on déterminera ; on dit que T suit la loi de Gumbel de paramètre λ.

c) Justifier la convergence en loi de la suite de variables aléatoires(Tn)n∈N^∗ vers la variable aléatoire T.

10. a) Établir l’existence de l’espéranceE(T) de la variable aléatoireT. b) On pose :Z =−1

λ ln(λ X). Montrer que les variables aléatoiresZ etT sont de même loi.

c) Justifier l’égalité :E(T) =−1 λ

Z +∞

0

e^−t ln(t) dt.

d) À l’aide de la concavité de la fonctionlnsur R^∗+, établir l’inégalité : E(T)>0.

11. On suppose dans cette question que λ= 1.

a) Expliciter la bijection réciproqueG de la fonctionF. b) On considère le programmeScilabsuivant :

1 x = linspace(-2, 2, 400) ;

2 y = (exp(-exp(-x))) ;

3 plot(x, y) , plot(y, x)

(i) Le réel 0 fait-il partie des nombres renvoyés par la commandex=linspace(-2, 2, 400)? (ii) Quel sera le résultat de l’exécution de ce programme ?

c) SoitU une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle ]0,1[.

Quelle est la loi de la variable aléatoireG(U)? d) Établir l’inégalité :E(T)61.

e) Par une méthode de votre choix, écrire enScilab les commandes qui permettent de simuler la loi deT.

f ) Écrire enScilables commandes qui permettent de renvoyer une valeur numérique approchée de E(T)en utilisant la méthode de Monte-Carlo.