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Traitement du Signal - Travaux Pratiques -

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(1)

Traitement du Signal

- Travaux Pratiques -

Thème : "Echantillonnage, Transformée de Fourier d’un signal échantillonné"

- Indications sur les résultats à obtenir -

…

3) Etude de l’échantillonnage

…

3.1.1) On choisit d’échantillonner ce signal à la fréquence f e =4 Hz. Vérifier que cette fréquence d’échantillonnage est correcte, du point de vue théorique (en justifiant la réponse).

Ecrire un programme permettant de générer et d’afficher quelques périodes du signal s(t).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

3.1.4) Afficher son spectre à l’aide de la fonction fft (l’algorithme FFT, pour Fast Fourier Transform, est un algorithme de calcul rapide de la TFD, Transformée de Fourier Discrete), par exemple de la manière suivante :

tfd=fft(s,N)/N; %TFD du signal s, sur N échantillons

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.7 TFD du signal sinusoïdal avec f0=1Hz et fe=4Hz

(2)

Sous-échantillonnage

…

3.1.6) Observer l’effet du sous-échantillonnage en faisant varier la fréquence du signal aux valeurs suivantes :

f 0 =f e /10 f 0 =f e /4 f 0 =f e /2 f 0 =f e *3/4 f 0 =f e *10/9

Interpréter les résultats en raisonnant sur le spectre (pour le 3 e cas, on précisera quelles sont les valeurs théoriques des échantillons).

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1Fréquence d'échantillonnage : fe=4Hz ; fréquence du signal : f0=fe/10=0,4Hz

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 Spectre d'amplitude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.5 0 0.5

1Fréquence d'échantillonnage : fe=4Hz ; fréquence du signal : f0=fe/4=1Hz

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.2 0.4 0.6

0.8 Spectre d'amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-4 -2 0 2 4

6x 10-15 Fréq. d'éch. : fe=4Hz ; fréq. du signal : f0=fe/2=2Hz

1 1.5

2x 10-15 Spectre d'amplitude

f 0 =0,4Hz f 0 =f e /10=0,4Hz

10 échantillons par période

f e =4Hz f 0 =f e /4f 0 =1Hz

4 échantillons par période

f e =4Hz f 0 =f e /2f 0 =2Hz

2 échantillons par période

(limite de Shannon, pose

problème ici)

(3)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1

-0.5 0 0.5

1Fréquence d'échantillonnage : fe=4Hz ; fréquence du signal : f0=3fe/4=3Hz

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 Spectre d'amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1 -0.5 0 0.5

1Fréquence d'échantillonnage : fe=4Hz ; fréquence du signal : f0=9fe/10=3,6Hz

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 Spectre d'amplitude

Filtrage anti-repliement

Pour simuler le filtrage anti-repliement, le signal va d’abord être sur-échantillonné, puis sous-échantillonné, d’abord sans puis avec filtrage.

3.1.7) Avec f 0 =0,4Hz, afficher le signal sinusoïdal précédent sur-échantillonné d’un facteur 5 (en précisant f e ).

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1Fréquence d'échantillonnage : fe=4Hz ; fréquence du signal : f0=fe/10=0,4Hz

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 Spectre d'amplitude

f e =4Hz f 0 =3f e /4=3Hz

0,75 échantillon par période

f e =4Hz

f 0 =9f e /10≈3,6Hz

f e =5×2f 0 =10f 0

(4)

3.1.8) … afficher le signal ainsi sous-échantillonné (par exemple avec les valeurs suivantes de se : 2, 5, 7 et 9, ou d’autres valeurs), avec l’axe du temps correctement gradué. Interpréter ces résultats en mettant en évidence le problème posé par l’échantillonnage.

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe'=fe/2=5fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe'=fe/4=5fo/2

f

e

’=5f

0

f

e

’=5f

0

/2

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-4 -2 0 2 4

6x 10-15 Signal échantillonné à fe'=fe/5=2fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe'=fe/7=10fo/7

f

e

’=f

0

=2 f

e

’=1,44f

0

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5 1

Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe'=fe/9=10fo/9

f

e

’=1,11f

0

3.1.9) Recommencer les tests précédents en filtrant (passe-bas) le signal préalablement à son

(5)

judicieusement. Reprendre les tests de la question précédente et mettre en évidence l’amélioration apportée par ce filtrage.

…

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5 1

Signal échantillonné à fe'=fe/2=5fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5 1

Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5 1

Signal échantillonné à fe'=fe/4=5fo/2

f

e

’=5f

0

f

e

’=5f

0

/2

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0.6 Signal échantillonné à fe'=fe/5=2fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-0.4 -0.2 0 0.2

0.4 Signal échantillonné à fe'=fe/7=10fo/7

f

e

’=f

0

=2 f

e

’=1,44f

0

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5 1

Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-0.1 0 0.1 0.2 0.3

Signal échantillonné à fe'=fe/9=10fo/9

f

e

’=1,11f

0

Ne pas tenir compte des

phénomène transitoire en

début et/ou fin de signal

(6)

3.1.10) Recommencer la même chose avec la fonction pré-définie de Matlab decimate .

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5 1

Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5 1

Signal échantillonné à fe'=fe/2=5fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5 1

Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5 1

Signal échantillonné à fe'=fe/4=5fo/2

f

e

’=5f

0

f

e

’=5f

0

/2

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-0.05 0 0.05 0.1 0.15

Signal échantillonné à fe'=fe/5=2fo

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

Signal échantillonné à fe'=fe/7=10fo/7

f

e

’=f

0

=2 f

e

’=1,44f

0

0 5 10 15 20 25

-1 -0.5 0 0.5

1 Signal échantillonné à fe=10fo

0 5 10 15 20 25

-0.6 -0.4 -0.2 0

0.2 Signal échantillonné à fe'=fe/9=10fo/9

f

e

’=1,11f

0

Ne pas tenir compte des

phénomène transitoire en

début et/ou fin de signal

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