le 13 Septembre 2006 UTBM
MT11
Examen final Automne 2002/2003
chaque partie sera r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente. Les calculatrices sont interdites.
Exercice 1 1) Donner le developpement limit´e en 0`a l’ordre 5de la fonctionf deR dans R d´efinie par f(x) = cos(sin(x2)).
2) En d´eduire la limite
limx→0
f(x)−1 x3sin(x).
Exercice 2 1) D´ecomposer en ´el´ements simples dans R la fraction rationnelle d´efinie par R(X) = X2+ 2X+ 3
X2(X+ 1)(X2+ 1).
2) En d´eduire les primitives de f d´efinies sur l’intervalle ]0,+∞[, o`u f est la fonction rationnelle d´efinie par f(x) = R(x).
Exercice 3 Soit les polynˆomes : P1(X) = 1 +X1,
P2(X) = 1 +X1 +X(X2!+1),
P3(X) = 1 +X1 +X(X2!+1) +X(X+1)(X+2)3!
et plus g´en´eralement pour x >2
Pn(X) = 1 + X1 +X(X+1)2! + X(X+1)(X3! +2) +...+X(X+1)(X+2)...(Xn! +(n−1)). Factoriser le polynˆome Pn par r´ecurrence.
Exercice 4 Soit n un entier strictement positif. On consid`ere la fonction fn d´efinie sur R par
½ fn(0) = 0
fn(x) = arctan(nx) pour x6= 0 1
1- Pour n ∈N∗ fix´e, la fonction fn est-elle continue ?
2- Etudier les variation de f1, f2, f3 et repr´esenter ces fonctions. On pr´ecisera en particulier les limites de fn0(x) lorsque x tend vers o+ et quand x tend vers o−.
3- pour x∈R fix´e, calculer
n→+∞lim fn(x).
4- On note f l’application qui `ax associelimn→+∞fn(x). Est-elle continue sur R? La repr´esenter.
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