Intégrale de Fresnel
Référence :Madère: Développements d’Analyse p. 166
On a l’égalité suivante :
Z +∞
0
eix2dx=
√π 2 eiπ4 Théorème
Preuve :
On pose Φ = Z +∞
0
eix2dx.
Pourt, T >0, on pose :f(t) = Z t
0
eix2dx,F(t) = Z Z
[0,t]2
ei(x2+y2) dxdyet I(T) = 1 T
Z T
0
F(t) dt.
On va exprimerF(t) de deux manières.
D’une part, la fonction (x, y) 7→ ei(x2+y2) est continue sur le pavé compact [0, t]2. En appliquant Fubini, on obtient :F(t) =f(t)2.
D’autre part, notons :
∆t=
(x, y)∈R2
x∈[0, t] ety∈[0, x]
∆0t=
(x, y)∈R2
y∈[0, t] etx∈[0, y]
La fonction (x, y) 7→ (y, x) est un C1-difféomorphisme de ∆t sur
∆0t. Par changement de variable, on obtient : F(t) =
Z Z
∆t
ei(x2+y2) dxdy+Z Z
∆0t
ei(x2+y2) dxdy= 2 Z Z
∆t
ei(x2+y2) dxdy
∆0t
∆t
t
0 t x
y
La forme de l’intégrande suggère alors un passage en coordonnées polaires : (r, θ) 7→ (rcosθ, rsinθ) est un C1-difféomorphisme deKt:=
(r, θ)∈R2
θ∈h 0,π
4 i
et r∈
0, t cosθ
sur ∆t. On obtient alors :
F(t) = 2 Z Z
Kt
eir2rdrdθ=1 i
Z π4
0
Z cosθt
0
2ireir2drdθ=−i Z π4
0
exp
it2 cos2θ
−1
dθ= iπ 4−i
Z π4
0
exp it2
cos2θ
dθ Puis, en injectant dansI(T), on obtient :
I(T) = iπ 4 − i
T Z T
0
Z π4
0
exp it2
cos2θ
dθdt En appliquant Fubini, puis le changement de variableu= t
cosθ, on trouve : I(T) = iπ
4 − i T
Z π4
0
Z T
0
exp it2
cos2θ
dtdθ=iπ 4 − i
T Z π4
0
Z cosθT
0
eiu2cosθdudθ= iπ 4 − i
T Z π4
0
f T
cosθ
cosθdθ On souhaite désormais faire tendre T vers +∞. On va montrer que f est bornée au voisinage de +∞. Il suffit de montrer que l’intégrale de Fresnel est convergente. Étudions
Z t
1
eix2dx.
Par changement de variableu=x2 et en faisant une intégration par parties : Z t
1
eix2dx= Z t2
1
eiu du 2√
u = eiu
i 1 2√ u
t2
1
− Z t2
1
eiu i
−1
4u32 du= eit2 2it
|{z}−→
t→∞
0
−ei 2i+ 1
4i Z t2
1
eiu u32 du
| {z }
quantité bornée par convergence dominée
FlorianLemonnier adapté par LauraGay p.1 15 juillet 2015
Doncf est bornée au voisinage de +∞, donc lim
T→+∞I(T) = iπ 4. Par ailleurs, lim
t→+∞f(t) = Φ et lim
t→+∞F(t) = Φ2. Montrons que lim
T→∞I(T) = Φ2. Soitε >0 ;∃A >0,∀t>A,
F(t)−Φ2 < ε
2. SoitT > A, on a : I(T) = 1
T Z A
0
F(t) dt+ 1 T
Z T
A
F(t) dt puis
I(T)−Φ2 6 1
T Z A
0
F(t)−Φ2 dt
| {z }
<ε2 pourT>T0
+ 1 T
Z T
A
F(t)−Φ2 dt
| {z }
<ε2T−AT
Donc pourT >max{A, T0},
I(T)−Φ2
< ε, d’où lim
T→∞I(T) = Φ2. Par unicité de la limite : Φ2= iπ
4, d’où Φ =±
√π 2 eiπ4. Pour déterminer le bon signe, on regarde le signe de=(Φ) :
=m(Φ) ==m Z ∞
0
eix2dx
==m Z ∞
0
eiu du 2√
u
= Z ∞
0
sinu 2√
udu=
∞
X
k=0
Z 2(k+1)π
2kπ
sinu 2√
udu
=
∞
X
k=0
Z (2k+1)π
2kπ
sinu 2√
udu+
Z 2(k+1)π
(2k+1)π
sinu 2√
udu
!
=
∞
X
k=0
Z (2k+1)π
2kπ
sinu 2
1
√u− 1
√u+π
du>0
Ainsi, Φ =
√π
2 eiπ4.
Notes :
XA l’oral, 13’45 allure normale.
♣ AugustinFresnel(1788 - 1827) -tuberculose- est un physicien français. Fondateur de l’optique moderne, il proposa une explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
FlorianLemonnier adapté par LauraGay p.2 15 juillet 2015
