DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE
Intégrale de Fresnel
Leçons : 236, 239,235
[Gou An], exercice 5.4.5 Théorème
On a l’égalité suivante :
Z +∞
0 eix2dx=
√π 2 eiπ4
Démonstration : On poseΦ=
Z +∞
0 eix2dx.
Pourt,T>0, on pose :f(t) = Z t
0 eix2dx,F(t) = Z Z
[0,t]2ei(x2+y2)dxdyetI(T) = 1 T
Z T
0 F(t)dt.
On va exprimerF(t)de deux manières.
D’une part, la fonction(x,y)7→ei(x2+y2)est continue sur le pavé compact[0,t]2. En appliquant Fubini, on obtient :F(t) = f(t)2.
D’autre part, notons :
∆t=n(x,y)∈R2
x∈[0,t]ety∈[0,x]o
∆0t=n(x,y)∈R2
y∈[0,t]etx∈[0,y]o
La fonction(x,y) 7→(y,x)est unC1-difféomorphisme de∆tsur∆0t. Par changement de variable, on obtient :
F(t) = Z Z
∆t
ei(x2+y2)dxdy+ Z Z
∆0tei(x2+y2)dxdy=2Z Z
∆t
ei(x2+y2)dxdy
∆0t
∆t t
0 t x
y
La forme de l’intégrande suggère alors un passage en coordonnées polaires :(r,θ) 7→ (rcosθ,rsinθ)est unC1-difféomorphisme deKt:=
(r,θ)∈R2
θ∈h0,π4i etr∈
0, t cosθ
sur∆t. On obtient alors :
F(t) =2Z Z
Kt
eir2rdrdθ= 1 i
Z π4 0
Z cosθt
0 2ireir2drdθ=−i Z π4
0
exp it2 cos2θ
−1
dθ= iπ 4 −i
Z π4
0 exp it2 cos2θ
dθ Puis, en injectant dansI(T), on obtient :
I(T) = iπ 4 −Ti
Z T 0
Z π4
0 exp it2 cos2θ
dθdt
En appliquant Fubini, puis le changement de variableu= t
cosθ, on trouve : I(T) = iπ
4 −Ti Z π4
0 Z T
0 exp it2 cos2θ
dtdθ= iπ 4 −Ti
Z π4 0
Z cosθT
0 eiu2cosθdudθ= iπ 4 −Ti
Z π4
0 f T
cosθ
cosθdθ On souhaite désormais faire tendreT vers+∞. On va montrer que f est bornée au voisinage de+∞. Il suffit de montrer que l’intégrale de Fresnel est convergente. ÉtudionsZ t
1 eix2dx.
Par changement de variableu=x2et en faisant une intégration par parties : Z t
1 eix2dx= Z t2
1 eiu du 2√u =
eiu i
1 2√u
t2 1 −
Z t2 1
eiu i −1
4u32 du= e
it2
2it
|{z}t−→
→∞0
−e2ii + 1 4i
Z t2 1
eiu u32 du
| {z }
quantité bornée par convergence dominée
Florian LEMONNIER 1
Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1
DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE
Donc f est bornée au voisinage de+∞, donc lim
T→+∞I(T) =iπ 4. Par ailleurs, lim
t→+∞f(t) =Φet lim
t→+∞F(t) =Φ2. Montrons que lim
T→∞I(T) =Φ2. Soitε>0 ;∃A>0,∀t>A,
F(t)−Φ2< ε
2. SoitT>A, on a : I(T) = 1
T Z A
0 F(t)dt+ 1 T
Z T
A F(t)dtpuis
I(T)−Φ26 T1 Z A
0
F(t)−Φ2dt
| {z }
<ε2pourT>T0
+1 T
Z T A
F(t)−Φ2dt
| {z }
<2εT−TA
Donc pourT>max{A,T0},I(T)−Φ2<ε, d’où lim
T→∞I(T) =Φ2. Par unicité de la limite :Φ2=iπ
4, d’oùΦ=±
√π 2 eiπ4. Pour déterminer le bon signe, on regarde le signe de Im(Φ):
Im(Φ) =Im Z ∞
0 eix2dx
=Im Z ∞ 0 eiu du
2√u
= Z ∞
0
sinu 2√udu=
∑
∞ k=0Z 2(k+1)π 2kπ
sinu 2√u du
=
∑
∞ k=0Z (2k+1)π 2kπ
sinu 2√
udu+
Z 2(k+1)π (2k+1)π
sinu 2√
udu=
∑
∞ k=0Z (2k+1)π 2kπ
sinu 2
1
√u−√ 1 u+π
du>0
Ainsi,Φ=
√π 2 eiπ4.
Références
[Gou An] X. GOURDON–Les maths en tête : Analyse, 2eéd., Ellipses, 2008.
Florian LEMONNIER 2
Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1
