OPTIQUE ONDULATOIRE - LA DIFFRACTION

OPTIQUE ONDULATOIRE - LA DIFFRACTION

Nous avons d ´ej `a trait ´e bri `evement de la diffraction pour les vagues sur l’eau et pour la lumi `ere `a travers une ouverture de dimension semblable `a sa longueur d’onde (page 25a-9) ; nous avons vu qu’elle consistait en un ´etalement ou une d ´eflexion des ondes aux ar ˆetes d’un corps. Mais il se produit aussi une figure d’interf ´erence qui consiste en un maximum central, tr `es intense et d’autres maxima moins intenses (appel ´es maxima secondaires) sur le c ˆot ´e.

Entre ces maxima, il y a des minima. Avec l’optique g ´eom ´etrique, on ne peut pas expliquer cette figure d’interf ´erence.

Une ouverture carr ´ee est ´eclair ´ee par une

onde plane d’un laser He-Ne. En (a), (b) (c)

l’ouverture est grande et l’ ´ecran proche : la fi-

gure est compliqu ´ee int ´erieurement, mais sa

forme g ´en ´erale est reconnaissable. On r ´eduit

l’ouverture, la figure s’ ´etale dans les directions

perpendiculaires `a ses c ˆot ´es (d), (e) et en (f)

atteint sa limite, la r ´eduction du trou ne fait

qu’agrandir la figure mais ne change pas sa

forme.

La diffraction

Comme l’effet d ´epend de la taille relative de l’ouverture compar ´ee `a la dis- tance `a l’ ´ecran, on pourrait obtenir le m ˆeme ensemble de photos en ´eloignant l’ ´ecran sans modifier l’ouverture. Les images de (a) `a (e) repr ´esentent une diffraction `a distance finie ou diffraction de Fresnel, tandis que (f) corres- pond `a une diffraction `a l’infini ou diffraction de Fraunhofer.

Par la suite, nous ne consid ´ererons que le cas de la diffraction `a l’infini, o `u la lumi `ere incidente est plane et l’ ´ecran est consid ´er ´e `a l’infini (10m ou 15m, c’est pratiquement l’infini).

Une figure de diffraction apparaˆıt autour de tout objet aux ar ˆetes d ´ecoup ´ees ´eclair ´e par une source ponctuelle.

Il n’y a aucune diff ´erence profonde entre l’interf ´erence et la diffraction. En fait,

les 2 ph ´enom `enes sont ins ´eparables, bien que nous tendions `a parler d’eux

s ´epar ´ement, parce que c’est ainsi que ces 2 concepts se sont d ´evelopp ´es

historiquement.

Diffraction par une fente unique

Une lumi `ere monochromatique passe `a travers une fente ´etroite et longue de largeur,D, et on place un ´ecran de visualisation `a grande distance. Les ondes qui passent par cette fente se propagent dans toutes les directions. Voyons comment elles peuvent interf ´erer les unes avec les autres.

(a) les rayons passent en ligne droite. Comme ils sont en phase, ils forment un point brillant au centre de l’ ´ecran.

(b) Les rayons sont dirig ´es selon un angle

θ

tels que la distance parcourue par le plus

bas rayon de la fente est exactement une

longueur d’onde de plus que celle parcourue

par le plus haut rayon de la fente. La distance

parcourue par le rayon passant par le centre

est sup ´erieure de λ/2 `a celle parcourue par

le plus haut rayon de la fente : ces 2 rayons

sont d ´ephas ´es de λ/2 et interf `erent destructi-

vement.

Diffraction par une fente unique

(b) De m ˆeme un rayon juste au-dessous du plus haut rayon annule le rayon correspondant juste au-dessous du rayon central, etc.... Tous les rayons interf `erent donc destructivement un `a un et aucune lumi `ere dirig ´ee selon cet angle n’atteint l’ ´ecran.

L’angle auquel ces interf ´erences se produisent est donn ´e par : D sin θ

= λ. La premi `ere paire de minima se produit donc pour sin θ

= ± λ /D.

(c) Quand l’angle augmente, on trouve un second minima quand D sin θ

= 2λ. Imaginons que l’ou- verture est divis ´ee en 4 quarts. Si θ

est tel que les rayons de chaque quart sont en opposition de phase avec les rayons correspondant du quart suivant (ce qui arrive pour

D sin θ

= λ/2) une interf ´erence destructive se produit et il y a extinction de lumi `ere.

Et ainsi de suite...

Diffraction par une fente unique

• En g ´en ´eral on a une intensit ´e nulle si

D sin θ

= m λ avec m = ±1, ±2, ±3, ...

mais non en m = 0 o `u se produit le maximum le plus fort.

• on a des maxima d’intensit ´e pour

θ = 0 et D sin θ

= ±(m + 1

2 )λ avec m = 1, 2, 3, ....

Si la fente devient plus ´etroite (D plus petit), la fi-

gure de diffraction s’ ´elargit ; le pic central devient

plus large.

Diffraction : exemple

Une fente de largeur 1, 0 × 10

mm est ´eclair ´ee par une lumi `ere de longueur d’onde λ = 750nm. Si l’ ´ecran d’observation est `a 20cm, d ´eterminer la largeur du pic central (d ´efinie comme la distance entre les centres des 2 premiers minima de part et d’autre du maximum central) (a) en degr ´es et (b) en cen- tim `etres.

SOLUTION : (a) Les 2 minima de part et d’autre du maximum central corres- pondent `a m = ±1. Alors

sin θ

= λ

D = 750 × 10

m

1 × 10

m = 0, 75

et θ

= 49

= 6, 3 × 10

rad. L’angle sous-tendu par le maximum central entre les minima est le double, soit 98

.

(b) La largeur de ce pic sur l’ ´ecran est de

2x, o `u tan θ = x/(20cm). Donc : 2x =

2(20cm)(tan 49

) = 46 cm et une grande partie de

l’ ´ecran est illumin ´ee.

Diffraction par une fente double

Dans l’analyse de l’exp ´erience de la double fente de Young, nous supposions que la partie centrale de l’ ´ecran ´etait uniform ´ement illumin ´ee, ce qui ´equivaut

`a supposer que la largeur des fentes est infinit ´esimale (D λ), de sorte que le pic central de diffraction, d ˆu `a chaque fente, s’ ´etale sur tout l’ ´ecran. Dans la r ´ealit ´e, cela ne peut jamais ˆetre le cas, et la diffraction att ´enue l’intensit ´e des franges d’interf ´erences brillantes `a mesure qu’on s’ ´eloigne du centre, de sorte qu’elles ne sont pas toutes de m ˆeme intensit ´e.

En tenant compte de la diffraction, l’in- tensit ´e observ ´ee dans une figure d’in- terf ´erence est montr ´ee en (c) pour 2 fentes identiques de largeur D , de dis- tante entre leurs centres a (a = 6D et D = 10λ).

La courbe de diffraction par une

fente (a) joue le r ˆ ole d’une sorte

d’enveloppe qui limite la hauteur

des pics d’interf ´erence (b).

Diffraction par une fente double

Pourquoi le pic de diffraction central dans la figure pr ´ec ´edente (c) contient-il 11 franges d’interf ´erence ?

Nous venons de voir que le premier minimum dans une figure de diffraction se produit quand sin θ =

. Comme a = 6D, multiplions le membre de gauche par a et le membre de droite par 6D, soit

a sin θ = 6 D( λ

D ) = 6λ

Par contre les maxima de l’interf ´erence se produisent quand a sin θ

= mλ (voir page 25a-12). Le minimum de diffraction co¨ıncide donc avec m = 6 dans la figure d’interf ´erence de sorte que le sommet m = 6 n’apparait pas. Le pic de diffraction central enveloppe donc le pic d’interf ´erence central (m = 0) et 5 pics (m = 1 `a 5) de chaque c ˆot ´e, ce qui fait 11 franges d’interf ´erence au total.

Le nombre de franges d’interf ´erence dans le pic de diffraction central

d ´epend seulement du rapport a/D et non de λ. L’espacement entre les

franges lui d ´epend de λ (voir page 25a-12).

R ´eseau de diffraction

Un r ´eseau est constitu ´e par un tr `es grand nombre de fentes N parall `eles et ´equidistantes (distantes entre les fentes de a). On a toujours une diffrac- tion par chaque fente et dans la r ´egion commune aux pics centraux de toutes ces fentes, on trouve des maxima aux m ˆemes positions que dans l’exp ´erience de Young ; mais ces maxima principaux sont plus ´etroits et les maxima secon- daires de faible intensit ´e. Pour N grand, il ne reste plus que des maxima de brillance tr `es nets et ´etroits.

L’analyse d’un r ´eseau de diffrac- tion est tr `es semblable `a celle de l’exp ´erience de Young. On trouve `a nouveau des interf ´erences construc- tives pour (voir page 25a-12) :

a sin θ

= mλ m = 0, ±1, ±2 · · ·

o `u m est l’ordre de la figure d’in-

terf ´erence. Si λ > a comme le sinus

ne peut pas d ´epasser 1, seul le maxi-

mum central m = 0 existe.

R ´eseau de diffraction

Figure de diffraction pour (a) 1 fente, (b) 2 fentes, (c) 3 fentes, (d) 4 fentes et (e) 5 fentes verticales, identiques et

´equidistantes. On peut tracer des r ´eseaux calibr ´es

de 10000 lignes par centim `etre en

utilisant une pointe fine de diamant,

par exemple. La plupart des r ´eseaux

sont des copies en plastique d’un

r ´eseau calibr ´e et ils peuvent ˆetre soit

des r ´eseaux transparents, utilis ´es en

transmission, soit m ´etallis ´es et utilis ´es

en r ´eflexion.

R ´eseau de diffraction

Les r ´eseaux de diffraction ont beaucoup d’applications en recherche et en industrie sur toute l’ ´etendue du spectre ´electromagn ´etique.

Un lecteur CD utilise un r ´eseau de diffraction pour s ´eparer le rayon laser qui lit le disque en 3 faisceaux (m = 0 et m = ±1). Un CD enregistre des informations sous forme de bosses minuscules (d’ ´epaisseur λ/4) le long d’un chemin en spirale. Le disque se comporte alors comme un r ´eseau par r ´eflexion (voir page 25b-21).

En optique, on obtient des r ´eseaux en gra- vant sur du verre des traits fins parall `eles (plusieurs milliers par cm). La condition d’interf ´erence constructive, a sin θ

= mλ, montre qu’un r ´eseau est dispersif ; la position des maxima (li ´ee `a θ

) d ´epend de λ. Un r ´eseau permet donc de s ´eparer les composantes spectrales d’une lumi `ere.

Il est ´equivalent `a un prisme.

R ´eseau de diffraction : exemple

On illumine un r ´eseau contenant 4000 traits/cm avec de la lumi `ere contenant des longueurs d’onde de 400 `a 750 nm. Montrez que le violet du spectre (λ

= 400nm) de 3eme ordre chevauche le rouge du spectre (λ

= 750nm) de 2eme ordre.

SOLUTION : L’espacement entre les fentes du r ´eseau est de a = (1/4000cm

) = 2, 50 × 10

m. Le violet du 3eme ordre se produit `a un angle θ donn ´e par a sin θ

= 3λ, soit :

sin θ

= (3)(4, 00 × 10

m)

(2, 50 × 10

m) = 0, 480 Le rouge du 2eme ordre se produit `a :

sin θ

= (2)(7, 50 × 10

m)

(2, 50 × 10

m) = 0, 600

ce qui correspond ´evidemment `a un plus grand angle.

Le spectroscope

Le spectroscope est un instrument servant `a mesurer les longueurs d’onde avec une grande pr ´ecision et dans lequel un r ´eseau de diffraction (ou un prisme) s ´epare les diff ´erentes longueurs d’onde.

La lumi `ere provenant d’une source S est focalis ´ee par la lentille L

sur une fente ´etroite S

plac ´ee au foyer de la lentille L

; la lumi `ere ´emergeant du tube C (ap- pel ´e collimateur) est donc une onde plane et est inci- dente perpendiculairement au r ´eseau, G, o `u elle est diffract ´ee avec l’ordre m = 0 de la figure de diffrac- tion pour θ = 0. On voit la figure de diffraction dans le t ´elescope, T , que s’il est orient ´e `a un certain angle θ correspondant `a un sommet de diffraction d’une lon- gueur d’onde ´emise par la source. La lentille L

fo- calise la lumi `ere sur le plan focal F F

du t ´elescope.

En changeant l’angle θ du t ´elescope, on peut exami-

ner l’ensemble de la figure de diffraction. On mesure θ

avec une grande pr ´ecision et l’on extrait λ.

Le spectroscope

Une application tr `es importante consiste `a identifier les atomes et mol ´ecules.

Un gaz chauff ´e ou parcouru par une d ´echarge ´electrique produit un spectre de raies caract ´eristique ; un gaz donn ´e n’ ´emet en effet qu’ `a certaines lon- gueurs d’onde lumineuses qui diff `erent selon les diff ´erents ´el ´ements et com- pos ´es qu’il contient. Seuls les gaz `a tr `es haute temp ´erature et basse pression donnent des spectres de raies.

La lumi `ere ´emise par un solide chauff ´e (Soleil, filament) donne un spectre continu comprenant un large domaine de longueurs d’onde. Or le spectre continu du Soleil contient un grand nombre de raies sombres appel ´ees raies d’absorption. Les atomes et les mol ´ecules peuvent absorber les m ˆemes lon- gueurs d’onde qu’ils peuvent ´emettre. Les raies d’absorption sont dues d’une part `a l’absorption par les atomes et mol ´ecules de l’atmosph `ere p ´eriph ´erique du Soleil et `a celle de la Terre. Une analyse rigoureuse montre que l’at- mosph `ere du Soleil contient au moins 2/3 de tous les ´el ´ements chimiques.

L’hydrog `ene gazeux a 4 lignes d’absorption dans le visible.

Obstacles circulaires

Quand la lumi `ere d’une source ponctuelle ´eloign ´ee est focalis ´ee par une lentille convergente, l’image form ´ee sur un ´ecran plac ´e au plan focal est un disque circulaire entour ´e de plusieurs cercles secondaires de moins en moins intenses ; ce n’est pas un point. Les pourtours de la lentille jouent le r ˆole d’une fente. La figure de diffraction produite par une ouverture circulaire (lentilles, œil humain) est sym ´etrique autour du centre de la figure. Il se produit une tache lumineuse circulaire, appel ´ee tache (ou disque) d’Airy entour ´ee d’un syst `eme d’anneaux concentriques d’intensit ´e de plus en plus faible. On peut montrer qu’une ouverture circulaire de diam `etre D suivie par une lentille de distance focale f engendre une figure de diffraction sur un ´ecran (plac ´e au plan focal) avec une tache d’Airy de rayon, r

:

r

= 1, 22 f λ D

Comme les angles sont petits, on peut approximer le demi- angle d’ouverture θ

en radians par : θ

∼ sin θ

= r

/f ,

θ

= 1, 22λ

Le facteur 1,22 r ´esulte du fait que la largeur d’un trou n’est pas constante D

Obstacles circulaires

Supposons qu’on observe 2 sources ponctuelles, incoh ´erentes et de m ˆeme intensit ´e `a l’aide d’un t ´elescope. A cause de la diffraction, les images sont 2 taches circulaires. Le crit `ere, pour que les 2 images soient juste s ´eparables, est que la distance entre leurs centres soit au moins ´egale au rayon de leurs taches d’Airy. L’eq pr ´ec ´edente pr ´ecise donc la limite an- gulaire de r ´esolution. Le pouvoir de r ´esolution (ou pouvoir s ´eparateur) est d ´efini comme l’inverse de θ

, soit D/(1, 22 λ).

En diminuant λ, on peut augmenter

le pouvoir de r ´esolution d’un instru-

ment. Les microscopes travaillant en

lumi `ere ultraviolette peuvent voir des

d ´etails plus fins que les microscopes

utilisant la lumi `ere visible. Les micro-

scopes ´electroniques qui utilisent des

longueurs d’onde de 10

ou 10

fois

celle de la lumi `ere visible, peuvent dis-

tinguer des points distants de 0,5nm.

Pouvoir de r ´esolution : exemple

Calculer la limite angulaire de r ´esolution de l’œil, en supposant qu’elle est d ´etermin ´ee seulement par la diffraction. Prendre le diam `etre de la pupille ´egal

`a 2,0mm et λ = 550nm. Quelle est la distance entre 2 points qu’on peut juste s ´eparer lorsqu’ils sont `a 25cm de l’œil ?

SOLUTION : La limite de r ´esolution est donn ´ee par θ

= 1, 22λ

D = 1, 22(550 × 10

m)

2, 0 × 10

= ∼ 3, 4 × 10

rad

ou 1,9×10

degr ´es. A une distance s = 25 cm, cet angle correspond `a un espacement de

y

= s θ

= (0, 25m)θ

= 8, 4 × 10

mm

Rayons X

En 1895, W.C.Roentgen d ´ecouvrit que le bombardement d’une surface de verre (ou de m ´etal) par des ´electrons acc ´el ´er ´es par un haut voltage dans un tube `a vide provoquait, `a une certaine distance, la luminescence de min ´eraux fluorescents. Roentgen attribua ce ph ´enom `ene `a un nouveau type de radia- tion, diff ´erent des rayons cathodiques (page 28-21). Roentgen trouva que ces rayons p ´en ´etraient certains mat ´eriaux plus facilement que d’autres et pr ´esenta la premi `ere photographie aux rayons X de la main de sa femme !.

Dans un tube moderne `a rayons X,

les ´electrons sont ´emis par un fila-

ment chauff ´e, puis ensuite acc ´el ´er ´es

dans le vide sous une diff ´erence de

potentiel allant de 10

V `a 10

V avant

de venir frapper une anode m ´etallique,

d ´ec ´el ´erer et ´emettre des rayons X.

Rayons X et la diffraction des rayons X

Les recherches montr `erent que ces rayons n’ ´etaient pas d ´evi ´es par des champs ´electriques et magn ´etiques → n’ ´etaient pas des particules charg ´ees.

On pensa qu’il pouvait s’agir d’une forme de lumi `ere invisible, mais les r ´eseaux ordinaires ne permettaient pas de mettre en ´evidence la diffraction et l’in- terf `erence des rayons X (λ = 0, 1nm et a = 3000nm → θ ∼ 0, 002

).

Ceci pouvait s’expliquer par l’hy- poth `ese que la longueur d’onde des rayons X (∼ 10

− 10

m) est beaucoup plus petite que l’es- pacement typique entre les fentes des r ´eseaux courants. M.V.Laue en 1912 sugg ´era que si, dans un cris- tal, la disposition des atomes es- pac ´es ∼ 10

nm ´etait effectivement r ´eguli `ere, on pourrait se servir des cristaux comme r ´eseaux de diffrac- tion.

La profusion de taches est li ´ee `a

la grande vari ´et ´e des orientations

des plans de r ´eflexion d ´efinis par un

r ´eseau cristallin.

Rayons X et la diffraction des rayons X

Dans un cristal simple, comme N aCl, les atomes sont dispos ´es r ´eguli `erement aux sommets de cubes adjacents, l’espacement entre les plans d’atomes ´etant d. 2 rayons interf `erent constructivement si leur diff ´erence de parcours, soit 2d sin θ, est ´egale `a un nombre entier de longueurs d’onde.

Il y aura interf ´erence constructive quand :

mλ = 2d sin θ

m = 1, 2, 3, · · ·

Ceci est l’ ´equation de Bragg. Si on connait λ et l’angle θ auquel il y a interf ´erence, on peut obtenir d. La diffraction des rayons X est devenue une tech- nique courante pour ´etudier la structure des cristaux.

Elle est devenue aussi un outil puissant d’ ´etude des

mol ´ecules, surtout dans le cas de grandes configura-

tions r ´ep ´etitives comme les prot ´eines et l’ADN. Ainsi

c’est gr ˆace aux rayons X que J.D.Watson et F.C.Crick

purent d ´eterminer en 1953 la structure en double

h ´elice de l’ADN.

Le disque num ´erique au laser

Un disque laser est un disque transparent mesurant 12 cm de diam `etre et 2µm d’ ´epaisseur. Une fois l’information enregistr ´ee, la surface inf ´erieure du disque pr ´esente une suite de bosses et creux dispos ´es le long d’une ligne en forme de spirale ; on enduit alors la surface bossel ´ee d’une couche m ´etallique r ´efl ´echissante. Un substrat de 1,2mm d’ ´epaisseur, fait de plastique transpa- rent, prot `ege le dessous du disque et lui donne sa rigidit ´e.

Les bosses enregistr ´ees sous le

disque ont une ´epaisseur de 0,11

µm (environ 1/4λ de la lumi `ere la-

ser) et une largeur de 0,5 µm ; la spi-

rale mesure 5 km de long. La lon-

gueur des bosses varie entre 0,833 µm

et 3,054µm selon l’information enre-

gistr ´ee. Lors de la lecture, le faisceau

laser suit la spirale et ´eclaire successi-

vement les bosses et les creux cr ´e ´es

lors de l’enregistrement.

Le disque num ´erique au laser

Quand le faisceau ´eclaire un creux de la piste, entre deux bosses, il est r ´efl ´echi et revient au d ´etecteur avec presque la m ˆeme intensit ´e, puisque la surface est r ´efl ´echissante. Au contraire, quand il ´eclaire une bosse, il revient avec une intensit ´e presque nulle. Deux facteurs conjugu ´es sont `a consid ´erer : 1) l’ ´epaisseur des bosses de λ/4, 2) le diam `etre du faisceau `a son arriv ´ee sur la surface mesure ∼ 2µm alors que la largeur de la bosse est 0,5µm. Quand le faisceau ´eclaire une bosse, une partie de la lumi `ere est r ´efl ´echie sur la bosse et une autre partie par les surfaces situ ´ees lat ´eralement de part et d’autre de la bosse. Ainsi la lumi `ere directement r ´efl ´echie sur ces 2 surfaces parcourt une 1/2 longueur d’onde suppl ´ementaire. Il y a interf ´erence de 2 faisceaux en opposition de phase, ce qui rend l’intensit ´e r ´esultante nulle.

La lumi `ere de retour est capt ´ee par une photodiode qui produit un signal

´electrique qui est amplifi ´e et d ´ecod ´e avant d’ ˆetre achemin ´e au haut-parleur.