Intégrale de Fresnel

Intégrale de Fresnel

Référence : Les maths en tête, analyse. Xavier Gourdon 2011-2012

On pose dans la suite :

F(t) = Z Z

[0,t]²

e^i(x2+y2)dxdy f(t) =

Z t

0

e^ix2dx I(T) = 1

TF(t)dt On cherche à montrer :

Théorème 1

L’intégrale de Fresnel vaut :

Z ∞

0

e^ix2dx=

√π 2 e^iπ/4.

Démonstration. Il est assez clair que F(t) =f(t)². Calculons-la d’une autre manière.

[0, t]²est symétrique par rapport à la première bissectrice, et donc, en posant ∆t={(x, y)∈R²|06y6x6t}: F(t) = 2

Z Z

∆t

e^i(x2+y2)dxdy.

La vision dex²+y² donne très envie de passer en polaire. ∆tdevient alors Kt={(r, θ)∈R⁺×[0,π

4]|06rcosθ6t}. On a donc, par changement de variables :

F(t) = Z Z

Kt

e^ir2rdrdθ.

Par théorème de Fubini (on est sur un compact) :

F(t) = 2 Z π/4

0

Z t/cosθ

0

e^ir2rdr

! dθ

= Z π/4

0

1 i

exp

i t²

cos²θ

−1

=iπ 4 −i

Z π/4

0

exp

i t² cos²θ

dθ

1

On a donc, en utilisant à nouveau le théorème de Fubini :

I(t) = iπ 4 − i

T Z π/4

0

cos(θ)f T

cosθ

.

Lemme 2 ϕ=R∞

0 e^ix2dxest semi-convergente.

Démonstration. On poseu=x². Alors :

ϕ= 1 2

Z ∞

0

e^iuu^−1/2du

qui est semi-convergente (faire une intégration par parties). ♦

f est donc bornée surR⁺, et doncI converge vers ^iπ₄ en +∞. Par ailleurs, on a

I(T) = 1 T

Z T

0

f(t)²dt,

, etf(t)²converge versϕ²en +∞, donc, par théorème de Césaro,Iconverge versϕ² en +∞. Finalement,ϕ=±^√₄^πe^iπ/4. Il ne nous reste qu’à trouver le signe. Pour cela, regardons

s= Im(ϕ) =1 2

Z ∞

0

sin(x)x^−1/2dx.

On peut écrire

s=XZ 2(n+1)π 2nπ

sinu 2√

udu

=XZ 2(n+1)π 2nπ

sinu 2

1

√u− 1

√u+π

dy

et chaque terme de la somme est positif.

D’où le résultat.

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