Sur les intégrales de Fresnel

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G ODEFROY

Sur les intégrales de Fresnel

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 17 (1898), p. 205-206

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SUR LES INTÉGRALES DE FRESNEL;

PAR M. G0DEFR0Y, Bibliothécaire universitaire.

Les méthodes (jue Ton donne dans tous les Ouvrages pour calculer les intégrales de Fresnel recourent à Femploi des imaginaires et impliquent par là même la connaissance de la théorie de l'intégration d'une fonc- tion d'une variable complexe, à moins de manquer de logique ou de rigueur. Cependant, par une légère mo- dification de procédés connus (uoiVH. LAURENT, Traité d'Analyse, t. III, p. 13^), on peut éviter l'introduc- tion du nombre i} c'est la seule originalité de la démon- stration suivante.

Si dans l'intégrale définie

on faille changement de variable x =y \]t, on en tire

sjt SJT. JO

d'où, en multipliant les deux membres par sintdt, puis par cos t dt et intégrant par rapport à t de o à Too,

I ——— = - - ƒ dy I e-b* smt dt, Jo sjt y/Wo Jo

rx cos tdt 2 r00 , r*1

I — = -— / dy ! e~f>* cos tdt:

./0 S/t faJa ' J»

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( 2o6 ) mais on sait que

/ e-f>* sin tdt = — -, I e-W cos t dt = -j_

par conséquent,

sin^ dt _ 2 T* r( / y

cos tdt

si dans la première de ces intégrales on change y en — >

on obtient la seconde, on en conclut que les deux inté- grales sont égales entre elles et, par suite, à leur demi- somme

, dy ; or

r i-tz!^

r

^i r ^_ + L r

<!o *+yk ' v0 72+ / ^ + [ v0 ^ - . c'est-à-dire

* 0 ^

^= — - arc tan^

on a donc

! sin iÇ dt r^x cos t dt

dt

_

fi

T - V V

ou, en posant x2 = t,

I sinjc2 c/ic = I cosir'2 öfjr = - 4 / - •