Méthodes de projection pour les équations intégrales.

Méthodes de projection pour les équations intégrales.

Résumé

Dans cet exposé, il s'agit de démontrer la convergence des méthodes de projection pour l'ap- proximation des équations de Fredholm du second type. Bien que les méthodes de projection ne soient pas réservées à la résolution de ces seules équations, la théorie de Riesz permet de conclure à la convergence des méthodes sous des hypothèses très faibles. Pour commencer, nous allons dénir les méthodes de projection ainsi que la notion de convergence d'une méthode.

La référence principale est [Kre99]. Il faut se reporter aux pages 28 pour la théorie de Riesz, 163 pour le passage de la convergence ponctuelle à la convergence en norme, et 218 pour l'étude des méthodes de projection.

Avant toute chose, expliquons ce que l'on entend par équation de Fredholm du second type. Étant donné un opérateur compact borné A : X → X sur un espace vectoriel normé X , tel que I − A soit injectif, il s'agit, pour f ∈ A(X), de résoudre le problème :

trouver ϕ ∈ X tel que Aϕ = f (1)

L'exemple typique d'opérateur compact, qui justie à lui seul cette étude, est celui d'un opérateur à noyau. Pour le construire, on se place sur l'espace normé (C(D),k.k _∞ ) des fonctions continues sur un compact mesurable D ⊂ R ^N fermeture de son intérieur. Ces fonctions seront prises à valeurs réelles.

On se donne alors un noyau, ie une fonction K : D ×D → R, continue. On dénit alors notre opérateur à noyau par la formule :

A : f ∈ C(D) 7→ Af ∈ C(D) (2)

(Af )(x) = Z

D

f (y)K(x,y)dy (3)

On peut alors montrer que notre opérateur est compact (grâce au théorème d'Ascoli), et l'équation de Fredholm (1) devient une équation intégrale, que l'on rencontre très fréquemment en physique, lors de l'étude de phénomènes de conservation globaux (par exemple l'équation d'Helmoltz, ou, de façon plus simple, celle du transport lumineux).

Dénition 1. Projecteur Soit X un espace vectoriel normé, et U ⊂ X un sous espace non trivial.

Un opérateur borné P : X 7→ U est appelé projecteur s'il vérie ∀ϕ ∈ U, P ϕ = ϕ .

Dénition 2. Méthode de projection On se donne X et Y deux espaces de Banach, ainsi que A : X → Y un opérateur borné injectif. Pour f ∈ A(X) ⊂ Y , on cherche à approximer la solution du problème :

trouver ϕ ∈ X tel que Aϕ = f (4)

Pour se faire, on se donne une suite de sous espaces vectoriels X _n ⊂ X et Y _n ⊂ Y de dimension nie n , ainsi que des projecteurs P n : Y → Y n . On considère alors le problème approché :

trouver ϕ n ∈ X n tel que P n Aϕ n = P n f (5)

Cette méthode de projection est dite convergente s'il existe un rang n ₀ à partir duquel pour tout f ∈ A(X) , l'équation approchée (5) admet une unique solution ϕ n ∈ X n , et que cette solution converge vers la solution ϕ de (4), ie. ϕ _n −−−→

n→∞ ϕ .

Remarque. Cette condition de convergence peut s'exprimer plus simplement en fonction de l'opérateur A n = P n A : X n → Y n . Elle signie simplement qu'à partir d'un certain rang, cet opérateur est inversible (ie que le système linéaire obtenu est inversible), et que de plus, on a une convergence ponctuelle :

A ⁻¹ _n (P n f) = A ⁻¹ _n (P n (Aϕ)) = (P n A) ⁻¹ P n Aϕ −−−→

n→∞ ϕ (6)

Il faut bien sûr garder à l'esprit que l'opérateur A n est déni sur X n alors que l'opérateur composé P _n A est déni sur X tout entier. Ainsi, l'opérateur (P _n A) ⁻¹ P _n A n'est pas l'identité (c'est justement notre but : approcher l'identité à l'aide de cet opérateur), il faut tenir compte des ensembles de départ et d'arrivée !

Avant d'étudier la convergence des méthodes de projection, nous allons donner des résultats relatifs à l'inversion d'opérateurs limites d'une suite d'opérateurs, en distinguant les cas où la convergence est ponctuelle ou en norme. Le premier théorème fondamental est celui de Banach-Steinhaus, que nous ne faisons que rappeler (se reporter à [Kre99, p.165] ou [Bre83, p.16] pour une preuve), ainsi qu'un corollaire important sur la continuité d'une suite d'opérateurs bornés convergeant ponctuellement.

Théorème 1. Banach-Steinhaus Soit {A _n } _{n∈ N} une suite d'opérateurs bornés A n : X → Y entre deux espaces de Banach X et Y . On suppose que la suite est bornée ponctuellement, ie que pour tout ϕ ∈ X , il existe une constante C _ϕ telle que kA _n ϕk _Y ≤ C _ϕ . Alors, la suite est bornée uniformément en norme, ie il existe une constante C telle que ∀n ∈ N, kA _n k ≤ C.

Corrolaire 2. Continuité d'une limite ponctuelle Soit {A _n } _{n∈ N} une suite d'opérateurs bornés A _n : X → Y entre deux espaces de Banach X et Y . On suppose que cette suite converge ponctuellement vers un opérateur A : X → Y , ie que ∀ϕ ∈ X, A _n ϕ −−−→

n→∞ Aϕ . Alors l'opérateur A est à son tour borné.

Démonstration. Il sut de noter que pour tout ϕ ∈ X , la suite {A _n ϕ} _{n∈ N} de Y est convergente donc bornée. En appliquant le théorème 1, on en déduit que la suite {kA _n k} _{n∈ N} est bornée, donc sa limite kAk aussi.

Pour obtenir des résultats de convergence en norme à partir d'une simple convergence ponctuelle il faut de la compacité, comme le précisent les deux théorèmes suivants (cf. [Kre99, p.167]).

Théorème 3. Compacité et convergence uniforme Soit {A _n } _{n∈ N} une suite d'opérateurs bornés A _n : X → Y entre un espace normé X et un espace de Banach Y . On suppose que la suite converge ponctuellement vers un opérateur A : X → Y (à son tour borné grâce au corollaire 2). Alors, la convergence est uniforme en norme sur tout ensemble compact U ⊂ X , ie :

sup

ϕ∈U

kA _n ϕ − Aϕk _Y −−−→

n→∞ 0 (7)

Démonstration. Tout d'abord, comme on l'a déjà remarqué pour le corollaire 2, la convergence ponc- tuelle entraîne l'existence d'une borne uniforme C sur les normes kA _n k ainsi que kAk . On se donne > 0 , et on considère le recouvrement par des boules de rayon :

U ⊂ [

ϕ∈U

B(ϕ,) (8)

Comme U est compact, on en extrait un sous-recouvrement ni :

Comme on a la convergence ponctuelle A _n ϕ _i −−−→

n→∞ Aϕ _i pour un ensemble ni d'éléments ϕ ₁ , . . . ,ϕ _m , on peut trouver un entier N tel que pour n ≥ N , on ait :

∀j ∈ {1, . . . ,m}, kA _n ϕ _j − Aϕ _j k _Y ≤ (10) Donc au nal, si on prend ϕ ∈ U quelconque, comme cet élément se trouve dans une des boules ouvertes B(ϕ _j ,) écrite en (9), on a :

kA _n ϕ − Aϕk _Y ≤ kA _n ϕ − A _n ϕ _j k _Y + kA _n ϕ _j − Aϕ _j k _Y + kAϕ _j − Aϕk _Y (11)

≤ kA _n kkϕ − ϕ j k + + kAkkϕ − ϕ j k par (10) (12)

≤ (2C + 1) car ϕ ∈ B(ϕ j ,) (13)

Théorème 4. Convergence ponctuelle et convergence en norme On considère une suite {L _n } _{n∈ N} d'opérateurs bornés L _n : Y → Z , avec Z un espace normé et Y un espace de Banach. On suppose de plus que cette suite converge ponctuellement vers un opérateur L : Y → Z (lui aussi borné).

On se donne aussi un opérateur compact borné A : X → Y , où X est un espace vectoriel normé quelconque. Alors on a convergence en norme de la suite d'opérateurs bornés compacts L _n A : X → Z vers l'opérateur LA , ie :

k(L _n − L)Ak −−−→

n→∞ 0 (14)

Démonstration. L'ensemble U = {ψ = Aϕ,kϕk _X ≤ 1} est relativement compact. Donc avec le théorème 3, la convergence ponctuelle L _n ψ −−−→

n→∞ Lψ est uniforme sur U donc sur U , ie, si on se donne > 0 :

∀ψ = Aϕ ∈ U, kL _n Aϕ − LAϕk _Z ≤ (15)

Ce qui est exactement dire que k(L _n − L)Ak _L(X,Z) ≤ .

Enn, terminons par un théorème qui permet d'armer de bonnes propriétés d'un opérateur limite en norme d'opérateurs bornés inversibles (cf. [Kre99, p.164]).

Théorème 5. Convergence en norme et inversibilité Soit {A _n } _{n∈ N} une suite d'opérateurs bornés A n : X → Y entre deux espaces de Banach X et Y . On suppose que cette suite converge en norme vers un opérateur borné A : X → Y qui est à la fois inversible et tel que son inverse soit borné.

Alors, à partir d'un certain rang, les opérateurs A n sont eux aussi inversibles et d'inverses bornés.

Démonstration. Il sut d'écrire : A n = A

I + A ⁻¹ (A n − A)

(16) Dans l'algèbre de Banach L(X,Y ) , sous la condition kA ⁻¹ (A _n − A)k < 1 , qui est réalisée à partir d'un certain rang, l'opérateur I + B n = I + A ⁻¹ (A n − A) est inversible et d'inverse borné (considérer la série de Neumann P

k B _n ^k ). Comme A est aussi inversible d'inverse borné, on en déduit que A _n est

inversible d'inverse borné à partir d'un certain rang.

Pour prouver la convergence des méthodes de projection dans le cas des équations de Fredholm du second type, il nous faut donner une caractérisation simple de la notion de convergence d'une méthode de projection. C'est ce que l'on fait dans le prochain théorème (en suivant [Kre99, p.220]). Mais avant toute chose, précisons que l'on se place dans le cadre où les espaces X _n sur lesquels on projette possèdent la propriété de densité en norme, ie :

∀ϕ ∈ X, inf

ψ∈X

kψ − ϕk −−−→

n→∞ 0 (17)

ce qui est bien sûr une condition nécessaire pour espérer pouvoir construire des méthodes convergentes (et qui n'est pas loin d'être susante, comme le montre le résultat suivant).

Théorème 6. CNS de convergence des méthodes de projection On se place dans le cadre de densité décrit par (17). Une méthode de projection pour un opérateur A : X → Y entre deux espaces de Banach X et Y converge si et seulement si il existe un rang n ₀ à partir duquel les opérateurs de dimension nie P n A n : X n → Y n sont inversibles et si les opérateurs d'approximation (P n A) ⁻¹ P n A : X → X n sont uniformément bornés, ie :

∃M > 0, ∀n ≥ n ₀ , k(P _n A) ⁻¹ P _n Ak ≤ M (18) Dans ce cas, on a une estimation de l'erreur commise en approchant ϕ ∈ X par la solution approchée ϕ _n = (P _n A) ⁻¹ P _n Aϕ :

kϕ − ϕ n k _X ≤ (1 + M) inf

ψ∈X

kψ − ϕk (19)

Démonstration. On a déjà dit que la convergence de la méthode de projection pour A équivalait, à partir d'un certain rang, à la convergence ponctuelle des opérateurs d'approximation

B n = (P n A) ⁻¹ P n A : X → X n (20)

Dans un sens, si on suppose que la méthode de projection converge pour A , alors la convergence de (20) assure, avec le théorème 1, celui deBanach-Steinhaus, que les opérateur B n sont bornés uniformément en norme, ce qui donne bien (18).

Réciproquement, on suppose que l'on a la borne(18). On écrit simplement :

ϕ n − ϕ = (B n − I)ϕ = ((P n A) ⁻¹ P n A − I)ϕ (21)

Et comme, les éléments ψ ∈ X n sont invariants par B n , on obtient :

ϕ _n − ϕ = (B _n − I)(ϕ − ψ) = ((P _n A) ⁻¹ P _n A − I)(ϕ − ψ) (22) D'où l'estimation (19) et le résultat voulu.

Remarque. L'équation (19), souvent appelée lemme de Céa, montre que l'erreur commise par l'approxi- mation dépend de la façon dont on peut approcher des éléments de X par des éléments de X _n , ce qui est très intuitif.

Avec tous les résultats accumulés, on peut maintenant énoncer et démontrer le théorème de conver-

gence pour les équations de Fredholm du second type (simplié par rapport à l'énoncé de [Kre99, p.221],

espace de Banach X , tel que I − A soit injectif, et l'on cherche à résoudre l'équation de Fredholm, pour f ∈ Im(A) = A(X) :

trouver ϕ ∈ X tel que ϕ − Aϕ = f (23)

Pour approcher la solution, on n'a besoin que d'une suite X _n d'espaces de dimension nie n , ainsi que de projecteurs P _n : X → X _n , ce qui conduit à la résolution de l'équation en dimension nie :

trouver ϕ _n ∈ X _n tel que ϕ _n − P _n Aϕ _n = P _n f (24)

Si l'on suppose I − A injectif et f ∈ (I − A)(X) , c'est ce que l'on appellera une méthode de projection pour I − A .

Théorème 7. Convergence pour les équations de Fredholm du second type On suppose que A : X → X est borné compact sur X un espace de Banach, et tel que I − A soit injectif. On suppose de plus que les projecteurs P _n convergent ponctuellement, ie que ∀ϕ ∈ X, P _n ϕ −−−→

n→∞ ϕ . Alors la méthode de projection pour I − A détaillée en (24) converge.

Démonstration. La première remarque importante est que la convergence des projections P n ϕ signie la convergence de la méthode pour l'opérateur identité I . Avec le théorème 6, on a donc l'existence d'une constante M telles que kP _n k ≤ M .

Avec la théorie de Riesz, comme A est compact, l'opérateur I − A : X → X qui est injectif est donc aussi bijectif, et d'inverse borné par M ₁ .

La convergence ponctuelle de P _n vers I ainsi que la compacité de l'opérateur A entraîne, par le théorème 4 la convergence en norme de l'opérateur P n A : X → X n vers l'opérateur A : X → X, ie :

k(P _n − I )Ak = k(I − P _n A) − (I − A)k −−−→

n→∞ 0 (25)

Donc avec le théorème 5, à partir d'un certain rang n ₀ , l'opérateur borné I −P _n A est inversible, d'inverse bornée. Si on restreint cet opérateur à X _n , on obtient que l'opérateur I − P _n A = P _n (I − A) : X _n → X _n est inversible, d'inverse borné par M 2 .

Pour montrer la convergence de la méthode pour I − A , il ne reste plus qu'à montrer la condition (18), ce qui est immédiat :

k [P _n (I − A)] ⁻¹ P _n (I − A)k ≤ k(P _n (I − A)) ⁻¹ kkP _n kkI − Ak ≤ M ₂ M M ₁ (26)

Références

[Bre83] Haïm Brezis. Analyse fonctionnelle. Dunod, 1983.

[Kre99] Rainer Kress. Linear integral equations. Springer Verlag, 1999.