N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
V AHLEN
Sur la surface de Fresnel
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 14 (1895), p. 344-347
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SUR LA SURFACE DE FRESNEL;
PAR M. LE Dr VAHLEN.
Nous cherchons l'équation de la surface de Fresnel pour n dimensions.
La variété ellipsoïdale cf, définie par l'équation
JLL i ' v ' ' ' ' -
i
est coupée par une variété plane C de n — i dimensions, passant par le centre de cf. Nous élevons des perpendi- culaires sur C au centre, égales aux demi-axes princi- paux de la variété ellipsoïdale <£, commune à <ƒ et C.
En variant C, les points extrêmes de ces perpendiculaires décrivent la variété de Fresnel, dont nous voulons éta- blir l'équation.
Nous transformons l'équation de cî parla substitution orthogonale
Suit £r = o l'équation de la variété plane C, l'équa>-
( 345 )
tioii de <I> sera
i,k h
En désignant par a le carré inverse d'un demi-axe principal de <ï>, les n — i valeurs de a sont les racines de l'équation de Laplace, ici de l'équation
Ordonnée suivant les puissances de a, cette équation s'écrira
/ Àa>hXhiXh
- « y
h i,k yt n,nl
2jxhxhix-hh
Nous appliquons le théorème de Cauchy, concernant la somme des carrés des déterminants d'un système oblong et nous obtenons
A u m o y e n d ' u n t h é o r è m e c o n n u sur les s u b d é t e r m i - n a n t s de systèmes orthogonaux (*), l ' é q u a t i o n se trans- e s Si (alk), {i,k — \, ...,n) est un système orthogonal, le carré d'une matrice du système est égal au carré de la matrice adjointe;
par exemple,
( 346 ) formera dans la suivante :
Xhn
ah.ai^an- axa<L...a,l h^h^ht — X
Posons
les variables ^ sont les coordonnées du point extrême du demi-axe principal —, normal à C au centre; et
/a
l'équation de la variété de Fresnel devient
y • — . • . ^ x j •*.
h,}lahz alai. . . an
*<"A</
>2
Dans cette équation, — est multiplié par
A,, / *a t. . . , A „ - i = l l , / t2, . . . , / l / i - i ^ A ) ,
c'est-à-dire par
a
î
( 3 47)
C'est par cette remarque que l'équation se réduira à celle-ci :
h
A l'aide de l'identité
>,& = ., ou
h h
l'équation prendra la forme finale
a a k
En supposant l'équation de § donnée dans la forme
l'équalion de la variété de Fresnel sera
