Formalisme bicomplexe des ions hydrogénoïdes

Formalisme bicomplexe des ions hydrog´eno¨ıdes

J´er´emie Mathieu†, Louis Marchildon† et Dominic Rochon‡

†_{D´epartement de physique,} ‡_{D´epartement de math´ematiques et d’informatique, Universit´e du Qu´ebec `a Trois-Rivi`eres}

R´esum´e

Nous proposons une solution analytique compl`ete du probl`eme de l’atome d’hydrog`ene et des ions hydrog´eno¨ıdes en g´en´eral, formul´ee en termes des nombres bicomplexes. En r´esolvant l’extension bi-complexe de l’´equation diff´erentielle de Schr¨odinger en coordonn´ees sph´eriques, on obtient les valeurs propres et les fonctions propres qui y sont associ´ees sous une forme explicite.

Introduction

Diverses g´en´eralisations du syst`eme de nombres complexes qui sous-tend la formulation math´ematique de la m´ecanique quantique sont con-nues depuis quelque temps, mais l’utilisation de l’anneau commutatif des nombres bicomplexes `a cette fin est une id´ee relativement nouvelle.

Nombres et fonctions bicomplexes

On peut d´efinir un nombre bicomplexe w de la fac¸on suivante w := w

b1e1 + wb2e2, avec wb1, wb2 ∈ C(i1) .

Les unit´es imaginaires e₁ et e₂ satisfont les propri´et´es

e2₁ = e₁, e2₂ = e₂, e₁ + e₂ = 1 et e₁e₂ = 0 = e₂e₁.

On additionne et multiplie respectivement deux nombres bicomplexes de la fac¸on suivante w + x =

_∑

k w bk + xbk
ek, wx =

∑

k w bkxbkek.

Avec l’addition et la multiplication, l’ensemble de ces nombres forme une structure alg´ebrique d’anneau commutatif. On d´efinit une fonction bicomplexe f de n variables bicomplexes w_k comme

f (~w) := f

b1 ~wb1
e1 + fb2 ~wb2
e2.

Avec le produit scalaire, la norme et la m´etrique naturelles, l’ensemble des fonctions bicomplexes quadratiquement int´egrables de n variables r´eelles forme un espace d’Hilbert bicomplexe de dimension infinie.

´

Equation de Schr¨odinger

La dynamique d’un syst`eme quantique bicomplexe est r´egie par l’ex-tension de l’´equation de Schr¨odinger

i_1~ ∂

∂tΨ(~r, t) = HΨ(~r, t) .

Pour les ions hydrog´eno¨ıdes, l’hamiltonien H, qui repr´esente l’op´erateur ´energie, prend la forme

H = 1 2µP 2 ₋ Ze2 R , o`u P = q P<sub>x</sub>2 + P<sub>y</sub>2 + P<sub>z</sub>2 et R = pX2 +Y 2 + Z2. L’axiome de base de notre formalisme consiste `a supposer que les com-posantes tridimensionnelles X_i et P_k des op´erateurs de position ~R et d’impulsion ~P satisfont `a la relation de commutation canonique

[X_i, P_k] = i_1~δik ξ

b1e1 + ξb2e2
I, avec ξb1, ξb2 ∈ R +

. Dans la repr´esentation diff´erentielle, l’hamiltonien s’´ecrit alors

H = −~ 2 ξ2 2µ ∇ 2 ₋ Ze2 R , o`u ∇ 2 := ∂ 2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2.

Valeurs propres de H

L’´equation aux valeurs propres associ´ee `a celle de Schr¨odinger est Hψ_E(~r ) = Eψ_E(~r ) .

Les relations de commutation entre l’hamiltonien H, le moment cin´etique ~L et le vecteur de Runge-Lenz ~A d´efini par

~_{A :=} 1 2µ



~_{P ×~L −~L × ~P} _{− Ze}2 ~R

R

conduisent `a l’expression suivante pour les niveaux d’´energie hy-drog´eno¨ıdes E E = ( − µZe 4 2~2ξ2 b1 n2 b1 ) e₁ + ( − µZe 4 2~2ξ2 b2 n2 b2 ) e₂.

Fonctions propres de H

En ´ecrivant d’abord le Laplacien ∇2 en coordonn´ees sph´eriques, on transforme l’´equation aux valeurs propres en une ´equation diff´erentielle partielle du second ordre. Une s´eparation des variables r´eduit ensuite celle-ci `a un syst`eme de trois ´equations diff´erentielles or-dinaires qu’on r´esout individuellement par diff´erentes techniques. On trouve finalement que la fonction d’onde spatiale ψ_E(~r ) peut s’´ecrire explicitement comme ψ_E(~r ) = u_nl(r)Y_lm(θ, φ) , avec Y_lm := Y_l b 1mb1 e₁ + Y_l b2mb2

e₂ les harmoniques sph´eriques hyperboliques et u_nl la fonction radiale donn´ee en termes des polynˆomes de Laguerre hyperboliques u_nl(r) =

_∑

k e_k q U_n0 bklbk e−ζbk/2ζ l bk bk L2lbk+1 n bk−lbk−1 ζ bk
. a3/2_{0 Re (u8822}) a3/2_{0 Hy (u8822}) a3₀ku8822k2

FIGURE. 1 – L’atome d’hydrog`ene dans l’´etat propre n

b

1nb2lb1lb2
= (8822), avec ξb1 = ξb2 = 1.

Conclusion

Nous avons obtenu les valeurs propres et les fonctions propres des ions hydrog´eno¨ıdes bicomplexes. De plus, pour n

b1 = nb2, lb1 = lb2, mb1 = mb2 et

ξ

b1 = ξb2 = 1, on retrouve le cas habituel, i.e. les fonctions d’onde et les

niveaux d’´energie de la m´ecanique quantique standard.

R´ef´erences

[1] Baley Price G. An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, 1st edition, Marcel Dekker Inc., University of Kansas (1990).

[2] Gervais Lavoie R., Marchildon L. et Rochon D. The Bicomplex Quantum Harmonic Oscillator, Nuovo Cimento Soc. Ital. Fis. (2010).

[3] Marchildon L. M´ecanique Quantique, 1i`ere ´edition, de Boeck Universit´e (2000).

[4] Rochon D. et Shapiro M. On Algebraic Properties of Bicomplex and Hyperbolic Numbers, Anal. Univ. Oradea (2004). [5] Rochon D. et Tremblay S. Bicomplex Quantum Mechanics : II. The Hilbert Space, Birkh¨auser Verlag