Application micro-acoustlques.Contribution I I électronique Institut

!

l

I

I

Répuhlulue ý/gérlt!"n ^" Démocr(lliqlle el I!.!..!J.JII/air.:

Ministère

de

l'Ens

_tgnem ý1I1

Supérurur

el de la Recherche ^..

cientifique

Université _de Constantine Institut d'électronique

en \ ue de

l'obtention

du

Di

plô

^{m e}

de

Md

ri u.er:

e ¹

électronique

OPT/()N: -

^j

[lcro-ondes

. .

micro-acoustlques. Contribution aux onde

Application ^au LiNb03 ^et LiTa03 I

I ^{Mo dé}

^li

^{ion du spectre des ondes}

I

I

SC'BW.

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i

Presentee par:

^r.

BElA

^{1 R}

Mounir

SOUlèllOU cc pré u n hn 1996

de ant' Jury ^unvant

ýl\l : A. 80 hJ ^\Il CIl:

1. E SLA! L\

}t'. JAIlLI

A. lU'" Gl :\.LJ..

.. CIL\.AB

. 1.. ^. Constantine

" CUll tantu e

!\l. . li.

s-ur .c. '.

⁰¹ stnntln .C. ^{'. 'onstan} til C

Pré ýitl(.'nt

1 apporteur Exumln.u ^'ur

li tumlnurr-ur II\itt·

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1 1 1

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REMERCIEMENTS

:\ ce litre _JC r..:nacr",.c vrverueru ýIOnMýW .\/..J/d. hým'.Jm4J .\IýIrC ý C.,nJcr\.,,,-ý ^.I

11natIIUl J'I.ýIIýUC en me l.unJ.WnI WI Il ý\.aJ lOUl..h.&n1 le JoI1U11\C Je: ^1'.. oustoclectr» ..^{I(; ..}

Je lw .wa cxucmcmcnr rc\.vruý JQ cn"ow ,,ýýml,;nb cl ýi I.oru.clb qu'li ^{m'ý ý .... ,' ..}

prýUQ ,)u'11110UH: l''':\.plcýl)n ý mon p,\)lonJ rc:\ý\'l cl nu smcerc W.llJlý.

Je \ou.ll.u. .. temoigner na prolonJc re^...onn.&1lt.ýr".c ^ý \lorL\IC':W' 11.:n4Jl,..J D]^{".r: ,} ctlKtgll.ml ^, l't _{nJ\t:n'IIC Je} BýInA. pow wu ýJc lIl.lpprC\.I ^..ahlc, pour ^ý parucspauon ^dý11\:':

lOW ,U IOIlý J..: me.. Il.J\Al1'\.. &ln'. que pow le., nombreuses d1.ýýons, où ^j'.l1 pUlM 1.lrd

J".Jcc. SO" Arml1c .. ýh^.. I.(ln,l.a.nlc.:. cl m', beau ^...oup soutenu JC Iw cn 5ý tres reconnais ^...IL'

MO'UkW F Oj4JJaiJ, l\Lull'c Je Conference .. l1rutllluJ d'EI"lrorUquc de l'Unrversi«, ,!..

ýbJ, ^.. ýpu U1uucd&.aýmcnJ ^{de !IlC} <kpýcr pow paruciper au jUl) cl examiner cette Ih....,..;

JC \c ranc:rl.lC vivement.

Je IICDI " expnmer ^nu rcýý(c ý ýkýICW" lai ýwtrcs de: Contéren.,c-

A^..9ýJw, A.B.n}ihubJ cl.rtChaJubl, qui ^se sont U11c:rcý À mon étude cl qui m'ont ^l..ll(

l'honnc ... de ,.nicipcr ^{À ce} JW)'.

Qu'il me ^lOia pennia crMIOcier d.Ina WIC même pçnséc amiQJc tOUi ceux qw ^ml!

I,;onlribué à la réativtion de ce CU\-ailý qu'ib ttOU\'CJlC COus Ï\;i 4'cxprcs&on de m.1 profou.Ic ')mJWhic.

SOMMAIRE

I:"CTRODUCfION

p.age.

"

I

Ch. pi tre I :

Propaption d'ondes

_...

d ... ^WI cristal ^- Général ..

1

1-) IntJex.tocboa

I·2 I)ctiruUolll de la pètJ'ý

1-_\ Fqu.wona de lA piCJ'ý

1-4 1-_.qlUUOIlI de Chna lone! et ^5ý dca lcnIcun

1 1

3 5

Chapitre IJ : Ondes élastiques ^d... e

cri5taJ1in

.uldcouches

Il

il-l lntroduaioo

il- 2 ExciUtion dc:a oodca ý I*' un IDT U-2-1 Principe ^de rcxciution ^des oodca de IUlfxe

Il-3 Struc ^turc: '1luJticouc.hea

ll-3-1 Eqý8 du mouvement des particulca et du potentiel ^{dana b} p'" _coucbc

ll-3-2 Fý ^{ý-C ý} 101ution dans la ý couche il-3-3 Cornpo-tement ^des rscines

ll-3-4 Conditio'lS aux limites II^-3-5 C4.'1 spéciaux

Il4 Cas d'une seule couche infinie ^- ondea de volume

Il-5 Cas d'une coucbc acmi-infinic - 0Ddca KOUItiquca

de surface et pacudo 0Ddca ý de surface

II -5-1 Ondes acoustiquca de lUrÛcc (SAW)

Il-5-2 Pseudo ^ondes KOUItiquca ^de lUIface (psA _W)

Il 12 12 16 16

19

24 26 29 32

34

37 4'

I

I

Chapitre

III : Etude des ondes

traJ1SVersales

57 ^.,

I à

polarisation horizontales

(ondes

T.H)

r

ur-i Introduction

ý,

Ill-2 Etude ra ondca ru dma Wl dcnùýpacc: S'A

I

IlI-2-1 Relation de diapenion

LTl-2-2 Carxctérisnques de Tonde: ru _S9

I

111-2-ý-1 ViýCNM: de phase ýSJ

IIl-ý-2-2 Fr-_:quence de coupure 6ý

I

111-2-2-3 Direction du ýlCW" d'onde 65

W-2-24 Direction ^du flux d'énergie 6S

I

III -2-_{2 - 5 U}f"_Ution _{de la} rcpr-éIcnlAtioo graphique 69

III-3 Etude ùýa ondes

ni

^{dana une} plaque 11

I

I11-3-1 Descripuon 71

ill-3-2 Principe ^de foncbonncmcnl 72

I

ill- 3-3 Approx:imaIion da model de plaque 7it

III -3-4 Appro.mnaaioo da

hw.ux

l'Mée 74

I

ill-J-5 B.uký ^p,eem!c 71t

,li -j -{) l-réqeeoce ^{dee modca de} plaque

n

I

( 'hapirre IV ^:

Spectre d'ondes acoustique.

^9-1

I

^{eacitèes par wv source}

1\ -1 InlIoductlOn 9'\

I

^{1\' _ý} l'omwlaboll du pcobIèmc 91

1\' ._ý Solutioo _ý Ulk81.ooo oumtrique 9'

I

^{j \ -ý .')t)lwioo u.hhunl} l'l.Il1egraboo ^{AUlour du} conlOUr",,"uplcxc 105

1\' --l- l I)efOllll.AUoll du chemm ý 10'

I

^{1V -4- 1.} Cootribuooo duc AUX pôk:a 11\

1\ ^-4- 3 Cootribuboo duc aux poinII de bnochc:mmla 111

I

^{IV- 5 Réputitioo de la pN'IDCC 118}

IVý Aux de pU_ID« ^d _{anaJc de} tJux de prinençe 111

I

^{IV -6-1 Milieu infini - oodc de volume }2S}

IV ý2 Milieu lCIIIi-ia&ai - SAW ct peelldo SAW 125

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I I I I

I

COýCLUSION :\Ný":XES

Aluw xe A : _Coupee d'un criül cc dirodiooI cie JII'OPIP'im

pour rcXCdabon dca oodca Ký",ICI

CM de Nioha&c de ^{1 jlbilgn}

I\J1UC1ý 8 : C4\k;.u1 de. ékmc::n&a de J,a lDAIricc A

Anne xe C : EvaI'laban dee ncinca CC dca WCICUn

propCi pour une ý (.OfDr"c pria d'uD _poÎIII de bnnc.bcmcD1

AD.oeu D : Eva"'" ... ^de réqualioD IV-50

WbIJocrapbAe

14' 1ý

lSI

16'1

..

LEGENDE DES FIGURES

FIGURES _PAGES

..

Fig I-.!

Fig 1-2

F19 11-1

Fly 11-2

Fl.') 11-3

Fi) 11-4

Polarisation des trois ondes de volume ^.

Varlations des lenteurs des ondes de volume en fonction

de l'angle de coupe.

Géneration des dlfférentes ondes élastlques par un lOT.

Interférence constructives

en ondes de surface.

Interférence constructives

en ondes de volume.

Structure multlcouches.

8

10

13

13

15

17

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

F ý ,) I 1- ý Vd r ¹ dt ^{1 0} n^ti du mo n bred e

rdClnýti réýlles en fonction

dý Id vltesse.

ý i') 11-6 Vdrlýtlons des vltesses des

dý8 ondes ýd volume en fonction

dý l'dogle de coupe.

F "j I 1-7 oSt ru ct ure sem le ^- ln f ln i e .

Flý 11-8 Deplacements acoustlques ^de l'onde SAW .Cas du LiMbO).

Flý 11-9 Potentlel de l'onde SAW.

Ca. du L1NbOl.

Fig 11-10 Déplacements acoustiques ^de l'onde SAW .Cas du LiTaOl.

Flg 11-11 Potentiel ^{de l'onde} SAW.

Cas du L1TaO).

Fig 11-12 Déplacements acoustiques

de la pseudo SAW du premier ordre.Cas ^du LiNbOl.

Flg 11-13 Potentiel électrique de la pseudo SAW du premier ^ordre Ca. du LiNbOl.

21

35

38

40

41

42

43

47

I

I

I

I

I

I I

I I I I I I I I I

Fig 11-14 Déplacements acoustique.

de la pseudo SAW du premier ordre.Cas ^du LiTaOl.

Fig 11-15 Potentiel électrlque ^{de la} pseudo SAW du premier ^ordre Cas du LiTaO).

Flg 11-16 Déplacements acoustiques ^de

la pseudo ^{SAW du} second ordre Cas du L1NbO).

Flg 11-:7 Potentlel électrlque ^{de la} pseudo ^{SAW du} second ordre.

Cas du L1NbOl.

Flg 11-:8 déplacements acoustiques

de la pseudo ^{SAW ùU} second ordre.Cas ^du LlTaOl.

Flg 11-19 Potentiel électrique ^{de la} pseudo ^{SAW du} second ordre.

cas du LiTaOl ^.

Flg 111-1 La configuration choisie

Flg 111-2 Projectlon ^{de k sur la} surface

et sur la normale ^{à cette} surface.

Flý 111-3 Variations ^{de Fe en} fonction ^de l'anQle ^de coupe.

F!ý 111-4 Variatlons ^des dlrections ^des

du vecteur d'onde en fonction

de id frýquence.

Flý 111-5 Anglýs ^de propagation ^{du flux}

d'éný[gle ^en fonction de la fréquence.

flý 111-6 EvolutIon ^{de la} courbe ^de lenteur

de l'ondý T.H pour trois pulsations.

Flj 111-7 DISPOSItIfs ^{à ondes T.H dans} une pldque

Flý 111-8 PrinCipe ^de fonctionnement

FIg 111-9 Projection ^des trajets incidents

et r'flechis.

Fig 111-10 Variations ^{de la} distance ^d

.0 fonction ^de la fréquence.

51

61

'0

73

73

ý.

77

. ..

F19 111-11 R.couvrementý DE L'lOT de

o'tection pour ^un faisceau réfl.chi Fig 111-12 Faisceau réflechi centré sur

l'lOT de détection

FlQ 111-13 Direction de propagation

( Ilmite mlnimale)

Flg 111-14 Direction de propagatlon

( limlte maximale ⁾ Flg 111-15 Condltlons aux limites

Flg 111-16 Variations de F. en fonctlon

de kl/ko pour H/).o=2.9

FIg 111-17 Varlations de V. en fonctlon

de kl/ko pour H/ýo=l

Flg IV-: Cristal sýml-lnfini avec une une source ^Infir.le sUivant ^X2 Flg IV-2 Contrlbutlon ^{de l'onde dý volume}

dU potentlel électrlque

Fig IV-3 POles, pOlnts ^de branchemttnts et coupes de branchements

Flg IV-4 Chemin d'lntégration BCn prés du pOlnt de branchement

FlQ IV-5 Variations du flux de la puissance des ondes de volume sUlvant Xl en

fonctlon de l'an91e de coupe

F1Q IV-6 Variations ^du flux ^{de la} pUlssance des ondes de volume SUlvant ^X2 en

fonctlon de l'angle de coupe

Flg IV-7 Varlations du flux de la pUlssance deý ondes de volume SUlvant xl en

fonctlon ^{dý l'angle de coupe}

79

79

81

81

83 88

90

93

104

110

114

126

127

128

._.

Fi':) IV-8

Flý Iv-9

Vdriatloný ^du flux de la pUlssance

de l'onde SAW sUivant ^{Xl en} fonction

de l'angle da coupe

Var ^lat ions ^du flux de la pUlssance

de l'onde SAW suivant ^{xz en} fonction

de l'angle de coupe

130

131

..

Fl<1 IV-1O Variations du flux de la pUissance 132

des pseudo SAW sUivant ^Xl en fonction

d. l'angle de coupe pour t=lO-.m

Fig IV-l1 Variations du flux de la pUissance 133 des pseudo SAW suivant ^X.l en fonction

de l'angle de coupe pour t=lO-.m

Fl<1 IV-12 Variatlons du flux de la pUlssance 134

des pseudo SAW SUlvant ^Xl en fonction

d. l'elnýle de coupe pour t=lO-.m

Fl\} A-1 Les angles de rotatlon des axes d'un 138 crlstell

Fly A-2 Ondes acoustiques de coupe ^X "" 138 propageant en faisant un angle ^e·

avec Y

INTRODUCTION

La bande micro-onde du spectre électroma9nétique est d'une grande lmportance & cause de ses propriétes de transmlSSlon de

l'lnformation _.Jadl., 1"" dispositif. de traitement de slgnal ^à cýs fréquenc "" étalent les gUide. d'ondes et les cables

\ uýxýdux.Cependant,ld converSlon d'une informatlon se propageant

d Id vitesse de la lumière ^A une vitesse plus faible, néce5sltý

l'u: llisatlùn de nouveaux dispositifs de dlmenslons plus

lJ,\!l.,{>ensablý, vu que ia v r^t e s s e d'une onde acoustique e s^t cⁱ nq

!ýlS plus faible que celle d'une onde hyperfréquence.

Hýureusement, pour falre cette converslon,plusieurs solides cl"ltitallins sont piézoélectrlQues, c'est à dire Qu'on appllquant

un champ électrique il rêýulte une contrainte mécanique et vice versa.Par la dépositIon d'électrodes métalliques sur les surfaces des cristaux, la conversion de l'énergie micro-onde en énergle acoustique et vice versa est devenue possible ^.

L'utlisation des dipositlfs micro-ondes pour le traitement de signal a crée le besoin d'étudier la théorie des ondes acoustiques et les classer pour plusleurs applications.Plusleurs structures d'ondes acoustiques peuvent être utilisées pour la

conceptlon de tels dispositifs,citons _:li9nes à retard, filtres, decodeurs, oscillateurs, etc ...

forme l'utiiisatlon de tels dispOSltlfs est

l'lntolmdtlon mlcro-onde se propage sous

(1">lldes acoustiques,

I

I I I

I

I

I

I

I

I

I

I

Les dlff'renta _typea d'ondes acoustlQues QUI peuvent ^ètri utillsées _sont, les ondes de volume planes, les ondes acoustIque ^..

de surface (SAW), ^les pseudo ondes acoustlques de surfacý

(PSAW), et les onde ^a de volume transversales ^A polar ^r s et i or.

no rr aont e r e ( $1.,lTI..J(t=" ý)qfTIJnlný buL/oI. I.<H'ýS ) SSBW

..e _{but de ce} t rava ⁱ L. est ^{d t é t} ud ⁱ er ces ondes ^acou st i que.

:,ld· ..a n^t p lu s ⁱ eur s o r re n ^t at ⁱ ons ^c r rst a Ll cç^raph ⁱ que s de certain

IlI.IU·[ laux ^{p r}ezoe Le ct r i que s , tels que le NOlbate de t.i t ru um et ^l·ý

T.liltdlate de Llthium.En p ar ^{t i} cu Lie r , les ondes ^a cous ^{t i} que s ^{s r-} Id '.'!>,Igeant d a n s une structure cr ^r s t _a Llⁱ ne multicouches, et ^le

·'I)··,·tre d'ondýs ar-ou _st rque s ^e xc rt ^é e s p a r un ^{t r}a n s d uc^t e u ^r

l!i!"rdlglté (IDT) sont étudiés

l' .m i s o^t rop ^{i e} est m ⁱ s e en év _i de nce à ^l' alde de la surf ace ^d·,

le n^t e ur tracée ^à partir des ^é qua ^{t i} ons de Ch rrs ^t of ^f e L.

Le second chapltre, expose une méthode permettant lý

re c h^(' rche des d ^l f f é r e n tes ⁰ ndes é l ^{cl ý} t ^l que s ýmIS e s d^.1n s ur.

substrýt piézoélectrIque ^à l'alde d'un transducteur Interj:glté.

ces ondes sont ,les ondes acoustlques de surface, ^les pseudG ondes acous ^{t i} que s de surface, et les ondes de volume.Le p ^r an c ⁱ pr- Je lý mýthode est de varier la vitesse de phase de l'ondý ^e'

VOIr son éffet sur les constantes d'.JtténuatIon, et ^ýUlvan·

les va!eurs de ces dernlères on déclde s'll y a telle ou tellý type d'onde.Parml les ondes de volume pouvant eXlster, les onde- T.H ou les ondes de volume rampantes ^à la surface, ces ond'3 on:

la proprlété ^d'être lnterceptées par un transducteur dépodé su;

des not ⁱ o ns

cristal, et

d an..

de.-

rJ,IIIS 10 p rem ⁱ er ch ap ^{r t} r e , nous donnons

i'lt'11mInalres sur le p i ^é zoé _{Lect r i c r t} ^é d'un

la surface d'un cristal; ces ondes sont Qtudlées en deta:l le Lroýýiýme chapýtre.Oaný le quatrýèmý chýpýtre, à l'aldý

I

I

I I

I I I I I I

I I I I I I

I I I

I

I

I

I

I

I I I I I I I I I

lntegrýlea de Fourier, noua définissons la contrlbution dý chaque type d'onde au potentiel électrIque, cltons; ^lý contrlbution électrostatique, la contribution de l'onde dý surface, et la contribution de l'onde de volume au potentleý électrique. Les deux premières contributlons sont evaluéýs analytlquement, tandIs que la dernlère ne peut etre évaluée que numé _ri queme n^t , pour cela nous ^{u t} r Li s o n s un-:

i n t erpo La t i.on po Lynom i a le basée sur la méthode des ^{mo i} ndr ^e..

cdrrées, et une lntegratlon par la méthode de Gauss pour l'évaluer.

Les méthode. analytlques, et la méthode numérique, ^ont perml d'évaluer _chaque contribution au potentIel électrIque, cependant elles ont certaines limitations, ce qUl nous a poussés ^ý utliiser une m'thode géométrIque dans le même but, ^{et qUl esý} plus générale.

A la fin, nous fInIssons par un bIlan des pUlssances ^des dltterentes ondes acoustIques du spectre, nous partons ^{par 13} tûrnlule de la pUlssance, et en lournant l'axe de propagatlon Z.

du tdlt de l'anlsotrople des materiaux utilISés, ^les

,':11 ,H"t'risliques ^{de ces de r n i e ra} vont changer, ce qUI ^e nt r a ⁱ ne

llne variatIon des flux des pUlssances.Donc, dans le but de mettre

ell eVldence l'anlsotrople des materlaux utilisés, les flux des

IJlll s s anc e s de s dl ^{f f} érentes ondes du spectre sont ^r ep ^r éa _ent ^é s en

tuelL'llon de l'aH<Jle de coupe , obtenu par une sillple r o ^t a^{t i} on de l'dxe d. propagatIon ^Z.

..

I

I

I

I

I

I

I

I

I I I

I

I

I

CHAPITRE I

PROPAGATION

^D'ONDES

ELASTIQUES DANS

UN CRISTAL GENERALI

TES

I 1 INTRODUCTION

Lu mo uv e me n ^t ct",::, ýdl·tlculeo d'un corps est compose d ^t ur.o

I: t i e c or r e sj.o nua n^t au corps indéformable (translation ^l:t

lýtdtion) et d'une partle liée ^à la déformatIon de ce corps [lJ Cettý defolmdtlon fonctIon de l'éffort qui la prodult eý:

ýýnnue sous le nom de la théorie de l'élastlclté, ^ýýt:ý dernlère n'est Qu'un modèle simplifié établi ^à partir ^d'ý:.

cýrtain nombre d'hypothèses, telles qUà

- Réversibilité et linéarité des déformations afin d'obeir

à la loi de Hooký.

- Homogénéité des corps étudiés.

Cependant, les matériaux utilisés dans ce domaine p r ^é s e n^t e ^{.. :}

souvent d'autres propriétés telles que:

- Piezoélectricité, anisotropie, viscoélasticlte.

1-2

DEFINITION DE LA

PIEZOELECTRICITE:

La piezoélectricité est la propriété que possède ^{ce r t} a ⁱ r.;

corps de ce polariser électriquement sous l'action d'une tens: ^:.

1

.'

mi:canique (effet direct)1 et de se déformer lorsýu'un champ électrique leur est appllquý (ýffat inverse)

'.

La plézoélectricltél interdépendance des proprlýtýý ýlaý- tlques et électriques eXlste dans certains matérlaux, ^e'

-

^.....

I

I

I

I

I

I

I

I

intimement li6e ^à l'étude _dýs ondes éld&tique _[1,2,3 ].

I-ý

EQUATIONS

DE LA PIEZOELECTRICITE

iJàr o"pllCdtlOIl ^d'url champ ^é Lect r aque ^E de ccmpos ar.t ^e s z:., ^{ý J.}

J.

--'l'l'drait d.tb f o rc^{e s} rnt^e rmo Lécu La ⁱ re a [3] I done des con ^{t rai nt e.}

l.:

r r.t e rne s T eXý[llllýeb Pý( la relation:

\ _J

( 1-1 ₎

JU ^_ e tenýeur de rang 3ý3 des constantes piézoélectriquýý

1: I j

G'dprés la ¹⁰¹ de HùoNe, _la somme des contraintes (internes ^t:

t:xt_ýrnes) Vclut ^:

T + T£ ₌ CE ₅

( I - 2 ₎

q IJ ýJk.l ^Id

où CE sont les composantes du tenseur àe rlgldl:è

\)kl

élastique caractéristique des propriétés du milieu et:S sont les composantes du tenseur de déformation.

u

En reportant l'expression des contraintýs internes dans lý

relation (1-2), on aboutit ^{à :}

T ^:; CE _S - e ^E

ýJ \Jll ^H I..ýJ l (I-3)

Quant' la polarisation électrique, elle est due A la foiý"

..,

-

Le champ électrique ^{E dé r i.ve d'un po t ent i e I if!, et a con.rne} composantes

l'effet _du champ électrique, et ^à l'action des déformatlons mécanlques.L'induction électrique s'écrit alors:

( 1-5 )

(1-4)

indépendantes, ^le potýntlel

D=£ E +e S

J JY k Jk^l ); l

i tenseur de rann 3,3 des constantes diélectllquý5

Jk ^...

Eý. composantes du champ ^é lectr ique appl iqué ^.

En employant comme variables

ýlýctrique f ^tit le déplacement mécanique Ul, on peut exprlmer

lcý contrdlntes ^{T et les} déplacements électr1ques ⁰ par ^:

Il

avec

cl

( Ct.. _U 4' " (1-6)

T ^{= - . + e}

" I dX ^\ )u ^l k\)

ý

cJ

( ^U CP. (1-7)

0 = e ^{- L}

X ^{\ k l l} )k

ý

On note que les constantes ^{CE et c} employées sont exprimées 1ýýpectivelDent ^à champ électrique ^c onstant et ^à déformation constante. Sachant ^que l'équation du mouvement s'écrit par ^.

I

3

dVýC : ill =1,2,3 ^.

ýt : p "" t la ma ""e volumique du .at'riau.

L'tquation (1-6) introduite dans l"quation du mouvement

(1-8) donne:

(1-8)

(1-11) (1-10) (1-9)

entre ces de u.:

matériau lsolant, un

dX ex

J k

= _C

1.1 l

(J U Il T

{.I

I I

;: ---

dtl _X

J

p

d2U

,lu

,,z¢

" CE ^l

ýJ = _{+ e}

dtZ ^LJkl dX dX ^hJ dX dX

I k _J ..

et

dtf

^l d rI}

0

e - c =

Jld 8X oX ^Jk oX oX

J k

J l

L'équation (1-10) est relative à

l'élimlnation du potentiel électrique équations donne ^:

I I I I I

I I I

I I I I

"

I I Il Il

Il Il

avec C'J ^{sont les} constantes durcies contractées déf1nies ^pOUl

I

I

I

I

I

^{cIJ ; e..IJ + ( e}

n )(n ^" )

I _J I ý ý.J

n L n

JI.. k

(1-12)

dans une direction déterminée par les cosinus directeurs n, et 1-4 EQUATIONS DE CHRISTOFFEL ET

SURFACE

DES LENTEURS

relatifs à une onde plane de pol ^a risation ^U', se propageant

L

électriqUE-

(1-14) (1-13)

rapportant dans ^le systèmý

= w

k' ^{sont de la forme :}

if! exp ^{i (wt - k n x )}

OJ) ),k: 1,2,3

u ⁼ u( _{exp i «.;,t} - _{k n} x)

\ J J

'f; ^::

Le déplacement des partIcules et le potentiel

.j " u ý. _: I, ^{J :} l , 2 .. 6

la vitesse de phase: V

p

k ^: étant le monbre d'onde. En se

ou:n ,n sont le. coainua directeurs.

J k

d'équations (1-9) ^et (1-10) et en posant:

I I I I I I I I I I I

I

I

I

Il

Catte ^fficltrlce J.) est symétrlque.Ses trois valeurs propres

o r ^t hogonaux. ^{I l} leurs correspon d done tr ⁰ is ondes planes ^S8

lllmlté, s'obtiennent par l'intermédiaire des valeurs propres:

X = _P yi en résolvant l'équation suivante:

\ p

v tenso-

propres sont (I-17)

(1-15)

p

piézoélectrlquý (1-18)

solide dans un

:; C_\Jll nJ ^nL_....

y

l

y

+ _..

T c

,;

^UO

Ul ^{+ y} ¢ = _P

\l 0 _F-

(1-16)

Y U0 - c _</Jo = ₀

l l

ril_" ^{= CE n n}

ýJi ^l J l:

Y. = _{e n n}

" lq _J ^L.

E = C n n

I t I ^ý:

r ^:; r

\ J '^l

r

u'

= _p .; ^UC

\l l P \

L'élimination du potentiel _¢ conduit à l'équation

(I

x , sont donc réelles et ses troIS vecteurs

6

vU:1 eat la mcltrlce d. Chrlýto/jtilL définie par

\ l

vf0pdgeant dýns un. même direction. Les vitesses de phase cýs ondes planes ^se propageant

rlelle suivante ^: Ce système devient

Il

I I I I Il I

I

I I

I

I I

I I I

I

I

IF

_\.l ^{- X}_,,\l^{6 ,:;; 0 (I-19)}

I

I

Si le aili.u d. propagation est anisotrope, ces trolS pold- risations définissent les trois ondes planes (Flg I-1):

7

Ua

Fig 1-1 :Polarisation des trois ondes planes de volume (propagation suivant la direction n) ^.

- Onde quasi-longitudlnale (sa polarisation U est trés VOlSlne

I

dý la directIon de propagation.

Ollde ^t ranav ers a Le quasl-vertical. de polarlsati ^{0 n U}

:.

l'iaie t r ansv ers e I .. quaýH-horlzontale de polarisation ^U

t r -.illbverbdla Le n^t e ) ^.

(ond...:

(or.d-,

A partir de l'équdtlon séculaIre, la relatIon ^{w =} k V condult

a l'ýquatlon dý JlbýýltilOn SUlvante ^:

(j ₍ k /l..,k ;..."k /w ) =

I l !J

(1-20)

D'aprés l'équation de la lenteur

k /w ⁼ l/V

J.'

l'équation de dispersion, définie pour ^w fixe

(1-21)

une sur ^f ac o

caractéristique dans l'éspace das lenteurs, relatives ^à chacun0 des trois ondes planes, (voir Flgure 1-2), "surface ^de;_;

lenteurs" indique si le milieu est anisotrope ou ne l'est pas, et détermine la variation de la vitesse de phase ^en fonct:ýn de la direction de propagation, et donne aUSSl la ^{d i} rac ^{t i} or, du ^f lu..

d'énergie qui lui est normal en tout point [2), (voir ann0xe Al·

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