Chapitre 10 : Suites et problèmes Page 1
Chapitre 10 : Suites et problèmes
Objectifs :
*Connaitre la définition d’une suite.
* Savoir utiliser et étudier une suite
*Connaitre le sens de variation d’une suite
*Savoir mettre en œuvre un algorithme permettant de calculer un terme donné
*Savoir exploiter une représentation graphique des termes d’une suite
*Connaitre la définition d’une suite arithmétique.
* Savoir utiliser et étudier une suite arithmétique
*Connaitre le sens de variation d’une suite arithmétique
*Connaitre la définition d’une suite géométrique.
* Savoir utiliser et étudier une suite géométrique
*Connaitre le sens de variation d’une suite géométrique
*Savoir comparer suites géométriques et suites arithmétiques
*Savoir étudier des suites à l’aide de suite géométrique
Exercices : Enigle « look and say » p127 Hyperbole ES/L 2011 Nathan
I) Définition d'une suite numérique
Définition : Une suite ude nombres réels est une fonction dont la variable est un entier naturel.
L’image par u d’un entier naturel n est notée un et se lit u indice n.
un est appelé le terme de rang n de cette suite.
Exemple : Pour tout n de N, on donne : un= où un avec qui définit la suite des nombres pairs. Les premiers termes de cette suite sont donc :
u0 = ;u1 = ;u2 ;u3
Remarque : Lorsqu'on génère une suite par une fonction f de la variable n, chaque terme de la suite est exprimé en fonction de n et indépendamment des termes précédents. un=f(n).
Exemple : On définit la suite (vn) par : v0 = 3 et pour tout n de N, vn14vn6 . Les premiers termes de cette suite sont donc :
v0 = 3 ;v1 = v2= ;v3 =
Remarque :Lorsqu'on génère une suite par une relation de récurrence, chaque terme de la suite s'obtient à partir d'un ou plusieurs des termes précédents. Contrairement à une suite définie par une formule explicite, il n'est pas possible, dans l'état, de calculer par exemple v13 sans connaître v12. Cependant il est possible soit d'écrire un algorithme sur une calculatrice programmable pour calculer le nème terme vn soit d’utiliser le mode récurrence d’une calculatrice.
Chapitre 10 : Suites et problèmes Page 2 II) Représentation graphique d'une suite
Dans un repère du plan, on représente une suite par un nuage de points de coordonnées
n u; n
Exemple : Pour tout n de N, on donne : un n2
2 3. On construit le tableau de valeurs avec les premiers termes de la suite :
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
un -3 -2,5 -1 1,5 5 9,5 15 21,5 29 III) Variations
Définitions : Soit une suite numérique (un).
- La suite (un) est croissante signifie que pour tout entier n, on a . - La suite (un) est décroissante signifie que pour tout entier n, on a .
Remarque : Pour arriver à démontrer qu’une suite est croissante (resp. décroissante), on doit prouver que ( ) . En pratique et en fonction de l’expression de la suite, on choisit l’une des 2 méthodes suivantes :
on calcule et on étudie son signe ; si il est positif (resp. négatif), la suite est croissante (resp. décroissante). (en effet,
Si on calcule et on compare le résultat avec 1 ; si il est supérieur à 1 (resp.
inférieur), la suite est croissante (resp. décroissante). (en effet,
Exercices : 12à14,15,18,19p138 +20à23p139Hyperbole ES/L 2011 Nathan IV) Suites arithmétiques
Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : . Le nombre r est appelé raison de la suite.
Exemples
1) La suite (un) définie par : est-elle arithmétique ? Un+1- Un
2) La suite (vn) définie par : est-elle arithmétique ?
a suite ne semble pas arithmétique.
Chapitre 10 : Suites et problèmes Page 3 3) Tous les mois à partir de décembre 2014, je mets 50 € de côté. La suite définissant la somme d’argent que j’ai mis de côté au n-ième mois après décembre 2014 est une suite arithmétique (un) de raison 50. On note
a) Déterminer quelle somme sera à ma disposition en septembre 2015 , en décembre 2016 . b) Déterminer en fonction de n quelle somme sera à ma disposition au n-ième mois.
Propriété du terme général: (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme our tous entiers naturels n et p, on a : . .
Remarque : Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés.
On dit que l’évolution de la suite est linéaire.
Variation : Pour tout entier naturel n, un+1=un +r donc un+1-un = r,
donc si r>0 (resp. r<0) alors un+1-un >0 (resp. un+1-un <0) donc un+1>un (resp. un+1<un) alors la suite (un) est croissante (resp. décroissante) .
Propriété :(un) est une suite arithmétique de raison r. Si r > 0 alors la suite (un) est croissante si r=0 alors la suite (un) est constante et si r < 0 alors la suite (un) est décroissante.
Exercices : 25à27p139+28à30,32à34p140 Hyperbole ES/L 2011 Nathan
V) Suites géométriques
(Extrait du livre de Dan Brown, Inferno)
Il marcha vers elle, devenant plus grand à chaque pas. Il ramassa une feuille de papier sur la table.
- Si je déchire cette feuille en deux et que je place les deux morceaux l’un sur l’autre et que je recommence le processus ( il joignit le geste à la parole), j’obtiens un tas quatre fois plus épais que l’original, n’est ce pas ?[…]
- Disons que l’épaisseur de la feuille est d’un dixième de millimètre, poursuivit-il en s’approchant encore. Et supposons que je répète le processus cinquante fois, savez vous quelle épaisseur aura alors le tas ?
- Evidemment, rétorqua Elizabeth. Un dixième de millimètre fois deux à la puissance cinquante.
C’est une progression géométrique. A présent, j’aimerais savoir ce que je fais ici.
L’homme eut un petit rire.
- Exact. Mais avez-vous une réelle idée de la taille du tas ? Une épaisseur infime fois deux exposant cinquante ? Une idée ? (Il fit une nouvelle pause). Notre tas de papier est maintenant si épais qu’il touche pratiquement le soleil !
Chapitre 10 : Suites et problèmes Page 4 Cela n’étonna pas Elizabeth outre mesure. Elle était habituée aux terribles croissances des
progressions géométriques dans le cadre de son travail : aire de contamination, taux de reproduction des cellules infectées, estimations du nombre de victimes.[…]
- Réfléchissez. Il a fallu des milliers d’années – de l’aube de l’humanité au début du XIXème siècle – pour atteindre le milliard. Mais seulement cent ans pour le doubler. Deux milliards d’individus en 1920. Et ensuite cinquante petites années pour atteindre quatre milliards. En 1970. Comme vous le savez, nous allons atteindre les huit milliards très prochainement.
Vérifions ce qui est dit dans cet extrait :
a) Quelle est l’épaisseur du tas après une déchirure ? b) Quelle est l’épaisseur du tas après deux déchirures ? c) Quelle est l’épaisseur du tas après trois déchirures ?
d) Quelle est l’épaisseur du tas après 50 déchirures ?(convertir le résultat en mètre puis en kilomètre et comparer avec la distance terre-soleil : 149 000 000km environ)
Définition : Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a :un+1=qun. Le nombre q est appelé raison de la suite.
Exemples
1) La suite (un) définie par : un 7 9n est-elle géométrique ? La suite ne semble pas géométrique.
La suite (un) n’est pas géométrique
2) La suite (vn) définie par : vn=3n est-elle géométrique ?
donc (vn) est géométrique de raison .
Chapitre 10 : Suites et problèmes Page 5 Propriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme .
Pour tout entier naturel n, on a : un= qn
.
Pour tout entiers naturels p et n, on a : un=up qn-p
Remarque : Les points de la représentation graphique d'une suite géométrique ne sont pas alignés.
On dit que l’évolution de cette suite est exponentielle.
Propriété : (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme positif.
- Si q > 1 alors la suite (un) est croissante.
- Si q=1 alors la suite (un) est constante
- Si 0<q < 1 alors la suite (un) est décroissante.
VI) Suites arithmétiques et géométriques (comparaison) :
suite arithmétique suite géométrique
Définition
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un nombre réel r tel que pour tout entier n,
on a : . r est appelé raison de la suite.
Une suite (un) est géométrique s'il existe un nombre réel q tel que pour tout entier n,
on a : n+1 n.
q est appelé raison de la suite.
Propriété du terme
général
(un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme alors pour tous
entiers naturels n et p, on a :
et
(un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme alors pour tous
entiers naturels n et p, on a :
et
Variation
(un) est une suite arithmétique de raison r.
Si alors la suite (un) est croissante si alors la suite (un) est décroissante.
(un) est une suite géométrique de raison q positive et de premier terme positif.
(les résultats sont inversés si négatif) Si alors la suite (un) est croissante.
Si alors la suite (un) est décroissante.
Evolution L’évolution de la suite est linéaire. L’évolution de la suite est exponentielle.
Exercices : 35à37p140+38à40,42à44,46,47p141+49,51p143+57p144+58à60p145+72p148+73p149 Hyperbole ES/L 2011 Nathan
Exercices supplémentaires : p128, 131,133,135à137+15,17p138+24p139+31p140+41,45p141+p146,147 Hyperbole ES/L 2011 Nathan
