Equation de la chaleur avec condition aux limites p´eriodique ´

(1)

Equation de la chaleur avec condition aux limites p´eriodique ´

Maximilien Dreveton July 29, 2016

R´ef´erences Candelpergher, FGN Analyse4 , Zuily Queffelec ? 0.1 Recasages

Passe `a l’aise 202 Exemples de parties denses et applications.

209 Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques.

Exemples et applications.

222 Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.

235 Probl`emes d’interversion de limites et d’int´egrales.

246 S´eries de FOURIER. Exemples et applications.

247 Exemples de probl`emes d’interversion de limites.

0.2 Le d´eveloppement

Théorème 0.1. Soit f C² bornée sur R. Alors il existe une unique solution u définie sur R×]0,∞[qui est C¹ en t et C² en x telle que :

(C)

∂_tu(x, t) =∂_xx² u(x, t) ∀x∈R ∀t >0 limt→0u(x, t) =f(x) ∀x∈R

Pr´ecision : En t : f est continue en t∈ [0,∞[ et C¹ (en fait C^∞) sur ]0,∞[. En x c’est plus simple, f estC² (en fait C^∞) surR.

Proof. On raisonne par analyse-synth`ese

Analyse On va supposer que u solution est en fait de classeC^∞(en faitC³en x suffirait etC² en y).

La fonction x7→u(x, t) est C¹ donc est somme de sa série de Fourier (qui converge uniformément), et on peut écrire :

∀t >0 u(x, t) =X

n∈Z

cn(t) exp(2iπnx) o`u cn(t) = Z 1

0

u(x, t) exp(−2iπnx)dx

(2)

De même,x7→∂xxu(x, t) estC¹ donc somme de sa série de Fourier et les coefficients s’obtiennent en dérivant sousR

:

∀t >0 ∂_xxu(x, t) =X

n∈Z

−4πn²c_n(t) exp(2iπnx) Pour la dérivée selon t, on a de même que

∂_tu(x, t) =X

n

˜

c_n(t) exp(2iπnx) Or : cn:t∈]0,∞[7→R1

0 u(x, t) exp(2iπnx)dxestC¹(majoration easy, on int`egre fonction continue sur un compact), donc

∀t >0 c˜n(t) =c⁰_n(t) On arrive donc `a :

0 =X

n∈Z

(c⁰_n(t)−4πn²c_n(t)) exp(2iπnx)

Le terme de gauche est une fonction continue et le terme de droite est une série de Fourier convergeant uniformément donc est continu. Donc par unicité de dev en série de Fourier de la fonction nulle, on a :

∀n∈Z 0 =c⁰_n(t)−4πn²c_n(t) Donc c_n(t) =α_nexp(−4πn²t) t >0.

D´eterminons les coefficients α_n. f estC¹ donc somme de sa s´erie de Fourier : f(x) =X

n∈Z

c_n(f) exp(2iπnx) Appliquons Parseval `af(.)−u(t, .), pour t fix´e :

X

n∈Z

|c_n(f)−cn(t)|² = Z 1

0

|f(x)−u(x, t)|²dt Donc `a n fix´e :

|c_n(f)−cn(t)|² ≤ Z 1

0

|f(x)−u(x, t)|²dt

Faisons tendre t vers 0 : le membre de droite tend vers |c_n(f)−α_n|², celui de gauche par convergence dominée (majoration par la borne sup de la fonction intégrée qui est continue sur un compact) vers 0.

Donc α_n=c_n(f)

(3)

u(t, x) = P

n∈Zc_n(f)e^−4π²ⁿ²^te^2iπnx (1)

= P

n∈Z

R1

0 f(y)e^2iπnye^−4π²ⁿ²^te^2iπnx (2)

= R1 0

P

n∈Ze^2iπn(x−y)e^−4π²ⁿ²^tf(y)dy (3)

= R1

0 K(x−y, t)f(y)dy (4)

o`u l’on a pos´e pour t > 0 K(x−y, t) =P

n∈Ze^2iπn(x−y)e^−4π²ⁿ²^t, qui converge normalement (donc l’interversion de la derni`ere ligne est justifi´ee)

Synth`ese Posonsu(x, t) =R1

0 K(x−y, t)f(y)dy et v´erifions que u est solution de (C).

a) u est bien définie A x fixé, la série

K(x−y, t) =X

n∈Z

e^2iπn(x−y)e^−4π²ⁿ²^t

est convergente si t > 0 et continue de p´eriode 1 (vu comme fonction de y), donc R1

0 K(x−y, t)f(y)dyest bien d´efini.

b) u bien régulière et solution de l’équationOn remarque que∀k≥0 la série : X

n∈Z

n^ke^2iπn(x−y)e^−4π²ⁿ²^t

est normalement convergente pour (x, t)∈R×K où K est un compact dans ]0,∞[. On peut donc dériver K(x-y,t) en t et en x en dérivant sous le signe P

autant de fois que l’on veut, et l’on obtient des fonctions continues en y, on peut donc ensuite d´eriver u sous le signeR

(majoration par le max car on int`egre fonction continue sur un compact).

c) limx→0u(x,t) =f(x)

u(x, t)−f(x) =X

n∈Z

cn(f)e^2iπnx(e^−4π²ⁿ²^t−1)

Comme f est C², cn(f) = 0(1/n²) donc la s´erie ci-dessus est normalement convergente sur [0,∞[, donc on peut ´ecrire :

limt→0(u(x, t)−f(x)) =X

n∈Z

c_n(f)e^2iπnxlim

t→0(e^−4π²ⁿ²^t−1) = 0

Unicité Soitu₁ etu₂solution de (C). Comme l’équation de la chaleur est linéaire, alors u=u1−u2 est solution de

(E0)

∂_tu(x, t) =∂_xx² u(x, t) ∀x∈R ∀t >0 limt→0u(x, t) =u(x,0) = 0 ∀x∈R

(4)

Posons pour t∈[0,∞[ : E(t) =

R1

0(u(x, t))²dx si t >0

0 si t= 0

E est continue en 0, d´erivable sur ]0,∞[ et on a : E⁰(t) =

Z 1 0

2u(x, t)∂tu(x, t)dx= Z 1

0

2u(x, t)∂_xx² u(x, t)dx Par IPP, en se souvenant que u(0,t)=u(1,t), on obtient :

E⁰(t) =−2 Z 1

0

(∂xu(x, t))²dx

Donc E est continue, positive d´ecroissante sur [0,∞[, comme E(0)=0, on en d´eduis E est identiquement nulle, donc u aussi.

0.3 Compléments sur les théorèmes d’inversions séries, intégrales, limites

Théorème 0.2. Théorème de convergence uniforme Si f périodique (période 1) telle que P|c_n(f)|converge. Alors la série de Fourier de f est uniformément convergente sur R et f est presque partut égale à sa somme de sa série de Fourier.

(Si f est en plus continue, alors elle est égale partout à sa série de Fourier)

Conséquence : Si f périodique est C¹ alors la série de Fourier de f est absolument et uniformément convergente surR, et

f(x) =X

n

cn(f)e^2iπnx ∀x∈R Proposition 0.3.

f ∈C^k⇒ |c_n(f)| ≤ Cte n^k Proposition 0.4. Soit k≥2

f ∈Cper et |c_n(f)| ≤ Cte

n^k ⇒f ∈C^k−2 Proof. thm convergence uniforme :

f(x) =X

n

cn(f)e^2iπnx La série dérivée de P

ncn(f)e^2iπnx estP

ncn(f)2iπne^2iπnx. Or :

|c_n(f)n| ≤ Cte n^k−1 Sik≥3 alors f continument d´erivable sur R et on a :

∂f =X

c_n(f)2iπne^2iπnx Puis on recommence le raisonnement.

(5)

0.4 Interversion P et R

Théorème 0.5. (fn) continue sur [a, b]. Si(fn) converge uniformément sur [a, b]alors :

limn

Z b a

f_n(x)dx= Z b

a

f_n(x)dx Théorème 0.6. Si les fn sont dérivables sur [a, b]et si :

a) f_n→f simplement sur [a, b]

b) f_n⁰ →g uniform´ement sur [a, b]

alors f est d´erivable sur [a, b]et f ’=g.

Th´eor`eme 0.7. Si P

u_n est une s´erie de fonctions continues sur [a, b], qui converge uniform´ement sur [a, b], alors :

Z b a

X

n

u_n(x)dx=X

n

Z b a

u_n(x)dx 0.5 Th´eor`emes de permutation de Lebesgue

Théorème 0.8. (f_n) suite de fonctions intégrables sur I qui converge simplement vers f continue telle que :

∃g int´egrable telle que ∀n|f_n| ≤g Aors f est int´egrable sur I et :

Z

I

f dx= lim

n

Z

I

f_ndx

Th´eor`eme 0.9. Soit P

nun s´erie de fonctions int´egrables sur I dont la somme est une fonction continue sur I. Si l’on a une des deux conditions suivante :

- la s´erie de fonction P

n|u_n| converge sur I et sa somme est continue int´egrable sur I

- la s´erie P

n

R

I|u_n(x)|dx est convergente Alors la fonction P

nu_n est intégrable sur I, la série des intégrales P

n

R

Iu_ndx est convergente et on a :

Z

I

X

n

undx=X

n

Z

I

undx

0.6 Th´eor`eme classique

Th´eor`eme 0.10. V voisinage ouvert contenu dans U. Si f : V ×[a, b] 7→ R continue alors

φ(t) = Z b

a

f(t, x)dx est continue.

(6)

Si la dérivée partielle de f par rapport à t :

∂_tf :V ×[a, b]7→R existe et est continue, alorsφ est d´erivable sur V et :

φ⁰(t) = Z b

a

∂_tf(t, x)dx