28/10/15 20:26 Is the Gamma-function misdefined?
Fig. 1: Bernoulli's Gamma function, interpolating n!, n integer.
What is not so well known is the fact, that there are other functions which also solve the interpolation problem for n! and behave much nicer. A particular nice one was given by Jacques Hadamard in 1894.
Hadamard's Gamma-function has no infinite values and is provable simpler then Euler's Gamma-function in the sense of analytic function theory: it is an entire function.
The following figures give a first idea what the Hadamard Gamma-function looks like.
Graphe de la fonctionΓ : x7→
Z +∞
0
e−ttx−1dt
1
Jusqu’à présent, les fonctions avec lesquelles on travaillait étaient fabriquées à partir d’un petit nombre de fonctions (puissances, exponentielle, sinus, cosi- nus, etc. . .) par des opérations algébriques (combinaison linéaire, produit, quo- tient, composition, réciproque) ou analytiques (dérivation, primitivation). Ces fonctions sont dites « usuelles ».
L’étude de problèmes issus de la Physique impose rapidement l’utilisation de fonctions qui ne sont pas des fonctions usuelles. Elles sont souvent définies comme sommes de séries entières (voir le chapitre correspondant) ou comme intégrales dépendant d’un paramètre (voir l’exemple de la fonctionΓpage pré- cédente). Les fonctions de Bessel, les fonctions Beta, la fonction Gamma sont de telles fonctions, et appartiennent à la vaste famille des « fonctions spéciales ».
Le but de ce chapitre est de donner les moyens d’étudier et de manipuler des fonctions définies par des intégrales. Les résultats sont assez techniques, mais si on apprend bien à utiliser le premier (théorème de convergence dominée), on aura compris l’essentiel, car la vérification d’une hypothèse de domination est le point crucial du chapitre.
Depuis l’introduction des probabilités dans le programme, ce chapitre est assez sollicité aux écrits des concours.
Dans le cadre du programme, toutes les fonctions dont il est question dans ce chapitre sont à valeurs réelles ou complexes.
I Interversion de limites et d’intégrales
. . .ou « passage à la limite sous l’intégrale »
I.1 Le théorème de convergence dominée
Théorème Soit (fn)n≥0une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalleI, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose :
(i)que la suite (fn) converge simplement sur I vers une fonctionf continue par morceaux,
(ii)qu’il existe une fonctionφcontinue par morceaux in- tégrable surItelle que
∀n∈N∀t∈I |fn(t)| ≤φ(t) (Hypothèse de domination.)
Alors les fnet f sont intégrables surI, et Z
I
fn−−−−−→
n→+∞
Z
I
f
Quelques précisions :
« continues par morceaux »est une hypothèse rendue nécessaire par le fait que nous ne savons pas intégrer autre chose.
« à valeurs réelles ou complexes »est aussi une hypothèse rendue nécessaire par le fait que lorsqu’on parle d’intégrales ailleurs que sur un segment, on se limite aux fonctions à valeurs complexes.
« continue par morceaux »: déjà, la convergence uniforme ne transmet pas la continuité par morceaux (elle transmet la continuité), et ici on n’impose que la convergence simple, ce qui ne transmet vraiment rien du tout.
La fonctionφest nécessairement à valeurs réelles positives.
I.2 Exemples
a. Intégrales de Wallis
Démontrer que la suite de terme général Z π/2
0
sinnt d t converge, donner sa limite.
Définissons
fn : ]0,π/2[ −→ R t 7−→ sinnt
La suite (fn) converge simplement verse0. L’hypothèse de domination est facile à réaliser :
∀n≥0 ∀t∈]0,π/2[ |sinnt| ≤1
Or la fonctiont7−→1 est indépendante den, et intégrable sur ]0,π/2[.
Les fonctions fn et la fonctione0 sont continues par morceaux, on peut alors appliquer le théorème de convergence dominée :
Z π/2
0
fn−−−−−→
n→+∞
Z π/2
0
0=0
b. Un problème pas très différent. . .
Démontrer que la suite de terme général Z +∞
0
d t (1+t2)n converge, donner sa limite.
Définissons
fn : ]0,π/2[ −→ R
t 7−→ 1/(1+t2)n
La suite (fn) converge simplement verse0. L’hypothèse de domination est facile à réaliser :
∀n≥1 ∀t∈]0,π/2[
¯
¯
¯
¯ 1 (1+t2)n
¯
¯
¯
¯≤ 1 1+t2 Or la fonctiont7−→ 1
1+t2 est indépendante den, et intégrable sur ]0,+∞[.
Les fonctions fn et la fonctione0 sont continues par morceaux, on peut alors appliquer le théorème de convergence dominée :
Z +∞
0
fn−−−−−→
n→+∞
Z +∞
0
0=0
c. Un classiquebeaucoupplus difficile
Démontrer que, six>0, la suite de terme général Z n
0
µ 1− t
n
¶n
tx−1d t
converge versΓ(x)= Z +∞
0
e−ttx−1d t.
On suggère d’introduire la fonction1[0,n]caractéristique du segment[0,n].
Rappelons que l’on définit1[0,n]par
1[0,n] : t7−→
1 si 0≤t≤n 0 sit>n On peut alors réécrire
In= Z n
0
µ 1− t
n
¶n
tx−1dt= Z +∞
0
µ 1− t
n
¶n
1[0,n](t)tx−1dt
Définissons alors, surI=]0,+∞[ : fn : t7−→
µ 1− t
n
¶n
1[0,n](t)tx−1 La fonction fnest continue par morceaux.
•Examinons la convergence simple de la suite (fn) : On fixet∈I; il existen0tel que
∀n≥n0 1[0,n](t)=1 (il suffit de prendren0= btc +1). Sin≥n0, on a 1− t
n >0, et on peut écrire fn(t)=enln(1−t/n)tx−1
Or, grâce à ln(1+u) ∼
u→0u, on obtient fn(t)−−−−−→
n→+∞ e−ttx−1
Donc, si f : t−→ e−ttx−1, la suite (fn) converge simplement vers f surI.
•Essayons de dominer. Pour cela, on utilise la célèbre inégalité
∀u> −1 ln(1+u)≤u
(inégalité qui se montre par exemple en étudiant la fonctionu7−→u−ln(1+u)).
Donc, si 0<t<n,
0≤fn(t)=≤enln(1−t/n)tx−1≤e−ttx−1
Mais, sit≥n, cette inégalité reste évidemment vraie (carfn(t)=0). Donc
∀t∈I 0≤fn(t)≤e−ttx−1
Mais la fonctiont7−→e−ttx−1est intégrable surI(étude classique de la fonction Γ). On peut donc utiliser le théorème de convergence dominée et conclure.
d. Une indication technique
On rencontre beaucoup de suites monotones de fonctions (à ne pas confondre avec une suite de fonctions monotones : une suite croissante de fonctions, c’est une suite (fn) telle que, pour toutn, fn≤fn+1, autrement dit pour toutnet pour toutx, fn(x)≤fn+1(x)).
Si on ne sait pas par quoi dominer la famille fn, on pourra donc essayer de dominer soit par la valeur absolue de la limite simple de la suite (fn), soit par
|f0|(ou|f1|. . .).
e. Cas d’un intervalle borné
. . .on se contente de chercher en général à dominer par une constante : toute fonction constante est intégrable sur un intervalle borné.
I.3 Utilité de l’hypothèse de domination
Définissons, sur [0, 1],fncontinue affine par morceaux nulle en 0 et sur [ 1 n+1, 1], et prenant en 1
2(n+1)la valeurn+1. La suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle, mais la suite
³Z
[0,1]
fn
´
n∈Nne converge pas vers 0.
I.4 A propos de la convergence uniforme
Il y a un autre théorème d’interversion de limite et d’intégrale :
Théorème Si une suite (fn) de fonctions continues par morceaux sur leseg- mentI converge uniformément sur I vers une fonction f continue par morceaux, alors
Z
I
fn−−−−−→
n→+∞
Z
I
f
(On remarque que la continuité par morceaux, contrairement à la continuité, ne se transmet pas par convergence uniforme).
Ce théorème s’applique moins souvent que le théorème de convergence domi- née. La convergence uniforme n’est pas nécessaire pour appliquer le théorème de convergence dominée,ce qui est bien commode. D’ailleurs, sur un intervalle non borné, la convergence uniforme n’est ni nécessaire ni suffisante pour avoir convergence d’une suite d’intégrales (prendre par exemple les fonctions fndé- finies sur [0,+∞[ par : fn(t)=1
n sur [n, 2n],fn(t)=0 ailleurs).
I.5 Un découpage d’intégrale
Démontrons la convergence vers 0 de la suite des intégrales de Wallis sans uti- liser le théorème de convergence dominée : on considère
In= Z π/2
0
sinnt d t
On remarque d’abord que l’on est sur un segment, mais qu’il n’y a pas conver- gence uniforme de la suite¡
t→sinnt¢ .
En traçant le graphe de la fonction t 7→ sinnt, on voit qu’elle concentre son intégrale au voisinage deπ/2, ce qui motive le découpage suivant :
Soit²>0. On a, pour toutn, In=
Z π/2−²/2
0
sinnt d t + Z π/2
π/2−²/2sinnt d t
≤(π/2−²/2)¡
sin(π/2−²/2)¢n
+²/2 Mais¯
¯sin(π/2−²/2)¯
¯≤1, donc il existe un rangNtel que n≥N ⇒ (π/2−²/2)¯
¯sin(π/2−²/2)¯
¯
n≤²/2 Alorsn≥N ⇒ 0≤In≤². On conclut donc.
I.6 Extension du théorème
En utilisant le théorème de convergence dominée et la caractérisation des li- mites par les suites, on obtient :
Théorème SoitΛ⊂R(au programme,Λest un intervalle, mais cela importe peu), et soitλ0∈Λ(éventuellementλ0= ±∞).
Soit (fλ)λ∈Λ une famille de fonctions continues par morceaux sur un in- tervalleI, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose :
(i)∀x∈I fλ(x)−−−−→
λ→λ0
f(x) où f est une fonction conti- nue par morceaux surI,
(ii)il existe une fonctionφ continue par morceaux inté- grable surItelle que
∀λ∈Λ∀x∈I |fλ(x)| ≤φ(x) (Hypothèse de domination.)
Alors les fλetf sont intégrables surI, et Z
I
fλ−−−−→
λ→λ0
Z
I
f
Remarque Ce théorème n’est jamais indispensable. On peut le remplacer par le théorème de convergence dominée suivi de la caractérisation des limites par les suites. L’extension présentée ici permet seulement de rac- courcir la rédaction.
I.7 Exemples d’utilisation
a. Calcul de limite d’une transformée de Laplace
Montrer que Z +∞
0
e−xt
1+t2dta une limite quandx→ +∞; la calculer.
b. Théorèmes de la valeur initiale, de la valeur finale
Soit f une fonction continue sur [0,+∞[, ayant une limite (finie) en+∞. On sait alors qu’elle est bornée. On définit, sis>0,
F(s)= Z +∞
0
e−stf(t) dt
Montrer quesF(s) a des limites en 0 et en+∞, les calculer.
c. Utilisation pour le calcul d’une intégrale semi-convergente
Montrer que l’intégrale généralisée Z +∞
0
sint t dt converge. On définit, six>0,
F(x)= Z +∞
0
e−xtsint t dt
Montrer queF admet une limite en 0. On pourra utiliser la fonction g: x→
Z x
0
sint t dt.
I.8 Interversion de séries et d’intégrales
Théorème Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalleIdeR, à valeurs réelles ou complexes. On suppose :
(i)que la sérieP
fnconverge simplement surI, et que sa somme
+∞X
n=0
fnest continue par morceaux surI, (ii)que chaquefnest intégrable surI,
(iii)que la sérieX Z
I|fn|converge.
AlorsX Z
I
fnconverge,
+∞X
n=0
fnest intégrable surI, et Z
I
µ+∞
X
n=0
fn
¶
=
+∞X
n=0
Z
I
fn. On note en généralN1(fn)=
Z
I|fn|. L’hypothèse cruciale(iii)s’écrit alors : XN1(fn) converge.
Méthodes d’interversion série/intégrale
On se retrouve assez fréquemment (presque sûrement au moins une fois dans une session d’écrits) devant le problème suivant :
Montrer que Z b
a
µ+∞
X
n=0
fn(t)
¶ dt=
+∞X
n=0
µZ b
a
fn(t)dt
¶
oùaetbpeuvent être réels ou
±∞. Pour cela, par ordre décroissant de fréquence, on dispose de 3 méthodes princpales.
Méthode 1Le théorème qui vient d’être vu.
Exemple : montrer que
Z +∞
0
t
et−1dt=
+∞X
n=1
1 n2
Méthode 2Si [a,b] est un segment sur lequel lesfnsont continues, on peut re- garder siP
fnconverge uniformément. Le plus agréable serait qu’elle converge normalement. Si elle converge normalement, comme
N1(fn)≤ |b−a|N∞(fn)
on pourra aussi appliquer le théorème ci-dessus, mais il est un peu plus long à rédiger car il y a plus d’hypothèses à vérifier.
Exemple: on suppose que (an) est une suite de nombres complexes telle que P|an|converge. On définit, surR,
f : t7→
+∞X
p=1
apsin(pt) Montrer que, pour toutm∈N∗,
1 π
Z π
−πsin(mt)f(t)dt=am
Méthode 3Aucun des deux théorèmes précédents ne s’applique. Posant alors S=
+∞X
n=0
fn, on écrit, pour toutn≥0,
S=
n
X
k=0
fk + Rn
avec des notations habituelles :Rn=
+∞X
k=n+1
fk. Si on montre, par exemple avec l’aide du théorème de convergence dominée, que
Z b
a
Rn(t)dt −−−−−→
n→+∞ 0, c’est fini. . .
Exemple: montrer que
Z +∞
0
1 1+etdt=
+∞X
n=0
(−1)n n+1
II Continuité des fonctions définies par des intégrales
II.1 Théorème de continuité
Théorème Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie sur X×I, oùX ⊂R. On suppose :
1. f continue par rapport à la première variable : pour toutt∈I, la fonc- tionf(.,t) : x7→ f(x,t) est continue surX.
2. f continue par morceaux par rapport à la deuxième variable : pour toutx∈X, f(x, .) : t7→f(x,t) continue par morceaux surI.
3. Il existe une fonctionφcontinue par morceaux, positive et intégrable surI, telle que
∀x∈X ∀t∈I |f(x,t)| ≤φ(t) (hypothèse de domination).
Alorsg: x→ Z
I
f(x,t)d t est définie et continue surX.
Extension Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie sur A×I, oùAest un intervalle deR. On suppose :
1. f continue par rapport à sa première variable.
2. f continue par morceaux par rapport à sa deuxième variable.
3. Pour tout segmentKinclus dansA, il existe une fonctionφK continue par morceaux, positive et intégrable surI, telle que
∀x∈K ∀t∈I |f(x,t)| ≤φK(t) (hypothèse de domination sur tout segment).
Alorsg: x→ Z
I
f(x,t)d t est définie et continue surA.
II.2 Démonstration
Il suffit d’utiliser la caractérisation de la continuité par les suites et le théorème de convergence dominée.
II.3 Quelques exemples
a. Transformée de Fourier
Soit f une fonction intégrable sur R, à valeurs dans R ou C. Montrer que la fonction
fb: x→ Z +∞
−∞
ei xtf(t)d t est bien définie et continue surR.
b. Transformée de Laplace
Soit f une fonction intégrable sur ]0,+∞[, à valeurs dansRouC. Montrer que la fonction
L(f) : x→ Z +∞
0
e−xtf(t)d t est bien définie et continue surR+.
c. FonctionΓ
Montrer que la fonction
Γ: x→ Z +∞
0
e−ttx−1d t
est définie et continue surR+∗.
III Classe C
1(dérivation sous le signe R )
III.1 Théorèmes
Théorème SoitAetI deux intervalles deR, etf : (x,t)7→ f(x,t) une fonc- tion définie surA×I, à valeurs dansK=RouCtelle que :
1. Pour toutx ∈ A, f(x, .) : t 7→ f(x,t) est continue par morceaux et intégrable surI,
2. f est dérivable par rapport à sa première variable sur A×I, et ∂f
∂x vérifie les hypothèses du théorème de continuité (avec hypothèse de domination ou hypothèse de domination sur tout segment)
alors l’applicationg : x7→
Z
I
f(x,t)d t est de classeC1surA, et sa déri- vée estg0 : x7→
Z
I
∂f
∂x(x,t)d t.
On appelle parfois cette dérivation sous le signeR
« formule de Leibniz », mais ce n’est pas une dénomination officielle du programme.
Rappel «f dérivable par rapport à sa première variable sur A×I» signifie que, pour toutt∈I, l’applicationx7→f(x,t) est dérivable surA. La déri- vée est notée ∂f
∂x.
Remarque L’hypothèse 1 (qui est simplement la définition deg) est assez régulièrement oubliée.
Théorème (ClasseCk) On notek un entier naturel non nul. Si A et I sont deux intervalles,
si f : (x,t)7→f(x,t) est une fonction définie surA×Itelle que : 1. f estkfois dérivable par rapport à sa première variable surA×I 2. Pour toutj tel que 0≤j≤k−1, pour toutx∈A,
∂jf
∂xj(x, .) : t7→∂jf
∂xj(x,t)
est continue par morceaux et intégrable surI, 3. ∂kf
∂xk vérifie les hypothèses du théorème de continuité (avec hypo- thèse de domination ou de domination sur tout segment),
alors l’application g : x 7→
Z
I
f(x,t) d t est de classeCk sur A, et ses dérivées successives sontg(j) : x7→
Z
I
∂jf
∂xj(x,t)d t (1≤j ≤k)
III.2 Exemples
On remarque que, lorsqu’il s’agit de dériver sous le signeR
, il n’est pas néces- saire de dominer f, on ne domine que ses dérivées partielles. Il est donc très important de ne pas perdre du temps à chercher des hypothèses de domina- tion qui ne sont pas nécessaires.
a. Calcul d’une intégrale célèbre à l’aide d’une transformée de Laplace
Calculer, six>0,
F(x)= Z +∞
0
e−xtsint t d t
et en déduire, grâce à la continuité deF en 0 montrée précédemment, la valeur de
Z +∞
0
sint t d t
b. Une transformée de Fourier
Calculer, si elle existe,
Z +∞
0
e−tsin(xt) t d t
c. La fonctionΓ
Montrer que la fonction
Γ: x→ Z +∞
0
e−ttx−1d t
est de classeC∞surR. Etudier ses variations.
IV Annexe 1 : une démonstration restreinte du théo- rème de convergence dominée
L’intégrabilité des fnne pose pas de problème. De plus, pour toutt∈I, en pas- sant à la limite quandn→ +∞dans l’inégalité large
|fn(t)| ≤φ(t) on obtient|f(t)| ≤φ(t), d’où l’intégrabilité de f.
Pour la démonstration, on rajoute unehypothèse additionnelle: on suppose que la suite (fn) converge uniformément sur tout segment inclus dansI. Cette hypothèse est vérifiée dans quasiment tous les cas d’utilisation du tcvd que l’on rencontre dans les exercices.
Soit²>0. Il existe un segmentJinclus dansI tel que Z
Iφ − Z
Jφ≤² 4
On noter abusivement, sig est une fonction intégrable surI, Z
I\J
g= Z
I
g − Z
J
g
(« abusivement » car c’est en général une somme d’intégrales sur deux inter- valles, pas une intégrale sur un intervalle). Alors, pour toutn,
¯
¯ Z
I
f − Z
I
fn¯
¯≤ Z
I|fn−f|
= Z
J|fn−f| + Z
I\J|fn−f|
≤ Z
J|fn−f| +2 Z
I\J|φ|
≤ Z
J|fn−f| +² 2
et, comme (fn) est supposée converger uniformément f sur J, à partir d’un certain rang on a
Z
J|fn−f| ≤²
2, et à partir d’un tel rang on aura¯
¯ Z
I
f − Z
I
fn¯
¯≤². D’où le résultat.
IV.1 Annexe 2 : Démonstration du théorème de dérivation
On noteψune fonction dominant les∂f
∂x :
∀x∈A∀t∈I ¯
¯
∂f
∂x(x,t)¯
¯≤ψ(t) etψintégrable surI.
Soitx0∈A, notonsδ(h)=¯
¯g(x0+h)−g(x)−h Z
I
∂f
∂x(x0,t)d t¯
¯. Alors δ(h)=¯
¯ Z
I
³
f(x0+h,t)−f(x0,t)−h∂f
∂x(x0,t)´ d t¯
¯. Or f(x0+h,t)−f(x0,t)=
Z x0+h
x0
∂f
∂x(y,t)d y (on peut aussi bien écrire f(x0+h,t)−f(x0,t)=
Z x0+h
x0
∂f
∂x(x,t)d x, mais il y a plus de confusion dans les notations). Donc :
δ(h)≤ Z
I
¯
¯
¯ Z x0+h
x0
¡∂f
∂x(y,t)−∂f
∂x(x0,t)¢ d y
¯
¯
¯d t.
Soit alors (hn) une suite convergeant vers 0, on peut écrire δ(hn)
|hn| ≤ Z
I
an(t)d tavecan(t)= 1
|hn|
Z x0+hn
x0
¯
¯
∂f
∂x(y,t)−∂f
∂x(x0,t)¯
¯d y. On a|an(t)| ≤ 2ψ(t) (majoration simple) et, pour toutt, (an(t))n∈Nconverge vers 0 (continuité de ∂f
∂x). On applique alors le théorème de convergence dominée, qui permet de conclure queδ(hn)
|hn| converge vers 0. La caractérisation des limites par les suites, puis la définition de la dérivée permettent de conclure.
Table des matières
I Interversion de limites et d’intégrales 3
I.1 Le théorème de convergence dominée . . . 3
I.2 Exemples . . . 4
a. Intégrales de Wallis . . . 4
b. Un problème pas très différent. . . 4
c. Un classiquebeaucoupplus difficile . . . 5
d. Une indication technique . . . 7
e. Cas d’un intervalle borné . . . 7
I.3 Utilité de l’hypothèse de domination . . . 7
I.4 A propos de la convergence uniforme . . . 7
I.5 Un découpage d’intégrale . . . 8
I.6 Extension du théorème . . . 8
I.7 Exemples d’utilisation . . . 10
a. Calcul de limite d’une transformée de Laplace . . . 10
b. Théorèmes de la valeur initiale, de la valeur finale . . . 10
c. Utilisation pour le calcul d’une intégrale semi-convergente 10 I.8 Interversion de séries et d’intégrales . . . 11
II Continuité des fonctions définies par des intégrales 13 II.1 Théorème de continuité . . . 13
II.2 Démonstration . . . 14
II.3 Quelques exemples . . . 14
a. Transformée de Fourier . . . 14
b. Transformée de Laplace . . . 14
c. FonctionΓ . . . 14
III ClasseC1(dérivation sous le signeR ) 15 III.1 Théorèmes . . . 15
III.2 Exemples . . . 16 a. Calcul d’une intégrale célèbre à l’aide d’une transformée
de Laplace . . . 16 b. Une transformée de Fourier . . . 17 c. La fonctionΓ . . . 17 IV Annexe 1 : une démonstration restreinte du théorème de convergence
dominée 18
IV.1 Annexe 2 : Démonstration du théorème de dérivation . . . 19
