PROBLÈMES D’INTERVERSION DE LIMITES ET D’INTÉGRALES.

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�� PROBLÈMES D’INTERVERSION DE LIMITES ET D’INTÉGRALES.

On considère une suite(fn)_nœNde fonctions etf une fonction, toutes définies sur un même ensembleEet à valeurs dansK=RouC.

D��. [�� ,��]

On dit que(fn)nœNconverge simplement versfsi pour toutxœE, on afn(x) _næ+Œ≠æ f(x).

On dit que(fn)nœNconverge uniformément versfsisup_E|fn≠f| _n_æ+Œ≠æ 0.

I. Suites et séries de fonctions : propriétés de la limite et de la somme

I. A. Interversion limite-limite

^[AF��,^El^��]

E��. [Hau��, p��] Pourfn:xœ[0,1]‘≠æxⁿ, on alimnæ+Œlim_xæ1≠fn(x) = 1”= 0 = lim_xæ1≠limnæ+Œfn(x).

T��. SupposonsEmétrique. SoitaœEtel quefn(x) ≠æ_x_æ_a ¸n œKetfn

≠æu næ+Œ f sur un voisinage dea.

Alorslimnæ+Œ¸netlimxæaf(x)existent et sont égales. Autrement dit :

næ+Œlim lim

xæafn(x) = lim

xæa lim

næ+Œfn(x)

T��. Dans le même contexte, si les(fn)_nœNsont continues enaet sifn

≠æu næ+Œ f sur un voisinage dea, alorsfest continue ena.

C��. [�� ]

SupposonsEmétrique et soitaœE. Silimxæafn(x)existe pour toutnœNetqfkconverge uniformément au voisinage dea, alors :

xæalim ÿ

nØ0

fn(x) =ÿ

nØ0

xæalimfn(x)

R��. Dans les deux théorèmes on aurait pu plus généralement considérer les fonctions à valeurs dans un espace complet. Dans le corollaire on aurait pu les supposer à valeurs dans un espace deB��.

E��. ’:x >1≠æq

nØ1 1

n^xest continue et’(x) _xæ+Œ≠æ 1.

A��. Une série entière de rayon de convergenceR >0est continue surDR(O).

R�� . On ne peut rien dire sur le cercle de convergence : par exemple avec q

nØ0(≠1)ⁿzⁿ=_1+z¹ définie pour|z|<1, on a_1+z¹ ≠æ_zæ1 1/2maisq(≠1)ⁿdiverge.

P��. SoitIun intervalle deR, on suppose les(fn)nœNdansC¹(I,R)telles que f_n^Õ _n≠æ_æ+Œ^u getfn

≠æs næ+Œ f. Alorsf œC¹(I,R),fn u

næ+Œ≠æ fetf^Õ=g.

R��. La preuve de ce théorème utilise le Théorème��.

C��. Si les(fn)nœNsontC^k([a, b],R)et telles quefn^(p) s

næ+Œ≠æ gppourpÆk avecfn^(k) u

næ+Œ≠æ gk, alorsg₀œC^k([a, b],R),fn

≠æu

næ+Œ g₀etg₀^(p)=gppourpÆk.

E��. Soitfu:t‘≠æexp(tu)(uœR). AlorsfuestC^Œetfu^(p):t‘≠æq

nœN tⁿ^≠^p (n≠p)!uⁿ. E��. [Hau��, p��] Importance de la convergence uniforme de(fn^Õ)nœN: considérer fn(x) =

x²+ 1/n.

I. B. Interversion limite-intégrale sur un segment

[Gou��, §�.�, p��–��]

E��. On considère la suite de fonctions(fn)_nœNdéfinie sur[0,1]parfn(0) = 0, fn(1/n) =n²,fn([2/n,1]) = 0etfnest a�ine sur[0,1/n]puis[1/n,2/n].

Alorsfnest continue, converge simplement vers0maislimnæ+Œs1

0 fn = limnæ+Œs1 0 n = +Œ ”= 0 =s1

0 limnæ+Œfn.

T��. Soit[a, b]un segment deRet(fn)nœNdéfinies, continues et convergeant uniformément sur[a, b]versf. Alorsfest continue et :

næ+Œlim

⁄ b a

fn =⁄ b a

f

E��. fn:xœ[0,1]‘≠æxⁿ(1≠x)ⁿ. On asup_[0,1]fn= 1/4ⁿ _næ+Œ≠æ 0doncs1

0 fn _næ+Œ≠æ 0.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

(2)

Agrégation – Leçons ��– Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

E��. Importance de l’hypothèse de compacité : considérerfndéfinie parfn(0) = 0, fn(n) = 1/Ôn,fn([2n,+Œ[) = 0etfna�ine sur[0, n]et[n,2n].

Alorssup_R⁺|fn|= 1/Ôn _n_æ+Œ≠æ 0etsŒ

0 fn=Ôn _n≠æ_æ+Œ +Œ.

C��. [�� ]

Dans le même contexte, soit(fn)nœNtelle queq

fkconverge uniformément sur[a, b], alors :

⁄ b a

ÿ

nØ0

fn(t)dt=ÿ

nØ0

⁄ b a

fn(t)dt

A��. Sif(x) =q

nØ0anxⁿest une série entière de rayon de convergenceR >0, alors pour[a, b]µ]≠R, R[, on asb

af(x)dx=q

nØ0ansb axⁿdx.

E�� ��. Pour x œ] ≠ 1,1[, on a _1+x¹2 = q

nØ0(≠1)ⁿx²ⁿ, d’où arctan(x) = qnØ0(≠1)ⁿ

2n+1x²ⁿ⁺¹.

II. Théorèmes d’interversion en théorie de l’intégration

Dans toute la suite(E,A, µ)désigne un espace mesuré.

II. A. Les théorèmes fondamentaux

[BP��, Ch�/�, p��–��]

T��. [�� ]

Soit(fn)nœNune suite croissanteµ- p.p. de fonctions mesurables positivesµ- p.p.. Alors :

næ+Œlim ø

⁄

E

fndµ=⁄

E

næ+Œlim øfndµ (œ[0,+Œ])

E��. Le résultat est faux pour des fonctions décroissantes :fn= 1/noufn =1_[n,+Œ[.

C��. Soit(fn)nœNdes fonctions mesurables positivesµ- p.p.. Alors : ÿ

nØ0

⁄

E

fndµ=⁄

E næ+Œlim

ÿ

nØ0

fndµ (œ[0,+Œ])

T��. [�� F��]

Soit(fn)nœNune suite de fonctions mesurables positivesµ- p.p..

⁄

E

lim inf

næ+ŒfndµÆlim inf_næ+Œ⁄

E

fndµÆ+Œ

A�� ��. Si (fn)_nœN est une suite de fonctions positives p.p. telles que fn _n_æ+Œ≠æ +Œp.p., alorss

Efndµ _n_æ+Œ≠æ +Œ. T��. [�� ]

Soit(fn)_nœNune suite de fonctions mesurables telles que :

• limnæ+Œfnexisteµ- p.p.,

• il existegintégrable surEtelle que|fn(x)|Æg(x)µ- p.p.pour toutnØ0.

Alorsfest intégrable etlimnæ+Œs

E|fn≠f|dµ= 0(et doncs

Efndµ _n_æ+Œ≠æ s

Ef dµ).

E��. L’hypothèse de domination est cruciale : considérerfn=n1_[0,1/n]. C��. Si les(fn)nœNsont mesurables et telles queq

nØ0s

E|fn|dµ <+Œ, alors les(fn)nœNetq

nØ0fnsont intégrables et on a :

⁄

E

ÿ

nØ0

fndµ=ÿ

nØ0

⁄

E

fndµ

A��. sn

0(1 +x/n)ⁿe^≠–xdx _n≠æ_æ+Œ

; Œ si–Æ1 1/(–≠1) sinon .

T��. [�� ]

Soitu₀:R≠æRnon identiquement nulle,2ﬁ-périodique,C¹par morceaux et continue.

Alors il existe une unique solutionuœC⁰(R+◊R)ﬂC^Œ(R^ú+◊R)telle que :

; ˆtu(t, x) =ˆ_xx² u(t, x) ’t >0, xœR u(0, x) =u₀(x) ’xœR

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II. B. Conséquences sur les intégrales à paramètres

[BP��, §�.�, p��–��]

T��. [�� ]

SoientUun espace métrique,u₀œUetf :U◊E≠æKtelles que :

• pour toutuœU,x‘≠æf(u, x)est mesurable,

• pourµ-presque toutx,u‘≠æf(u, x)est continue enu0,

• il existegintégrable telle que pour toutuœU,|f(u, x)|Æg(x)µ- p.p..

Alorsu‘≠æs

Ef(u, x)dµ(x)est bien définie surUet est continue enu0.

A��. Continuité de la transformée deF��d’une fonctionL¹(R^d).

T��. [�� ]

SoientIun intervalle deRetf :I◊E≠æKtelles que :

• pour toutuœI,x‘≠æf(u, x)est intégrable surE,

• pourµ-presque toutx,u‘≠æf(u, x)est dérivable surI,

• il existegintégrable telle que pour toutuœI,---^ˆfˆu(u, x)---Æg(x)µ- p.p..

AlorsF :u‘≠æs

Ef(u, x)dµ(x)est définie, dérivable surIetF^Õ :u‘≠æs

E ˆf

ˆu(u, x)dµ(x).

A��. s+Œ 0 sin(x)

x dx= ^ﬁ₂.

A��. La transformée deF��d’une gaussienne est une gaussienne. SiG‡ : x‘≠æ ^Ô_2ﬁ‡¹ 2e^≠^2‡^x²² pour un‡>0, alorsGˆ‡:’‘≠æe^≠^‡²²^’².

P��. [�� P��] [Gou��, §�.�, p��]

Soitf :R≠æCune fonctionC¹telle quef(x) =O(1/x²)etf^Õ(x) =O(1/x²)en±Œ. Alors les sommes suivantes sont bien définies et on a :

’xœR,ÿ

nœZ

f(x+ 2nﬁ) = 1 2ﬁ

ÿ

nœZ

fˆ(n) e^inx oùfˆ(n) =s

Rf(t) e^≠^intdt.

A��. [�� J��]

Pourx >0, (x) =q

nœZe^≠^ﬁn²^xvérifie (x) = ^Ô¹_x (¹_x).

T��. [�� ]

Soient un ouvert deCetf : ◊E≠æCtels que :

• pour toutzœ ,x‘≠æf(z, x)est mesurable surE,

• pourµ-presque toutx,u‘≠æf(z, x)est holomorphe sur ,

• il existegintégrable telle que pour toutzœ ,|f(z, x)|Æg(x)µ- p.p..

AlorsF :z‘≠æs

Ef(z, x)dµ(x)est holomorphe sur et

’kØ0, F^(k):z‘≠æ

⁄

E

ˆ^kf

ˆz^k(z, x)dµ(x) E��. La fonction :z‘≠æsŒ

0 e^≠^tt^z^≠1dtest définie et holomorphe sur{Ÿ(z)>0}.

II. C. Interversion intégrale-intégrale

[BP��, §��.�, p��–��]

Soit(F,B,‹)un autre espace mesuré. On suppose queµet‹sont‡-finies.

T��. [�� F��-T��]

Soitf : (E◊F,A¢B, µ¢‹)≠æR⁺mesurable positive. Alorsx‘≠æs

Ff(x, y)d‹(y)et y‘≠æs

Ef(x, y)dµ(x)sont mesurables et on a :

⁄

E◊F

f(x, y)d(µ¢‹)(x, y) =⁄

E

⁄

F

f(x, y)d‹(y)dµ(x) =⁄

F

⁄

E

f(x, y)dµ(x)d‹(y) œ[0,+Œ]

A��. Considéronsµet‹les mesures de comptages surN. Alors pour tout famille de réels positifs(ui,j)_i,jœN, on aq

iØ0q

jØ0ui,j =q

jØ0q

iØ0ui,j. T��. [�� F��-L��]

Soitf : (E◊F,A¢B, µ¢‹)≠æKintégrable. Alors

• x‘≠æs

Ff(x, y)d‹(y)est définieµ- p.p. et est intégrable surE,

• y‘≠æs

Ef(x, y)dµ(x)est définie‹- p.p. et est intégrable surF,

• s

E◊Ff(x, y)d(µ¢‹)(x, y) =s

E

s

Ff(x, y)d‹(y)dµ(x) =s

F

s

Ef(x, y)dµ(x)d‹(y) E��. Considéronsf : [0,+Œ[◊[0,1]≠æR,(x, y)‘≠æ2 e^≠2xy≠e^xy. Elle est continue maiss1

0 sŒ

0 f(x, y)dxdy= 0<sŒ 0 s1

0 f(x, y)dydx.

A��. Calcul du volume de la boule unité euclidienne deRⁿ: Vn = Lebn(B(0,1)) = ﬁ^n/2

(n/2 + 1)

(4)

��

On s’intéresse à plusieurs situations dans lesquelles on veut intervertir limites et intégrales :

• limnæ+Œs

fn=slimnæ+Œfn,

• intégrales à paramètresu‘≠æs

Ef(x, u)dµ(x),

• s

E

s

Y f =s

Y

s

Ef.

Nous allons voir dans une première partie l’importance de la convergence uniforme, qui permet l’interversion limite limite, puis même limite intégrale dans le cas de segments.

Ensuite nous verrons comment la théorie de l’intégration apporte beaucoup de souplesse. Les outils des espacesL^pcomme la convergence monotone, le lemme deF��ou le théorème de convergence dominée permettent des inversions faciles et ont des conséquences notables sur les intégrales à paramètres

Enfin l’inversion entre intégrales va être également possible dans le cadre de cette théorie : c’est l’objet des théorèmes deF��.

��

Autres références possibles : [Bre��,Far��,QZ��,Rud��].

Dans le speech, ne pas trop parler de la di�érence des deux théories d’intégration R��-

��/L��pour éviter des questions piège.

��

Q Pourquoi le théorème de continuité sous le signe intégral est-il une conséquence des théo- rèmes précédents?

R On se ramène à des suites car l’espace est métrique. On fait le lien entre les hypothèses qui vont permettre d’appliquer les théorèmes précédents.

Q SoitT > 0etf : [0, T] ≠æ Ccontinue. Pourn œ Nett œ [0, T], on posegn(t) = qkØ1(≠1)^k

k! sT

0 f(u) e^≠kn(t≠u)du. Déterminer la limite simple de(gn)nœN. Q Étudier l’existence et la continuité de la fonctionx‘≠æs

R sin(t) 1+(x≠t)⁴dt.

Q On considère la série de fonctionsq

fkavecfk :x‘≠æ e^≠nx≠2 e^≠2nxpourxØ0. Com- parer l’intégrale sur(R⁺)^úde la limite avec la limite de l’intégrale. Que peut-on dire de la convergence simple? normale?

��

[AF��] J.M.A��et H.F��:Cours de mathématiques, Tome�, Analyse. Dunod,��.

[BP��] M.B��et G.P��:Théorie de l’intégration. Vuibert,�^èmeédition,��.

[Bre��] H.B��:Analyse fonctionnelle : théorie et applications. Dunod,��.

[El��] M.E�A��:Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions. Ellipses,��.

[Far��] J.F��:Calcul intégral. Belin,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Hau��] D.H��:Les contre-exemples en Mathématiques. Ellipses,�^èmeédition,��.

[QZ��] H.Q��et C.Z��:Analyse pour l’agrégation. Dunod,�^èmeédition,��.

[Rud��] W.R��:Analyse réelle et complexe. Dunod,�^èmeédition,��.

￿￿￿ PROBLÈMES D’INTERVERSION DE LIMITES ET D’INTÉGRALES.