Master Fluides Complexes et Milieux Divis´es
Examen d’´Elasticit´e – Dur´ee : 2h30 12 d´ecembre 2013
Les calculatrices sont autoris´ees. Les deux exercices sont ind´ependants.
Les principales formules et notations utiles sont fournies en derni`ere page.
Bar`eme approximatif : Exercice 1 : 6 point ; Exercice 2 : 14 points.
1 Essai de compression plane
Une ´eprouvette parall´el´epip´edique (l0,b0,h0) est comprim´ee dans un moule par un piston sous l’action d’une forceF~. Le moule interdit toute d´eformation dans la directionx2 tandis qu’il autorise le mouvement dans la directionx1. On n´eglige les frottements et les forces de volume.
x1
x3 x3
x2
l0 b0
h0
F F
Moule Moule
Piston Piston
1. On postule une solution sous la forme
u1 = βx1 u2 = 0 u3 = −αx3
σ =
0 0 0
0 σ2 0 0 0 σ3
Justifier cette forme. Donner en fonction deF la valeur deσ3. Comment mesurera-t-on α etβ?
2. Le mat´eriau ob´eit `a la loi de Hooke. D´eterminer α, β et σ2 en fonction de σ3 et des composantes ´elastiques E et ν. Montrer que cet essai permet la d´etermination exp´erimentale de E etν.
1
2 Poutre composite
Une poutre composite est form´ee de deux mat´eriaux A et B. L’int´erieur de la poutre est constitu´e par le mat´eriau B (´epaisseur b, selon x2) qui est enserr´e et coll´e entre deux couches du mat´eriauA, chacune d’´epaisseura/2. La poutre est de largeurw et de longueur L, que l’on supposera grande devant w et h = a+b. Les fractions volumiques de A et B sont respectivementCA etCB (avecCA+CB = 1), et les masses volumiques ρA etρB. On cherche `a caract´eriser, dans certaines situations, le comportement homog`ene ´equivalent qu’il faudrait affecter `a un mat´eriau unique pour qu’il reproduise le comportement global de la poutre. On notera respectivementσA etσB le tenseur des contraintes dans A et dansB, et εA et εB le tenseur des d´eformations. On suppose que les deux mat´eriaux A et B ont un comportement ´elastique isotrope, caract´eris´e par les modules d’YoungEAetEB> EAet les coefficients de Poisson que l’on suppose ´egaux entre eux νA= νB =ν.
1. ´Ecrire CAetCB en fonction de a,b,h,w etL.
2. Traction :
On effectue une traction uniaxiale `a d´eplacement impos´e dans la directionx1 (ε11=ε), en laissant libres les autres bords de la poutre.
(a) Exprimer le tenseur des contraintes et des d´eformations dans chaque mat´eriaux, en fonction de leurs caract´eristiques, en vous aidant de la loi de Hooke appropri´ee.
(b) Exprimer la valeur de la contrainte moyenne< σ >= CAσA11 +CBσB11 en fonc- tion de ε, et en d´eduire la valeur du module d’Young apparentEapp du mat´eriau homog`ene ´equivalent lors de cette d´eformation.
3. Cisaillement :
On cisaille la poutre en appliquant une force F~ sur la face situ´ee en x2 =h/2 dans la direction x1, la facex2 = −h/2 ´etant fixe et les autres faces libres.
(a) Exprimer le tenseur des contraintes dans le mat´eriau en faisant intervenir F et les caract´eristiques dimensionnelles.
(b) Calculer le champ de d´eplacement dans le mat´eriaux. Exprimer la valeur maxi- male du d´eplacement enx2 =h/2. En d´eduire la valeur du module de cisaillement
2
apparent µapp du mat´eriau homog`ene ´equivalent pour cette d´eformation.
4. Flexion :
La poutre est encastr´ee horizontalement enx1 = 0 et soumise `a son propre poids dans la direction x2.
(a) ´Ecrire la contrainteσxx(x2) dans la poutre.
(b) D´eterminer la position de la surface neutre de la poutre x20(x1, x3).
(c) ´Ecrire le moment infinit´esimald ~m qui d’exerce sur un ´el´ement de surfacedx2dx3
situ´e `a la hauteurx2.
(d) Exprimer la force f~ par unit´e de longueur dans la direction x1 `a laquelle est soumise la poutre.
(e) Calculer le moment fl´echissantM~ de la poutre composite. En d´eduire le module d’Young apparentEapp1 du mat´eriau homog`ene ´equivalent pour cette d´eformation de flexion, et le tracer en fonction du rapport α=b/h.
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FORMULAIRE
Loi de Hooke :
σik =Kεllδik+ 2µ
εik−1 3δikεll
et εik = 1
9Kδikσll+ 1 2µ
σik− 1 3δikσll
σik= E 1 +ν
εik+ ν
1−2νεllδik
et εik = 1
E[(1 +ν)σik−νδikσll]
Relation entre les coefficients ´elastiques :
K = E
3(1−2ν) µ= E
2(1 +ν)
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