Diffusion et Percolation Licence 3 - Introduction aux syst`emes complexes

Diffusion et Percolation

Licence 3 - Introduction aux syst`emes complexes

S´ebastien Verel verel@i3s.unice.fr www.i3s.unice.fr/∼verel

´Equipe ScoBi - Universit´e de Nice Sophia Antipolis

25 avril 2013

Percolation

L’aventure ”Introduction aux Syst` emes Complexes”

cm01 : Introduction Decartes : d´emarche analytique

”Le Tout est plus que l’ensemble de ses Parties”

Description ”Holisme” d’un syst`eme

Ph´enom`ene non-lin´eaire Plusieurs niveaux de description et d’interaction Emergence

NetLogo

Monde des Patches et Turtles

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Percolation

L’aventure ”Introduction aux Syst` emes Complexes”

cm02 : Automate cellulaire

Mod`ele de SC discret le plus

cm03 : Morphog´en`ese

Cr´eation des formes,

Percolation

L’aventure ”Introduction aux Syst` emes Complexes”

cm04 : Jeux ´evolutionnaires

Dilemme du prisonnier, dilemme social

cm05 : Mod`ele Shelling (1)

S´egr´egation, micro- vs. macro- scopique, fronti`ere

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Percolation

L’aventure ”Introduction aux Syst` emes Complexes”

cm06 : Mod`ele Shelling (2) cm07 : R´eseaux sociaux (1)

Percolation

L’aventure ”Introduction aux Syst` emes Complexes”

cm08 : R´eseaux sociaux (2)

Petit monde, monde sans ´echelle

cm09 : Chaos

Convergence, cycle, chaos d´eterministe

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Percolation

Quelles questions se poser ?

Pour d´efinir un syst`eme

D´eterminer les limites du syst`eme : Int´erieur / Ext´erieur

D´eterminer les interactions du syst`eme avec l’ext´erieur Ouvert / ferm´e

D´eterminer les composants du syst`eme

D´eterminer les interactions entre les composants

Percolation

Type de mod` ele (in progress)

Temps :

Discret / Continu Espace :

∅/ Discret / Continu

Variable (grandeur qui varie avec le temps) : Discret / Continu

Composants (entit´e, agents) : Distinct / non distinct Nombre fini / infini

Relation entre composants (r´eseau d’interaction) Homog`ene (r´egulier, uniforme) / inhomog`ene Evolution :

D´eterministe / Stochastique (variabilit´e, distribution)

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Percolation

Mod´ elisation par agents

Temps : Discret

Composants (entit´e, agents) : Distinct

Nombre fini

Relation entre composants (r´eseau d’interaction) Homog`ene (r´egulier, uniforme) / inhomog`ene Evolution :

Stochastique (souvent)

Avantage : variabilit´e, non-lin´earit´e

Domaine de l’informatique et de l’exploration par la

Percolation

D´ ecrire et observer un syst` eme

Description de la dynamique

D´ecrire les niveaux, les ”formes” macroscopiques Observer les points fixes (structure fixe, stable) D´ecrire les relations entre les niveaux macroscopiques D´ecrire les dynamiques de convergence (cycle, ph´enom`ene quasi-p´eriodique, etc.)

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Percolation

Plan

1 Propagation d’une infection Mod`ele SI

Mod`ele SIR

2 Percolation

Percolation Mod`ele SIR

Mod` ele de propagation de maladie

Mod`ele `a compartiments

Principe

Les individus peuvent ˆetre dans diff´erents ´etats : compartiments

Des r´egles d´efinissent les changements d’´etats

... lien avec automate `a ´etats

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Percolation Mod`ele SIR

Mod` ele SI

Un individus peut ˆetre dans l’´etat : S: Susceptible d’ˆetre infect´e I: Infect´e

Un individus devient infect´e

au contact d’un individus infect´e selon le tauxβ

S ^beta I

1 - beta 1.0

Percolation Mod`ele SIR

Premi` ere mod´ elisation

Temps : Discret Espace :

∅ Variable :

Discret Composants :

non distinct Nombre fini

Relation entre composants (r´eseau d’interaction) Homog`ene

Evolution :

D´eterministe (grandeur moyenne)

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Percolation Mod`ele SIR

Premi` ere mod´ elisation

N : nombre total d’individus

St : nombre moyen d’individus dans l’´etat S `a l’instantt It : nombre moyen d’individus dans l’´etat I `a l’instantt cf. Tableau (d´esol´e pour les absents)

Mod´elisation par une suite de valeurs enti`eres I_t+1=I_t+β(N−I_t)I_t

N

Percolation Mod`ele SIR

Deuxi` eme mod´ elisation

Temps : Discret Espace :

∅ Variable :

Distret Composants :

non distinct Nombre infini

Relation entre composants (r´eseau d’interaction) Homog`ene

Evolution :

D´eterministe (grandeur moyenne)

S´ebastien Verel Diffusion Percolation

Percolation Mod`ele SIR

Deuxi` eme mod´ elisation

It

N −→_N→∞ i_t

st : proportion moyenne d’individus dans l’´etat S `a l’instantt i<sub>t</sub> : proportion moyenne d’individus dans l’´etat I `a l’instantt cf. Tableau (d´esol´e pour les absents)

Mod´elisation par une suite de valeurs r´eelles i_t+1=i_t+β(1−i_t)i_t

Percolation Mod`ele SIR

Troisi` eme mod´ elisation

Temps : Continu Espace :

∅ Variable :

Distret Composants :

non distinct Nombre infini

Relation entre composants (r´eseau d’interaction) Homog`ene

Evolution :

D´eterministe (grandeur moyenne)

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Percolation Mod`ele SIR

Troisi` eme mod´ elisation

s(t) : proportion moyenne d’individus dans l’´etat S `a l’instant t

i(t) : proportion moyenne d’individus dans l’´etat I `a l’instant t cf. Tableau (d´esol´e pour les absents)

Mod´elisation par une ´equation diff´erentielle di

dt =β(1−i)i

Percolation Mod`ele SIR

Solution de l’´ equation diff´ erentielle

di

dt =β(1−i)i Convergence vers i = 1 d`es que β >0

Croissance (1) exponentielle, puis (2) lin´eaire, puis (3) exponentielle n´egative (sigmo¨ıde, cf tableau)

Fonction logistique (Verhulst) i(t) = i0e^βt

1−i₀+i₀e^βt = 1 1 +a.e^−βt aveca= ¹⁻ⁱ_i ⁰

0

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Percolation Mod`ele SIR

Quatri` eme mod´ elisation

Temps : Discret Espace :

∅ Variable :

Discret Composants :

distinct Nombre fini

Relation entre composants (r´eseau d’interaction) Homog`ene

Evolution : Stochastique

Percolation Mod`ele SIR

Mod´ ele ` a agents

S ^beta I

1 - beta 1.0

A chaque instant, chaque individus rencontre un autre individus de mani`ere al´eatoire

Un individus S devient I selon une exp´erience de Bernouilli de param`etreβ :

”Il devient I avec une probabilit´e β”

turtles-own [ etat ; S ou I

ancien-etat ; mod`ele de temps synchrone ]

cf. TP... cinqui`eme mod´elisation : espace discret

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Percolation Mod`ele SIR

Simulation multi-agents

Simuler une loi de Bernouilli de param`etreβ ifelse random-float 1.0 < beta [ ...

] [ ...

]

Evolution d’un ´etat Pour tous les agents :

Enregistrer l’´etat courant dans l’´etat dit ”ancien”

Puis pour tous les agents,

Percolation Mod`ele SIR

Mod` ele SIR

Un individus peut ˆetre dans l’´etat : S: Susceptible d’ˆetre infect´e I: Infect´e

R: Recover (immunis´e)

Un individus S devient infect´e au contact d’un individus infect´e selon le tauxβ

Un individus infect´e devient immunis´e selon le tauxγ

S ^beta I

1 - beta 1.0 - gamma

I R

1.0

gamma

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Percolation Mod`ele SIR

Mod` ele temps discret, nombre fini

St : nombre moyen d’individus dans l’´etat S `a l’instantt It : nombre moyen d’individus dans l’´etat I `a l’instantt Rt : nombre moyen d’individus dans l’´etat R `a l’instantt N =S_t+I_t+R_t : nombre total d’individus

cf. Tableau (d´esol´e pour les absents) S_t+1 = S_t − βS_tN^It

I_t+1 = I_t + βS_tN^It −γI_t Rt+1 = Rt + γIt

Percolation Mod`ele SIR

Mod` ele temps continue, nombre infini

s(t) : proportion moyenne d’individus dans l’´etat S `a l’instant t

i(t) : proportion moyenne d’individus dans l’´etat I `a l’instant t r(t) : proportion moyenne d’individus dans l’´etat R `a l’instant t

cf. Tableau (d´esol´e pour les absents)

ds

dt = β s i

di

dt = β s i−γ i

dr

dt = γ i

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Percolation Mod`ele SIR

Mod` ele multi-agents

S ^beta I

1 - beta 1.0 - gamma

I R

1.0

gamma

A chaque instant, chaque individus rencontre un autre individus de mani`ere al´eatoire

Un individus S devient I selon une exp´erience de Bernouilli de param`etreβ :

”Il devient I avec une probabilit´e β”

Un individus I devient R selon une exp´erience de Bernouilli de param`etreγ :

”Il devient R avec une probabilit´e γ”

Percolation Mod`ele SIR

Mod` ele ` a compartiments

Variantes et extensions

Plus de compartiments (´etats) : mort, etc.

Tenir de compte de l’age, sexe, etc Mouvement des individus

etc.

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Percolation

Percolation : Bibliographie principale

Percolation et ´economie, th`ese de doctorat, St´ephane Pajot, 2001.

Percolation

Exemples

Masque `a gaz : constitu´e granules de carbone poreux. R´eseau al´eatoire de petits tunnels interconnect´es.

Pores larges : gaz passe `a travers Pores trop petits : plus de travers´e

Caf´e : serrage plus au moins fort du filtre. Agglom´erat de fines particules (milieu al´eatoire inhomog`ene)

Densit´e `a laquelle l’eau ne passe plus

→ Seuil de percolation

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Percolation

Exemples

Archipel au contient : baisse du niveau de l’eau

R´eseau de communication : n stations reli´ees avec une probabilit´e p

M´elange de 2 poudres : proportion p de poudre conductrice, 1−p de non-conductrice

→ Seuil critique de percolation

Percolation

D´ efinition

1954, Broadbent

utilisation des m´ethodes de Monte-Carlo pour analyser la p´en´etration d’un fluide dans un labyrinthe de passage ouvert ou ferm´e

Terminologie (en r´ef´erence au caf´e) 1957 : S.R.

BROADBENT et J.M. HAMMERSLEY : Mod`ele dual de la diffusion

Processus de propagation al´eatoire d’un fluide `a travers un milieu Diffusion Percolation Mouvement du fluide al´eatoire d´eterministe Structure du milieu d´eterministe al´eatoire

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Percolation

Dualit´ e diffusion/percolation

Diffusion

p=1/4

milieu d´eterministe,

Percolation

milieu al´eatoire, d´eplacement d´eterministe

Percolation

Probl` eme de transmission

probl`eme de transmission milieu ´etendu

distribution r´eguli`ere d’un grand nombre de ”sites”

susceptibles de relayer localement une information communication entre sites : liens d’efficacit´eal´eatoire Selon la proportion de liaisons actives :

possibilit´e ou non de transmission information `a longue distance

pc seuil de percolation

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Percolation

Probl` eme de transmission

percolation repose sur 3 hypoth`eses

ph´enom`ene ´etudi´e dans un espace contenant un grand nombre d’´el´ements

relation entre les ´el´ements repose sur un aspect local relation entre les ´el´ements a un caract`ere al´eatoire Ph´enom`ene critique au niveau global:

p <p_c : information limit´ee `a un espace r´eduit p<sub>c</sub> <p : information ”percole” `a travers le milieu

Percolation

Types de percolation

Exemple d’un r´eseau de communication

Perco. Sites Perco. Liens Perco. Mixte

Noir : site actif Blanc : site inactif Ligne pleine : lien actif Ligne pointill´e : lien inactif

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Percolation

Percolation de Sites

Percolation de Sites

GrapheG = (V,E) : ensemble infini de noeuds et arcs

Chaquesommet`a l’un des 2

´

etats possibles : 0/1, actif/inactif,

conducteur/non cond.

Probabilit´ep^s d’ˆetre dans l’´etat 1

Chemin conducteur de S_a `aS_b S’il existe une suite

Percolation

Percolation de Sites

Amas

deux sites appartiennent au mˆemeamas s’il existe au moins un chemin conducteur entre eux

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Percolation

Percolation de Liens

Percolation de Liens

GrapheG = (V,E) : ensemble infini de noeuds et arcs

Chaquearc`a l’un des 2 ´etats possibles : 0/1, actif/inactif, conducteur/non cond.

Probabilit´ep^b d’ˆetre dans l’´etat 1

Chemin conducteur de Sa `aSb

S’il existe une suite

(S1=Sa, . . . ,Sn=Sb) de sites

Percolation

Percolation Mixte

Nombreux type de r´eseaux : hexagonal, triangulaire, etc.

Percolation Mixte P(p^s,p^b) GrapheG = (V,E) : ensemble infini de noeuds et arcs

Chaquesommet`a l’un des 2

´

etats possibles : 0/1, actif/inactif,

conducteur/non cond.

Chaquearc`a l’un des 2 ´etats possibles : 0/1, actif/inactif, conducteur/non cond.

Probabilit´ep^s d’ˆetre dans l’´etat 1

Probabilit´ep^b d’ˆetre dans l’´etat 1

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Percolation

Seuil de percolation

D´efinition

Dans r´eseau avec une probabilit´e p de sites (ou liens) actifs.

Concentrationp `a laquelle un amas de taille infinie apparait dans un r´eseau de taille infinie

p ≥p_c une chaine s’´etend d’un cˆot´e `a l’autre du syst`eme (percolation)

p <p_c aucun chemin de ce type D´efinition

pc =sup{p|Prob(p) = 0}

Percolation

Seuil de percolation

Ph´enom`ene critique : transition de phase

D´efinition

pc =sup{p|Prob(p) = 0}

avec Prob(p) probabilit´e de percolation pour la densit´e p

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Percolation

Seuil de percolation : exemple percolation mixte

Ph´enom`ene critique : transition de phase

D´efinition

p_c =sup{p|Prob(p) = 0}

avec Prob(p) probabilit´e de percolation pour la densit´e p

Percolation

Effet de la taille finie

Mesure sur un grand nombre d’instances Calculs statistiques :

moyenne et l’´ecart-type pour chaque valeur de p Trac´e exp´erimental de la courbe de transition de phase

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Percolation

Percolation dans le mod` ele SI

Tous les sites ne sont pas occup´es : Probabilit´e p qu’un site soit occup´e β = 1 infection en cas de contact

Tous les individus `a gauche sont infect´es initialement Probabilit´e que la maladie traverse le r´eseau d’individus ?

p= 0.50 p = 0.55 p= 0.60

Percolation

Continuons l’histoire des ´ etudiants de premi` ere ann´ ee...

Un ´etudiant est inform´e que le professeur est en retard, Il communique l’info `a tous ceux dont il a fait connaissance, De mˆeme pour ceux qui viennent d’apprendre la nouvelle.

Sur le r´eseau d´efini par des r´egles locales

s’ajoute une dynamique de propagation d’information.

Combien d’´etudiants vont ˆetre inform´es du retard et pourront prendre leurs dispositions ?

Est-ce que la communaut´e des ´etudiants va pouvoir r´eagir l’information dans son ensemble et rapidement ?

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Percolation

Qu’est-ce qui se passe chez les ´ etudiants ?

Percolation

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Taux

p

n=100 n=200 n=300

Transition de phase Avantlog(n)/n : peu d’´etudiants inform´e Apr`eslog(n)/n :

quasiment tous les ´etudiants inform´e

Nombreuses cons´equences Transmission de maladies infectieuses

Propagation d’information dans un r´eseau type

”twitter”

etc.

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Percolation

Vitesse de propagation : longueur de chemin

Longueur de chemin

La longueur d’un chemin est le nombre d’arcs du chemin P(v,w).

Distance

La distance entre 2 noeuds v et w est la longueur minimale chemin parmis les chemins reliant v et w.

Percolation

Vitesse de propagation : longueur moyenne de chemin

Average Path length

Longueur moyenne de chemin La longueur moyenne de chemin est la moyenne des distance entre tout couple de noeuds du graphe.

Diam`etre

Si le graphe est connexe, le diam`etre est la plus grande distance entre les couples de noeuds.

Directement li´e au temps de propagation de l’information...

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Percolation

Temps de propagation

1 2 3 4 5 6 7 8

50 100 150 200 250 300

Distance

n

temps dist. moy diametre

Temps moyen de transmission du message,

distance moyenne,

Distance Moyenne graphe al´eaotoire

Lorsque celui-ci est connexe (^log(n)_n <p),

la distance moyenne est _log(pn)^log(n). Les distances sont courtes...

Percolation

Infection / Communication dans un r´ eseau sans ´ echelle caract´ eristique

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Percolation

Robustesse aux pannes et attaques

R´eseau al´eatoire : Sensible aux pannes al´eatoires

Tr`es robuste aux attaques cibl´ees

R´eseau scale free :

Tr`es robuste aux pannes al´eatoires

Tr`es sensible aux attaques cibl´ees

Percolation

S´ erie d’exp´ eriences en NetLogo

Menu Tools, puis BehaviorSpace

Documentation : http:

//ccl.northwestern.

edu/netlogo/docs/, puis dans le frame de gauche dans la partie Features, choisir controlling.

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Percolation

Pour conclure...

Projet

Faites le lien avec la propagation de rumeur !